Matematikkopplevelser i l?rerutdanningen En fenomenologisk orientert narativ analyse av studenttekster Tone Bulien Avhandling levert for graden dr. polit. UNIVERSITETET I TROMS? Det samfunsvitenskapelige fakultet Institutt for pedagogikk og l?rerutdanning Februar 208 Forord Det er 13 ?r siden jeg avsluttet min jobb som barnepleier p? f?deavdelingen i Arendal. ?rene som har g?t har bydd p? mange utfordringer, ikke minst matematikkfaglig siden det gikk tjue ?r fra jeg tok examen artium til jeg begynte ? studere matematikk. Som h?gskolelektor i matematikkdidaktikk har jeg m?tt studenter som ogs? opplever matematikk som en utfordring n?r de har v?rt borte fra matematikk en stund. Det er akkurat dise opplevelsene og forst?elsen for dem denne avhandlingen handler om. Unders?kelsen er finansiert av Senter for praktisk kunnskap, Profesjonsh?gskolen ved H?gskolen i Bod? (2002-2006). Jeg vil gi en takk til mine to veiledere. F?rst til Asle H?gmo, Universitetet i Troms?, som har v?rt min hovedveileder fordi han tok utfordringen med ? veilede en oppgave om matematikkdidaktikk selv om det er lit p? siden av hans eget spesialomr?de. Og s? en takk til min biveileder Olav Nygaard, Universitetet i Agder, som jeg gjerne ?gir skylda? for at jeg i det hele tat torde satse p? et hovedfag. Det ble lit mer, s? takk for at du fulgte med meg her ogs?. En takk g?r videre til gode kollegaer ved l?rerutdanningene i Bod? og ale i det matematikkdidaktiske milj?et i Norden som jeg har m?tt gjennom de siste ?rene. Spesielt her vil jeg nevne det matematikkdidaktiske milj?et ved Universitetet i Agder som b?de gjennom doktorgradskurs ledet av Barbara Jaworskij og p? sommerskolene med NOGSME (Nordic Graduate School in Mathematics Education) i Finland og Island med Barbro Grevholm har v?rt en uvurderlige st?tte i min utvikling som matematikkdidaktiker. Andre doktorgradskurs har ogs? v?rt sv?rt avgj?rende for utviklingen av analyseredskapene i avhandlingen: L?ringsteorier og metaforer for l?rande med Roger S?lj? (2002) og Virkelighet og sannhet i narasjon, hermeneutikk og dekonstruksjon med Tone Kvernbekk og Lars L?vli (2006). Det er to av mine kollegaer p? H?gskolen i Bod? (HBO) som jeg ?nsker ? takke spesielt. F?rst en takk til ?yvind Bj?rk?s som s? t?lmodig har st?ttet meg i mit arbeid og tat mer enn sin part av feles arbeidsoppgaver for at jeg skulle f? tid til ? skrive. Dereter en stor takk til kollega K?re Fuglseth, f?rsteamanuensis i KRL, som har v?rt diskusjonspartner, inspirator, p?driver og en veldig god venn hele veien fram til det siste punktumet i den ferdig avhandlingen. Hele tiden har jeg hat et godt sosialt st?tteapparat rundt meg som har oppmuntret meg og ikke minst holdt ut med meg. Siden det er hverdager det er flest av, vil jeg takke familie og venner i Oslo, Arendal og Bod? for god st?tte. Og sist, men ikke minst, mine to fantastiske d?tre, Inger og Berit, som til tider har hat en meget frav?rende mor. Ikke bare fysisk 1300 km unna, men ogs? mentalt til tross for gode telefonforbindelser. Takk for at dere har kunnet le av h?pl?se svar n?r tankene mine har v?rt p? jobb og ikke i samtalen v?r. Bod? 29. februar 2008 Tone Bulien Inholdsfortegnelse 1 INLEDNIG 1 1.1 En metaforteling om atematikoplevelser 1 1.2 Bakgrun for unders?kelsen og forskningsp?rsm?l 6 1.3 De viktigste observasjoner og fun i min unders?kelse 10 1.4 Resultater fra forskning p? tilsvarende m?lgrupe og teorier relevant for dene avhandlingen 12 1.5 Kort presentasjon av inholdet i avhandlingen 16 1.6 Begrepsavklaringer 18 2 L?RERUTDANINGEN OG MATEMATIK 20 2.1 Rameplan og lokale studieplaner for Matematik 1 20 2.2 L?rerstudentens doble role 25 2.3 Opfatninger og holdninger i matematik 27 2.4 Forforst?elsens role hos studentene 34 2.5 Matematik og matematikdidaktik i et kulturelt perspektiv 38 3 FENOMENOLOGISK ORIENTERT KUNSKAPSOSIOLOGI OG NARATIV TEORI 42 3.1 Fenomenologi i en sosialteoretisk kontekst 42 3.2 Fortelingens form og inhold som redskap for analyse av tekst 54 4 FORSKNIGSDESIGN 67 4.1 Bruken av kvalitativ metode i dene unders?kelsen 67 4.1.1 Valg av respondenter 71 4.1.2 Hendelser som p?virket unders?kelsen 72 4.1.3 Sp?reskjemaets inhold og opbyging 73 4.1.4 Krav til tekstene fra respondentene 7 4.1.5 Forberedelse til intervju 80 4.2 Insamling av forskningsmaterialet 81 4.2.1 Sp?reunders?kelsen 81 4.2.2 Tekstene 82 4.2.3 Intervjuene 82 5 BESKRIVELSER OG TOLKNIGER AV FORSKNIGSMATERIALET 86 5.1 Studentenes forforst?else for matematik 87 5.1.1 Utvalgte svar fra respondentene fra sp?reskjema 1 87 5.2 Fortelingsanalyse 92 5.2.1 Studentfortelinger 92 5.3 Fortelende analyse: Caseniv? 1 101 5.3.1 Alfa: Jeg er fremdeles glad i matematik 102 5.3.2 Beta: Jeg tror jeg har et godt matehode, s? hvor bra jeg gj?r det er bare avhengig av meg selv 10 5.3.3 Gama: Jeg har tenkt p? matematik som en interesant og morsom lek med tal 16 5.3.4 Delta: S? matematik ble et ike-fag for meg 120 5.3.5 Epsilon: Det hade v?rt en stor personlig seier ? f? C, s? da jober jeg mot det 127 5.3.6 Sigma: Det var jo for meg bare ? regne, ferdig med det! 132 5.4 Fortelende analyse: Caseniv? 2 137 5.4.1 Matematikspr?k og bildespr?k. Om det ? beskrive matematik 137 5.4.2 Beskrivelser av en forelesning. Var vi p? same forelesning? 148 5.4.3 Beskrivelser av en seminargrupetime. Hva er egentlig opgaven her? 159 5.4.4 Matematikutviklingsdagboka, om bevistgj?ring av egne matematikunskaper 167 5.5 Fortelende analyse: Caseniv? 3 169 5.5.1 Studentenes erfaringer og deres forslag til endring av kurset 169 5.6 Diskusjon i lys av fenomenologisk kunskapsosiologi 176 6 OPSUMERING OG IMPLIKASJONER FOR VIDERE FORSKNIG 183 6.1 L?rerutdaningens utfordringer 184 7 LITERATUR 186 8 VEDLEG 193 A F?rste informasjon til respondentene 193 B E-post til respondentene ang?ende tekst 1 og 2 195 C E-post til respondentene ang?ende tekst 3 og 4 197 D E-post sendt i forkant av del 2 av sp?reunders?kelsen 198 E Informasjon vedr?rende tekst 3 og 4 199 F Intervjuavtaler 201 G Intervjuguide 202 H Sp?reskjema 1 203 I Sp?reskjema 2 207 FIGURER OG TABELER Figur 1 Model for analysen av sosiale konstruksjoner basert p? Berger og Luckmans kunskapsosiologi (Berger & Luckman, 1967) 44 Tabel 1 Veiledende skala for bokstavkarakterer 23 Tabel 2 Indeling av afektive omr?der i matematikundervisningen (McLeod, 192, s.578) 29 Tabel 3 Pehkonens modifiserte model av Thompsons (192) niv?er n?r det gjelder utviklingen av l?reres opfatninger om atematikundervisning 31 Tabel 4 Oversikt over de ulike tidsperspektiver og definisjoner av fortelinger 58 Tabel 5 Oversikt over prosesen i fortelingsanalyse og fortelende analyse 66 Tabel 6 Oversikt over caseniv?er 70 Tabel 7 Kronologisk oversikt over insamling av unders?kelsens empirisk materiale 70 Tabel 8 Respondentenes skole- og yrkesbakgrun 72 Tabel 9 Oversikt over sp?reskjemaene og samenhengen melom noen sp?rsm?l 74 Tabel 10 Oversikt over tekstanalysen 83 Tabel 11 Matrisen gir en oversikt over caseniv?ene. Kolonene viser til caseniv? 1, radene til caseniv? 2 og hele matrisen til caseniv? 3 84 Tabel 12 Koder med forklaring til de empiriske tekstene 87 Tabel 13 Oversikt over respondentenes forhold til matematik og deres forventninger til karakter f?r det obligatoriske matematik 1-kurset 88 Tabel 14 Janviertabelen som ble brukt i forelesningen 149 1 1 Inledning Denne avhandlingen handler om allmennl?rerstudenter og deres opplevelser av det obligatoriske kurset i matematik (matematikk 1-kurset) ved den norske almennl?rerutdanningen (jf. Kunnskapsdepartementet, 2003). Det er en kritisk- konstruktiv beskrivende unders?kelse der jeg ?nsker ? lytte til studentens steme. Jeg s?ker derfor ikke noen forklaring i form av konkrete resultater, men ?nsker ? belyse situasjonen slik studentene forteler sine historier. Avhandlingen er heler ikke en evaluering eler vurdering av l?rerutdanningens matematikkurs, eler en vurdering av studentenes arbeid eler arbeidsmetoder, men tenkt som et bidrag til de didaktiske utfordringene l?rerutdanningene st?r i. Jeg underviste ikke de studentene som deltok i unders?kelsen. Teoretisk har jeg brukt et fenomenologisk perspektiv med fortelingen som en viktig formidlingskanal b?de melom forsker og respondent. Med utgangspunkt i studentenes tekster og intervju med dem, vil jeg beskrive min tolkning av deres informasjon gjennom fortelinger og teoretisk analyse. Mit m?l er at man gjennom dise beskrivelsene skal f? bedre kunnskap om studentenes behov og ?nsker for matematikk- undervisningen i l?rerutdanningen og at resultatene kan benyttes i den didaktiske tiln?rming til fagstoffet. Jeg har valgt ? innlede mit arbeid med en forteling basert p? egne erfaringer som student og l?rer ved l?rerutdanningens matematikk 1-kurs, og det empiriske materialet for denne avhandlingen. 1.1 En metaforteling 1 om atematikoplevelser N?r studentene Sol og M?ne m?tes p? H?gskolen eter en lang sommerferie gleder begge seg til ? ta fat p? andre ?ret av almennl?rerstudiet. Det f?rste studie?ret hadde overbevist dem begge om at det var l?rere de vil bli. Dete andre?ret er det fagene matematikk og KRL som st?r p? planen. Sol gleder seg til matematikken fordi han synes faget er spennende og gir mange fine utfordringer i hverdagen. M?ne er mer 1 Jeg bruker i dene samenhengen ordet metaforteling om en forteling som er basert p? og/eler komprimerer andre fortelinger. Man kan alts? ike oversete metaforteling til engelsk ved ? bruke utryket metanarative fordi dete vil v?re det man p? norsk overseter som den store fortelinga. 2 reservert, men tenker at det er lenge siden ungdomskolen og alt det negative som skjedde i matematikktimene der, s? det kan jo hende at matematikktimene vil bli en bedre opplevelse i l?rerutdanningen. ?ret er g?t, og de to vennene har sat seg p? benken utenfor H?gskolen for ? nyte de f?rste varme solstr?lene som gir l?fte om at en ny sommer er i anmarsj. Men f?r sommer og ferie skal de ha eksamen i matematikk. M?ne: Det har v?rt et travelt ?r. Jeg har slit veldig med matematikken s? jeg gruer meg for eksamen. Da vi startet i h?st tenkte jeg at jeg skulle fint kunne klare en C, men det har jeg sl?t helt fra meg. Sol: Jeg satset p? en A, men h?per n? jeg kan redde B-en. Og jeg er enig i at det har v?rt et travelt ?r, selv om jeg ikke har slit s? veldig med matematikken som deg. Jeg synes det er vanskeligere ? gripe fat i didaktikken og undervisningsmetodene. Forelesningene g?r jo som oftest med til ? repetere ungdomskolematematikk, og det blir s? kjedelig. Jeg skj?nner at mange synes det er vanskelig, men det skulle v?re un?dvendig ? bruke s? mye tid p? forelesningene til dete arbeidet. Det burde v?rt et forkurs for dem som slet. M?ne: Ja, men det var jo et slikt, det var bare det at det paset s? d?rlig for meg og mange andre da det ble gjennomf?rt. Sol: ? ja, det stemer, det var et kurs, men jeg var ikke interesert for jeg mente jeg hadde kontroll p? matematikken, s? jeg hadde glemt det. Jeg synes at hvis man vet man har huller i matematikkunnskapene og ikke deltar p? et s?nt kurs, s? m? man finne andre muligheter for ? l?re seg det man ikke kan. Det er jo tross alt et opptakskrav til studiet at vi har best?t matematikken i f?rste ?ret p? videreg?ende, og det meste av det vi har hat her er ungdomskolematematikk. Desuten, n?r vi ikke har s? mange forelesninger, s? synes jeg vi skulle bruke dem mer til ? l?re om hvordan vi skal undervise i faget, og ikke til ting vi skulle kunne fra f?r. Jeg 3 har nesten ikke v?rt p? en forelesning i matematikk, for jeg synes det blir s? uinteresant ? snakke om ting man alerede kan. M?ne: Men, hvis du ikke har v?rt p? s? mange forelesninger, hvordan vet du da at vi bare har repetert og ikke snakket undervisningsmetoder? Noen forelesninger har bare v?rt metoder og didaktikk. Sol: Det viste jeg ikke. N?r var de? M?ne: Det st?r i semesterplanen. Du f?lger vel med p? den? Sol (lit forlegen): Eh, nei. Jeg har ikke v?rt s? veldig flink til ? pase p? hva som blir undervist. Siden forelesninger og seminargrupper har faste ukedager og tider, s? har jeg ikke tenkt s? mye p? planen. Var p? et par forelesninger i begynnelsen av h?sten, men da jeg s? hva som skjedde, s? kuta jeg siden det var frivilig. Seminargruppene, derimot, er jo obligatoriske, s? der m? man jo m?te opp. For ? v?re helt ?rlig, s? vet jeg ikke om de timene har v?rt s? veldig mye annerledes enn forelesningene. Eler forresten, n?r vi har l?st oppgaver, s? har det v?rt bra for da har jeg hat mulighet til ? hjelpe mine medelever med det de sliter med. Da har jeg liksom tenkt meg dete som en erfaring i undervisning, lit praksis liksom. Og det har git meg mange nye tanker om hvordan man kan forklare matematikk p? forskjelige m?ter. M?ne: Ja, det er sant. Seminargruppene har v?rt nyttige til mye. Jeg synes det har v?rt mange gode innspil fra medstudenter ogs? n?r de har presentert ulike undervisningsopplegg. Jeg likte godt presentasjonen til den gruppen som viste hvordan spil kunne brukes i undervisningen. Og s? var det lit artig den gangen da vi skulle spile elever og tenke oss til hva slags sp?rsm?l og kunnskaper de hadde. Sol: Nei, n? f?r du gi deg! Det var jo helt h?pl?st! At vi liksom skulle v?re femteklasinger. ?rlig talt! Ale studentene spilte jo vanskelige elever, s? mange 4 h?pl?se elever kan det da ikke v?re i en enkelt klase. Det var i hvert fal ikke slik i den klasen der jeg hadde praksis. Desuten tror jeg egentlig ikke vi har peiling p? hvor mye eler lite en femteklasing kan selv om vi har v?rt det en gang for lenge siden. Da vil jeg heler trekke fram den gruppa som hadde om matematikverksted i f?rste klase. De ga oss virkelig gode tips til hva vi kan gj?re i et klaserom, og s? knyttet de det praktiske til teorien p? en god m?te. A propos klaserom. Underviste du matematikk da du var i praksis? M?ne: Nei, men jeg observerte en medstudent som viste hvordan man ganget p? tavla. Det synes jeg var bra, men jeg er ikke sikker p? om ale elevene forsto hvordan de skule gj?re det, for det var mange sp?rsm?l eterp? om hvorfor vi skulle gj?re det s?nn. De kunne liksom ikke forst? at det bare er s?nn vi gj?r det. Sol: Jeg fikk v?re med p? Storyline i min siste praksisperiode. Det var artig for jeg fikk sjansen til ? legge inn min egen matematikkvri p? historien. Storyline er en fin metode fordi jeg som l?rer kan finne p? utfordringer underveis basert p? elevenes innspil. Men som sagt, jeg synes vi har lite didaktikk. N? er vi snart ferdige med dete studie?ret, og jeg vet ikke om jeg har l?rt nok til ? kunne undervise matematikk p? en god m?te. M?ne: Jeg synes det st?r mye om metoder og hvorfor de skal fungere i pensumb?kene. Har du ikke lest det? Og s? har vi jo f?t en del tips til videre lesing p? forelesningene. Sol: Jeg synes de b?kene er s? kjedelige, og s? er det ikke det same bare ? lese om ting. Kanskje jeg skulle startet en kollokviegruppe om emnet slik at vi hadde f?t diskutert det? Men n? er det vel i seneste laget. Det er s? vanskelig ? f? tid til alt. Det er jo jobb og andre ting ogs?. M?ne: Ja, men jeg synes det hjelper ? gj?re de oppgavene vi f?r p? forelesningene og i seminargruppene, for da f?r vi ?velse i ? forklare matematikk og ? sete ord p? tankene v?re. Matematikkdagboka var ogs? fin til det. Vanligvis synes jeg det er 5 vanskelig ? finne de rete ordene n?r jeg skal forklare hva jeg tenker, men da jeg hadde gjort noen oppgaver i den boka med ? skrive ned tankene mine, ble det letere. Egentlig skulle jeg ?nske vi hadde hat flere matematikkdagbokinnleveringer i l?pet av ?ret. Sol: Jo, matematikkdagboka var sikkert bra, men jeg syntes det ble lit for mye skriving. Jeg viste jo svaret nesten med en gang likevel. M?ne: Ja, men det var vel ikke svaret som var viktigst med den boka, det var vel prosesen? Sol: Mm, det var kanskje det, men jeg liker ? bli fort ferdig. Det ? kunne bruke symboler i stedet for ? skrive lange setninger er jo det jeg synes er en stor fordel med matematikken. Ja, ja. Uanset s? er vi snart ferdige. Det er bare den skriftlige eksamen igjen. H?per ikke det blir s? mye didaktikk denne gangen, men mer rene matematikkoppgaver. Da kan jeg kanskje rete opp lit p? den totale karakteren. Jeg gjorde det ikke s? bra p? didaktikkeksamen vi hadde f?r jul. M?ne: Jeg fikk god karakter p? didaktikken, men matematikken er vanskelig. Heldigvis synes jeg at jeg har f?t bedre tak p? den i l?pet av ?ret. S?rlig n? p? v?ren. Det har vel med at jeg har sitet mye og jobba med ? regne ungdomskolematematik hjeme. Fant ei fin netside med oppgaver og forklaringer. Det er jo lit artig n?r jeg holdt p? med noe lenge og s? plutselig faler det p? plas og svaret n?rmest str?ler i mot meg. Men selv om jeg jobber mye, sliter jeg fortsat med noen temaer. Sannsynlighetsregning, for eksempel. Og n?r jeg skal regne tekststykker synes jeg fortsat det er veldig vanskelig ? trekke ut de opplysningene som jeg skal bruke. Sol: Ja s?nn er det, vi har ale v?re sterke og svake sider. Og som almennl?rere m? vi undervise i b?de fag vi liker og ikke liker. Det er i hvert fal en stor utfordring enten det er matematikk eler noe annet. 6 M?ne: Ja det er sant. Du f?r ha lykke til p? eksamen i hvert fal. Sol: Du ogs?. Da Sol og M?ne avsluttet andre ?ret i almennl?rerutdanningen og fikk sine karakterer i matematikk ble det lit andre resultater enn begge hadde tenkt ret f?r eksamen. Sol gjorde det svakt p? didaktikken, noe som dro ned den totale karakteren. Heler ikke p? den eksamen som var mer matematikkfaglig retet, ble det toppkarakter, s? den endelige karakteren ble en C. M?ne hadde f?t mer tak p? didaktikken enn Sol og gjorde det bra der, men til tross for hardt arbeid med matematikken, s?rlig mot slutten av studie?ret, ga den faglige eksamen bare en st?karakter. S? for M?ne ble ogs? den endelige karakteren en C. 1.2 Bakgrun for unders?kelsen og forskningsp?rsm?l ?Hva er det vi vil opn?, og hjelper det vi gj?r n? os til ? opn? det?? (Holt, 1972, s.96) Matematikkundervisningen har store utfordringer i norsk skole, noe som mange oppfater som demonstrert i samenliknende internasjonale unders?kelser som TIMS (2003, 2007) og PISA (2003, 2006). Denne avhandlingen handler ikke om dise direkte, men indirekte er dagens situasjon i grunnskolen viktig for avhandlingens tema. Det er rimelig ? tro det er en samenheng melom den obligatoriske matematikk- undervisningen p? l?rerutdanningen og matematikkferdighetene i grunnskole, og det er viktig ? tilby l?rere en s? god og relevant utdanning i faget som mulig. Forh?pentligvis vil denne studien v?re et bidrag til forskningen p? hvordan man skal gi almennl?rerstudentene et solid grunnlag for ? undervise i matematikk. Alerede i min hovedoppgave pekte jeg p? utfordringen det er ? utdanne gode l?rere i matematikk n?r s? mange studenter i utgangspunktet kun har et minimum av matematikkunnskaper som grunnlag, det vil si minstekrav for studiekompetanse (Bulien, 2000). I den oppgaven fokuserte jeg p? l?rerstudenter og hvordan de l?ste algebraiske oppgaver presentert i et historisk perspektiv. Jeg opplevde at de oppgavene jeg der hadde utformet, ga studentene st?rre utfordringer enn jeg hadde forventet. I 7 uformele samtaler kom det fram at mange av dem egentlig ikke hadde lyst til ? undervise matematikk, et argument jeg ogs? hadde h?rt fra andre l?rerstudenter et ?r tidligere da jeg gjorde en mindre unders?kelse om l?rerstudenters holdninger til en oppgave i matematikkdidaktikk (Bulien, 1999). De tre studentene som deltok i den unders?kelsen, mente det var fokusert for mye p? matematikkunnskaper og for lite om undervisningsmetoder. Da jeg selv begynte som l?rer i l?rerutdanningen, opplevde jeg at ogs? ?mine? studenter kom med tilsvarende kommentarer. Jeg oppfatet det slik at studentene ikke fikk det de hadde ?nsket eler forventet i matematikk 1-kurset. Slik jeg som l?rer tolket studieplaner og pensum, mente jeg at dise behovene burde v?re dekket. Hva var det da som ikke fungerte? Hva var det studentene egentlig forventet og hva var det de egentlig opplevde det ?ret de hadde matematikk p? l?rerutdanningen? Jeg s?kte eter informasjon om deres opplevelser gjennom samtaler og vurderinger av oppgaver. Men det var vanskelig ? sete fingeren p? noe konkret som jeg kunne bruke for ? endre min egen undervisning til noe som ble oppfatet som mer positivt av studentene. Det er flere ting som tyder p? at ikke alt fungerer som det skal. De siste ?rene har det for matematikk 1-kurset ved landets l?rerutdanninger v?rt melom 20 og 50 prosent stryk til eksamen. Det har v?rt gjort politiske grep med nye rameplaner og et minstekrav til karakter i norsk og matematikk for opptak til l?rerutdanningen, men det har ikke endret resultatene. L?rerstudentene deltar ogs? i NMRs forkunnskapsunders?kelser i matematikk (Norsk Matematikkr?d, 2007), som gjennomf?res i begynnelsen av studie?ret hvert annet ?r. Resultatene av dise testene er heler ikke oppl?ftende. Mandt (2006, s.31) unders?kte i sin masteroppgave fire almennl?rerutdanneres tanker og opplevelser av det obligatoriske kurset matematikk 1 i almenl?rerutdanningen. Hun beskrev l?rernes erfaringer med svake forkunnskaper hos studentene og deres tanker om l?sninger. De ?nsket mer faglig fordypning, niv?deling i matematikk 1-kurset og tetere oppf?lging av studentene. Dise l?rernes betraktninger er samenfalende med mine erfaringer som l?rerutdanner, og det samsvarer med konkrete resultater som 8 d?rlige forkunnskaper vist ved NMRs tester og de relativt d?rlige resultatene eter avsluttet matematikk 1-kurs i l?rerutdanningen. Nygaards og Petersens (2000) l?rebok Fatte matte er en l?rebok for studenter som sliter med matematikk. Forfaterne har brukt sine erfaringer som l?rere i l?rerutdanningene, og andre matematikkurs de har undervist p? h?gskoleniv?, som bakgrunn for rollefigurene i boka. Den er ikke forskningsbasert, men det var mange likhetstrekk melom rollefigurene i l?reboka og de erfaringene jeg hadde. Som en kommentar kan jeg si at det skulle vise seg at respondentene i min avhandling hadde mange av de same tankene om matematikk som hovedpersonene i boka, men dete er ikke noe forskningsresultat, bare en refleksjon i forhold til bakgrunnen for min avhandling. Utgangspunktet for min unders?kelse var ?nsket om ? gj?re noe i forhold til dise situasjonene og resultatene jeg har vist til. I tilegg hadde jeg erfart at mange studenter ga uttrykk for at de var fortvilet fordi matematikk var et obligatorisk fag i l?rerutdanningen. De ?nsket ? bli l?rere, men hadde en d?rlig erfaring med matematikk og vile derfor ikke undervise i dete faget. De ?nsket heler ? bruke studietiden til ? fordype seg i fag de selv hadde valgt. P? den andre siden fantes det ogs? studenter som ?nsket ? bli matematikkl?rere, men som i l?pet av kurset ga uttrykk for at de fikk for lite matematiske utfordringer, og derfor mistet interesen. I tilegg mente de at didaktikkundervisningen var lite relevant i forhold til den rollen de mente de vile f? som matematikkl?rere. Det var rimelig ? anta at studentene s? p? matematikkundervisning og matematikkl?rerens rolle fra et elevperspektiv som ikke stemte helt med matematikkl?rerens faglige og didaktiske utgangspunkt, slik det ble presentert i matematikk 1-kurset. For ? f? et svar p? dete, ?nsket jeg ? finne ut hva som var studentenes forforst?else av matematikundervisning og hvordan man l?rer matematik. I min tiln?rming la jeg ved valg av teori mer vekt p? det sosiale enn det rent kognitive eler det psykologiske, og forskningssp?rsm?let ble formulert slik at den skulle gi rom for vendinger som kunne beskrive uforutsigbare sider av deres opplevelse av matematikk 1-kurset. Problemstilingen er hentet fra et st?rre forskningsfelt om 9 matematikkdidaktikk, men feltet er avgrenset ved kun ? ta hensyn til det obligatoriske kurset ved almennl?rerutdanningen. At kurset er obligatorisk er en vesentlig faktor fordi ikke ale studentene har ?nsket ? studere matematikk, men de m? gjennomf?re matematikkurset for ? bli almennl?rere. Kurset tar ogs? opp overf?ringsproblematikk som er en relativt ukjent vinkling i forhold til studentenes tidligere erfaringer og oppl?ring. Siden unders?kelsen ble gjort i forhold til en liten gruppe studenter, ble den et kvalitativt dypdykk som ga mulighet b?de for ? avdekke nye sider og f? bekreftet antate erfaringsbaserte sider. Unders?kelsesresultatene kan dermed bli et redskap for tilretelegging av undervisning i matematikk for l?rerstudenter. Forskningssp?rsm?l: Hvordan opplever allmennl?rerstudentene det obligatoriske kurset i matematik ved allmennl?rerutdanningen? Hvordan kan analysen av slike opplevelser brukes didaktisk i l?rerutdanningensns matematikundervisning generelt? For ? begrense unders?kelsens omfang av opplevelser, har jeg fra tidligere matematikkdidaktisk forskning som omhandler oppfatninger om matematikk (beskrevet i kapitel 2.3), valgt ? se p? fire kategorier som viser til studentens oppfatninger av ulike omr?der innenfor matematikk og matematikkundervisning. De fire kategoriene kan ogs? knyttes til rameplanens form?lsparagraf (Kunnskapsdepartementet, 2003) for kurset: ? oppfatninger om matematik ? oppfatninger av seg selv som bruker av matematik ? oppfatninger om matematikundervisning ? oppfatninger av hvordan l?ring av matematik foreg?r Ordet oppleve kan generere ulike perspektiv, b?de ut fra kognitiv teori og fra anvendt fenomenologi. Den kognitive tiln?rmingsm?ten er her representert ved teorier om afektive sider ved undervisning og l?ring i matematikk (Hannula, 2004,2006; Kloosterman, 2002; Leder & al, 2002; McLeod, 1992; Melin-Olsen, 1984, 1987, 1991; Pehkonen & T?rner, 1999; Pehkonen, 2003; Thompson, 1992). I en 10 matematikkdidaktisk tradisjon vil dete v?re den metoden som vanligvis blir brukt. Den teoretiske utfordringen l? derfor i ? knytte den generele fenomenologien til motivasjon for l?ring av matematikk. I perspektivet av anvendt fenomenologi valgte jeg ? se de afektive sidene gjennom begrepet forforst?else (Gadamer, 2004). Som et annet hovedgrunnlag for min analyse ?nsket jeg ? trekke inn et sosiologisk perspektiv p? den same type fenomener. Til det valgte jeg de anvendte fenomenologiske perspektivene til Sch?tz (Sch?tz & Luckmann, 1973) som ogs? trekker inn det sosialt konstituerende. I behandlingen av forskningsmaterialet (studenttekster og intervju), har jeg fokusert p? narativ analyse gjennom forteling og fortelingsanalyse. Sch?tz har ingen narative teorier, s? dete fenomenologiske perspektivet ble supplert med teorier fra narativ filosofi (Mink, 1978; Polkinghorne, 1988; Bruner, 1986,1996). I denne avhandlingen vandrer jeg melom de paradigmatisk logiske vurderingene som studentenes forventede og endelige karakter, til teoretiseringen av forskningsfeltet ut fra empirien der jeg bruker begreper og forestilinger fra fenomenologisk orientert kunnskapsosiologi for ? kunne lete eter anvendbare forklaringer p? opplevelser slik at hvert enkelt individ kan kjenne seg igjen til slutt. 1.3 De viktigste observasjoner og fun i min unders?kelse De oppfatningene respondentene hadde om matematikk, om sit eget forhold til matematikk, om matematikkundervisning og om det ? l?re matematikk endret seg lite i l?pet av studie?ret. Studentenes ?nsker i forhold til det de tenkte kunne bli en forbedring av studiet var heler ikke entydige. ?nskene var at det burde undervises mer i praktiske metoder for undervisning, at det skulle gis mer regneoppgaver med tilbakemeldinger, at didaktikken burde v?rt mer synlig i undervisningen, at man l?rte mer matematikk f?r man starter p? didaktikken, at det ble undervist i kalkulatorbruk tidlig i studiet og at undervisningen ble diferensiert i forhold til de som kunne mye matematikk og de som kunne mindre. Ale ga utrykk for et ?nske om ? bli undervist p? sit niv?. 11 Den holdningen respondentene hadde til faget f?r de begynte p? l?rerutdanningen, endret seg lite i l?pet av matematikk 1-kurset. En student som innledningsvis hadde en positiv holdning, fikk mye d?rligere karakter enn forventet og hadde kjedet seg mye. Han sa likevel ved slutten av kurset at han fortsat likte matematikk. En annen student som i utgangspunktet hadde en negativ holdning, sa at han hadde f?t bedre selvtilit og hadde l?rt mye, men trodde ikke han var flink nok til ? undervise. Et felestrekk uanset holdning, var at de hadde et fatig fagspr?k b?de didaktisk og matematisk, og at det s? ut som om de forventet at foreleser hadde ansvaret for hva de l?rte. Dete ble synliggjort i mit forskningsmateriale ved at studentene svarte at de ikke forberedte seg til forelesning, og at det var for lite didaktikk, selv om pensum inneholdt flere verk med didaktisk innhold. Siden l?rerutdanningen i dag er organisert p? en m?te som tilsier at man m?ter studentene ut fra en veileder-student kultur og ikke en l?rer-elev situasjon, der l?reren har et mye st?rre ansvar for ? legge til rete for l?ring enn en veileder, forventer kanskje l?rerutdanningen st?rre selvstendighet i studiet enn det studentene tror kreves. En HiO- rapport viser at almennl?rerstudentene studerer gjennomsnitlig 24 timer i uka, og at uorganisert studietid utgj?r bare omlag en tredel av dete (Fr?seth & Smeby, 2007). Som et resultat av min unders?kelse kan jeg trekke fram at l?rerutdanningen b?r sannsynligvis v?re mer bevist p? ? synliggj?re for studentene de ulike sidene ved undervisning og l?ring av matematikk slik at den blir oppfatet som relasjonel og ikke instrumentel (jf. Skemp, 1976, Melin-Olsen, 1984). Undervisningen m? gj?res p? en eksemplarisk m?te i l?rerutdanningen slik at det blir mer synlig for studentene hva de didaktiske teoriene betyr for det metodiske i undervisningen. Det betyr ikke at l?rerutdanningen n?dvendigvis skal ta mer ansvar for studentenes l?ring, men den kan bidra til ? skape en motivasjon for egeninnsats som jeg ikke fant i mit forskningsmateriale. Resultatene ga en indikasjon p? veien som b?de studenter og l?rere m? g?: De m? samen finne ut hva som er studentens forforst?else og hvordan man kan bygge videre p? den for at de skal gjennomf?re matematikk 1-kurset p? en god m?te. 12 1.4 Resultater fra forskning p? tilsvarende m?lgrupe og teorier relevant for dene avhandlingen Jeg har i mine s?k eter annen relevant forskning ikke funnet noen unders?kelse som har benyttet tilsvarende teori mot same m?lgruppe og fagfelt som den jeg har gjennomf?rt. M?lgruppen i min unders?kelse er norske almennl?rerstudenter som gjennomf?rer det obligatoriske matematikk 1-kurset. Teoretisk tar jeg for meg matematikkdidaktisk forskning p? afektive sider ved matematikkunnskap, den fenomenologiske kunnskapssosiologi og narativ analyse. Som beskrevet i Kapitel 1.2, har jeg valgt ? se de afektive sidene gjennom begrepet forforst?else. Jeg finner likevel matematikkdidaktisk forskning p? afektive sider av matematikkunnskap s? n?rt opp til mit arbeid at jeg ?nsker ? presentere de artiklene jeg finner mest relevante. Forskjelen melom min m?lgruppe og tilsvarende unders?kelser som er gjort med l?rerstudenter i andre land, er at norske studenter utdannes til ? undervise elever fra f?rste til tiende trinn i grunnskolen i ale fag. Kurset er obligatorisk. I andre land vi kan samenlikne oss med, er det ofte slik at man skiler alerede i utdannelsen melom de som skal undervise p? lavere trinn og de som skal spesialisere seg for h?yere trinn. De siste velger fag de ?nsker ? fordype seg i, for eksempel matematikk. Det er gjort lite forskning p? norsk l?rerutdanning og norske l?rerstudenter i matematikk. Bjuland (1998, 2004) har fokusert p? l?rerstudentenes matematikkunnskaper og hvordan de h?ndterer probleml?sningsoppgaver i gruppe. Grevholm (2004) samenlikner norsk og svensk l?rerutdanning i matematikk, og stiler sp?rsm?let om hva som egentlig trengs av matematikk og utdanningsteorier for ? kunne undervise i f?lge gjeldende l?rerplaner. Annen forskning p? norske l?rerstudenter som kunne hat relevans for min forskning er L?fsn?s? (2002) avhandling om samfunnsfag- undervisning i en f?delt skole. Hun har brukt et fenomenologisk perspektiv med teorier fra Sch?tz (2005). Grepet i den avhandlingen er samenliknbar med min, men feltet er helt annerledes, noe som f?rer til en annen teoretisering (L?fsn?s, 2002). I Sverige er det slik at l?rere som skal undervise matematikk i 4.-9. klase velger ? fordype seg i matematikk, og har dermed gjort et valg i motsetning til norske l?rerstudenter som skal kunne undervise matematikk p? ale trinn fra f?rste til tiende. 13 Ogs? i Sverige er det forsket p? l?rerstudenters tiln?rming n?r de skal l?se matematikkoppgaver, slik som Bjuland beskriver, men dise unders?kelsene er lite relevante i forhold til min forskning. I tilegg finnes blant svensk forskning tre langtidsstudier som fokuserer p? holdningsendringer hos matematikkl?rere b?de mens de er studenter, og n?r de kommer ut i skolen. De to f?rste er om l?rere for 4.-9.trinn (Bergsten & Grevholm, 2004; Bjerneby H?l, 2002, 2006), og den siste er en licenciatuppsats som beskriver l?rere som skal undervise p? barnetrinnet (Person, 2006). Bergsten og Grevholm (2004) har gjennomf?rt en unders?kelse som metodisk kan samenliknes med min avhandling fordi forskningsmaterialet er studentfortelinger som beskriver matematikkl?rerstudenters erfaringer fra matematikkundervisning. M?lgruppen og kursets innhold er imidlertid forskjelig fra norsk almennl?rerutdanning. Likes? det teoretiske grunnlaget og m?let for unders?kelsen. Studentene som deltok i unders?kelsen var ikke almennl?rerstudenter, men studenter som hadde valgt ? undervise enten p? barnetrinnet, p? ungdomstrinnet eler videreg?ende skole. Kurset fokuserte p? matematikk og undervisning, og studentene som deltok hadde et stort ansvar for en undervisningsperiode p? minst tre uker. Bergsten og Grevholm vurderte studentenes erfaring i forhold til deres evne til ? knytte samen matematikkfaglig og pedagogisk kunnskap (didactic divide). Det var p? forh?nd fokusert p? at studentene skulle ha gode matematikkfaglige kunnskaper (ibid). Bjerneby H?l (2002,2006) har hovedfokus p? hvordan l?rerstudenten oppfater matematikken og dens plas i utdanningen og i l?rerpraksisen. M?let var ? forst? skolematematikkens vilk?r og virkelighet (ibid.). Person (2006) har i sin licentiatuppsats fulgt en gruppe studenter gjennom l?rerutdanningen. Hun presenterer som sin videre oppgave ? f?lge dise studentene ut i skolen for ? se hvordan de bruker sine erfaringer fra utdanningen. Et par av hennes resultater, som at studentene mener det ikke er behov for avanserte matematikkunnskaper for ? undervise i sm?skolen, og at de har f?t for lite undervisning i metodikk og didaktikk ved l?rerutdanningen, samsvarer med mine resultater (ibid.). 14 Goodel (2006) har set p? egne studenter i et metodekurs der hun har fokusert p? studentenes egenutvikling n?r de i grupper arbeider med ? fokusere p? metodiske og didaktiske sp?rsm?l knyttet til teori. Garc?a, S?nches og Escudero (2006) tar for seg studentens egenutvikling gjennom systematiske refleksjoner som en del av l?ringsprosesen og Blanton, Berenson og Norwood (2001) ser p? studentens erfaringer fra veiledning i praksis og knytter det opp mot Vygotskijs teori om den proksimale utviklingssone. Andre unders?kelser fokuserer p? om l?rerutdanningen kan endre en students oppfatninger av hva matematikk er gjennom en relativ kort utdanning (Barlow & Reddish, 2006; Lester, McCormick, & Kapusuz, 2004). Ale ber?rer ulike tema som blir tat opp i min unders?kelse, men ingen av dem bruker same forskningsmetode eler tiln?rming til analysen som jeg gj?r. Desuten handler al denne forskningen om studenter som hadde valgt ? bli matematikkl?rere, og ikke almennl?rerstudenter som gjennomf?rer et obligatorisk kurs som i norsk l?rerutdanning. Bal, Hil og Bas (2005) har hat en stor unders?kelse der de ser p? hvilke matematikkunnskaper en l?rer m? ha. De konkluderer med at det er vanskelig ? se i detalj hvilke kunnskaper som trengs, men at man m? ha en forst?else av matematikken, hvordan den er bygget opp og ikke minst hvordan den forst?s av elevene. ? ha matematikkunnskaper for ? undervise betyr at man kan forklare metoder som man i utgangspunktet ikke n?dvendigvis kjenner og ? samenlikne dem ed kjente metoder. L?reren er derfor i en kontinuerlig utviklingsproses i forhold til sine matematikkunnskaper og utfordringer med ? undervise (ibid). For flere av rapportene og artiklene over er motivasjon og holdninger med i diskusjonen, men ikke som et hovedtema. ? knytte afektive sider til matematikkl?ring og matematikkundervisning har i dag en forholdsvis lang tradisjon, og favner vidt innen ulike retninger for b?de psykiske, kognitive og sosiale tradisjoner. Jeg har vist til flere av artiklene i kapitel 2.3 og 2.4 (Thompson, 1992; McLeod, 1992; Fennema & Franke, 1992, Leder, Pehkonen & T?rner, 2002; Melin-Olsen, 1984, 1987, 1991) som grunnlag for mine definisjoner av begrepene beliefs og attitude oversat til norsk. Dise artiklene beskriver ulike afektive sider ved matematikkunnskap, men gir ingen systematisk inndeling. Det pr?ver derimot Malmivuori (2001) i sin doktoravhandling, men jeg har 15 ikke g?t n?rmere inn p? det her fordi det ikke er relevant for min forskning da jeg har valgt ? samle afektive sider ved matematikken i Gadamers begrep forforst?else. I et spesialnummer av Educational Studies in Mathematics (Evans, Hannula, Philippou, & Roseta, 2006) om afektive sider i matematikkutdanning, ble sp?rsm?lene om hvilket omr?de innenfor feltet som kan v?re mest relevant for videre forskning belyst. Hvordan de afektive sider er knyttet til utviklingen av den enkeltes forhold til matematikk, ble ogs? unders?kt. For ? belyse variasjonsmuligheten i analysen av afektive forhold, men uten ? gi en l?sning, presenteres et case om eleven Frank som l?ser en matematikkoppgave. Dereter blir dete caset analysert i forhold til seks ulike teoretiske perspektiv valgt av forskerne/forfaterne av artiklene. Til slutt blir dise perspektivene set i lys av spesialundervisning. Hovedfokus er p? det metodiske i analysen og hvordan de ulike teoriene p?virker analysen. Konklusjonen er at teoriene ikke er konkurrerende eler overlappende, men kan ses p? som komplement?re for ? forst? elevens handlinger bedre (ibid.). Hannula (2003) har i sin artikkel brukt den informasjonen han har om en hendelse, b?de egne feltnotater fra klaserommet og intervju med en av elevene, til ? lage en forteling der han beskriver hva eleven tenkte. Selv om han ikke vet hva hennes tanker er, s? beskriver han hva eleven kunne ha opplevd som den virkelige situasjonen. Han understreker at dete ikke n?dvendigvis er sannheten om episoden, men en sannhet som han finner rimelig ut fra sin kjennskap til eleven. Han samenlikner ogs? hva denne presentasjonen gir som en annen tidligere tolkning av same opplevelse ikke viste. Og han mener at det er letere for leseren ? f?lge forskerens ide for analyse ved ? bruke den utvidede fortelingen. Som forsker bruker man mye egen erfaring i analyseprosesen samtidig som det er viktig ? ikke p?virke resultatene. Den som leser rapporten vil ha sin erfaring som p?virker hans forst?else av teksten. Utfordringen for forskeren blir ? presentere det man ?nsker ? fokusere p? slik at det blir forst?t slik man ?nsker (ibid.). Lloyd (2006) bruker ogs? forteling som metode for ? forklare l?rerstudenters forst?else av matematikk og matematikkundervisning i sin utdanning. Hun oppfordret l?rerstudentene til ? skrive ned episoder fra deres praksis i form av fortelinger. Ved ? 16 skrive det som forteling fikk de ogs? anledning til ? forklare sin egen oppfatning av situasjonen. Dete kan v?re en god kilde til ? forst? sine egen beliefs, og kanskje ogs? endre dem. M?let med unders?kelsen var ? beskrive og tolke l?rerstudentenes fortelinger fra matematikklaserommet for ? f? en bedre forst?else av l?rerstudentenes syn p? matematikkl?ring og undervisning. Den narative analysen knytter samen studentens forteling fra klaserommet gjennom den skrevne teksten og et intervju om episoden. Fokus er p? l?rerolle, studentrolle og matematikkens rolle i klaserommet slik l?rerstudenten opplever det og analyserer det i etertid samen med forsker. Videref?ring av denne typen arbeid er ? finne ut om dete er en hensiktsmesig forskningsmetode og undervisningsmetode for l?rerstudenter. Drake (2006) fokuserer p? l?reres fortelinger om hva som skjedde da de endret syn p? matematikk og matematikkundervisning. Utgangspunktet er at de har en negativ erfaring og kan identifisere en hendelse der de fikk ny forst?else som beveget dem ot et mer positivt syn p? matematikk. I tilegg vektlegger hun at den narative analysen hun gjennomf?rte hadde betydning for forskerens forst?else av l?rerens vurderinger og tolkninger av klaseromsituasjoner og l?replaner. Kasila (2007) bruker narativ analyse for ? unders?ke l?rerstudenters matematiske identitet og vektlegger fordelen av ? bruke den biografiske fortelingen for ? forst? studentens argumentasjon. Ved ? gi informanten rom for ? bruke sine egne ord og muligheten til innspil som ikke ligger i et strukturert intervju, mener Kasila at han f?r informasjon om studentens opplevelser som han ikke vile f?t elers. Kasila bruker lingvistisk tiln?rming i analysen og ser p? hvordan ord blir brukt og betydning ordvalget har i deres fortelinger (Kasila, 2007). 1.5 Kort presentasjon av inholdet i avhandlingen Kapitel 2 gir en kort beskrivelse av matematikkens plas i l?rerutdanningen generelt, og gir n?rmere beskrivelse av den lokale planen for kurset som studentene fulgte. Jeg har ogs? tat med en kort oversikt over pensumliteratur, arbeidskrav og organisering av kurset. Videre karakteriserer jeg l?rerstudentenes rolle og den utfordring de m?ter n?r 17 de skal forholde seg til s? vel studentrollen som rollen som kommende l?rer. For ? analysere dete tar jeg for meg begrepene oppfatninger og holdninger i et matematikkdidaktisk perspektiv og knytter det samen med studentenes forforst?else (jf. Gadamer) for matematikk og matematikkundervisning. Dereter presenterer jeg matematikk og matematikkdidaktikk i et kulturelt perspektiv, slik det er beskrevet av blant annet Paul Ernest (1991), Alan Bishop (1988) og Stig Melin-Olsen (1991). Kapitel 3 omhandler det teoretiske grunnlaget for analysen i oppgaven. F?rst ser jeg p? hvordan fenomenologisk orientert sosiologi kan brukes som et perspektiv p? undervisningen. Som hovedkilde har jeg brukt Sch?tz? (2005) relevanssystem i et common sense-perspektiv og to av hans esayer om den fremede og den hjemvendte (ibid.). Som analyseverkt?y har jeg brukt fortelende analyse og fortelingsanalyse (narativ analyse) og bygger p? min anvendelse av dise teorier fra Bruner (1986,1996), Polkinghorne (1988), Mink (1978), Mishler (1995) og Clandinin og Connely (2000). Kapitel 4 er en beskrivelse av forskningsdesignet og innsamling av empiri. Jeg begrunner f?rst valg av design og beskriver s? hvordan utvalget av respondenter ble gjort. Dereter utdyper jeg det forberedende arbeid til hver enkelt del av unders?kelsen og kommenterer uforutsete hendelser som kan ha p?virket resultatene. Til slutt gir jeg en kort beskrivelse av hvordan innsamlingen av forskningsmaterialet, tekster og intervju, ble gjennomf?rt. Kapitel 5 har seks hoveddeler. F?rst presenterer jeg respondentene ut fra opplysningene de ga i sp?rreskjema 1, deres tidligere erfaringer om atematikk og deres forventninger til matematikk 1-kurset i l?rerutdanningen. I andre del presenterer jeg respondentenes fortelinger og gj?r en fortelingsanalyse der jeg vurderer fortelingen i forhold til et rasjonelt handlingsm?nster. Tredje, fjerde og femte del omhandler den fortelende analysen av forskningsmaterialet fordelt p? caseniv? 1, 2 og 3. Caseniv? 1 er den enkelte respondents matematikkbiografi slik den ble fortalt til meg gjennom de ulike tekstene og sp?rreskjema 1. Denne delen inneholder seks fortelinger om de seks respondentenes matematikkerfaringer fra f?r og i l?pet av l?rerutdanningen. Neste del inneholder caseniv? 2 hvor de seks respondentenes tekster blir analysert i forhold til fire 18 omr?der, spr?kbruk i tekstene, opplevelsen av en forelesning, opplevelsen av en seminargruppetime, og gjennomf?ringen av matematikkdagboka. Caseniv? 3 er en oppsummering av respondentenes opplevelser fra matematikk-1 kurset, deres erfaringer om hva som var bra og hva som ikke var s? bra, og konkrete forslag til endringer. Kapitlet avsluttes med en diskusjon av analyseresultatene set i lys av relevansteorien hos Sch?tz. I kapitel 6 oppsummerer jeg utfordringer set i lys av denne unders?kelsen ved ? trekke unders?kelsesresultatene inn i en teoretisering av matematikkens kulturele perspektiv slik det ble presentert i kapitel 2.5. 1.6 Begrepsavklaringer Forteling er en tekst som har en start, en handling og en avslutning, der start og avslutning er knyttet til handlingen. Det er handlingen som driver fortelingen. Historien har ikke s? streng oppbygning som fortelingen, men kan referere til tid og sted og kan v?re fortelerens refleksjoner og analyser av hendelser. Den skiler seg ogs? fra den paradigmatiske teksten (Bruner, 1986) ved at den ikke n?dvendigvis kan verifiseres i en logisk samenheng eler at den beskriver en hendelse som en f?lge av en annen. L?rer: Blir brukt b?de om en ansat ved h?gskolen som underviser i det obligatoriske kurset og om studentenes framtidige yrke, men meningen vil framg? av teksten. L?rerstudent: I denne teksten vil l?rerstudent v?re betegnelsen p? en student som er tat opp p? programet for almennl?rerutdanning (jr. definisjon av l?rerutdanningen). I de fleste tilfeler vil han ogs? v?re matematikk 1-student. Det finnes flere typer l?rerutdanninger knyttet til ulike trinn i v?rt utdanningssystem, slik som f?rskole, grunnskole og videreg?ende skole. Denne teksten fokuserer p? 19 almennl?rerutdanningen, et ord som er b?de langt og tungt ? lese, s? i den videre teksten vil jeg bruke kortversjonen l?rerutdanning i stedet for almennl?rerutdanning. Ordet matematik blir i denne teksten brukt som et samlebegrep som omfater b?de de ulike faglige emnene innen matematikken, og hvordan vi opplever l?ring, undervisning og bruken av matematikkunnskaper. Denne presiseringen ?nsker jeg ? ta med fordi det i andre samenhenger kan v?re behov for ? definere bruken av ordet matematikk annerledes. For eksempel s? skiler Botten (1999) melom begrepene matematik og matematikfaget. Han sier matematikk er det rent teoretiske som de fire regneartene, aksiomene, symbolene og logikken. Matematikkfaget er hvordan mennesket oppfater og bruker matematikken, hvordan regneartene kan anvendes og hvordan de blir anvendt (Botten, 1999). Matematikdidaktiker: Blir her brukt om personer som underviser i matematikk og som har spesiel kunnskap om hvordan man underviser matematikk. En matematikkl?rer har gjerne matematikfaglig kunnskap, men er ikke n?dvendigvis utdannet som matematikkdidaktiker. Det kan likevel antas at matematikkl?rerens praksiserfaring ofte inneb?rer uformalisert matematikkdidaktisk kunnskap. Paradigmatisk tekst: Dete uttrykket brukes av Bruner i forbindelse med fortelingsanalyse og beskriver en vitenskapelig, logisk tekst (Bruner, 1986). En respondent er en som selv har opplevd det vi ?nsker ? unders?ke, mens en informant er en som ikke har opplevd det selv, men har god kunnskap om det vi ?nsker ? unders?ke (Jacobsen, 2005, s. 62). Studentene deltar i denne unders?kelsen som respondenter. Det er ogs? valgt ? henvise til dem ved fiktive kj?nnsn?ytrale navn og ale vil i 3. person bli omtalt som ?han?. Tekst som samlebegrep: Forskningsmaterialet mit best?r av tekster skrevet av studentene og intervjuer av studentene transkriberte. B?de den skriftlige dokumentasjonen deres og de transkriberte intervjuene vil bli omtalt som tekst. 20 2 L?rerutdaningen og matematik I kapitel 2.1 vil jeg beskrive innholdet i det obligatoriske matematikkurset ved l?rerutdanningen, de lokale fagplanene og de eksamenskravene som gjaldt for de studentene som deltok i min unders?kelse. I kapitel 2.2 vil jeg si lit om l?rerstudentens rolle slik den er beskrevet i annen forskning. I kapitel 2.3 diskuterer jeg ulike tiln?rminger til begrepene oppfatning og holdning, for s? i kapitel 2.4 ? knytte det til forforst?else og teori om dise begrepene. Til slutt vil jeg i kapitel 2.5 se p? matematikkundervisning i et sosiokulturelt perspektiv. 2.1 Rameplan og lokale studieplaner for Matematik 1 Norske almennl?rere utdannes for ? kunne undervise i ale fag p? ale trinn i grunnskolen. Dagens l?rere er utdannet fra ca. 1960 og fram til i dag. Det har i denne perioden v?rt mulig for den enkelte student ? velge b?de matematikk i sin l?rerutdanning. Det vil si at det er mange l?rere som fordi de er almennl?rere, underviser matematikk uten ? ha matematikk eler matematikkdidaktikk som del av sin utdannelse. Dete ble endret p? begynnelsen av 1990-talet da det ble bestemt at matematikk skulle v?re en obligatorisk del av l?rerutdanningen, f?rst i 1992 som et kurs p? 5 vektal (15 studiepoeng) og i 1998 ble det utvidet til 10 vekttal (30 studiepoeng) med varighet over et ?r, lagt til f?rste studie?r. Rameplanen fikk noen endringer i 2003 (beskrevet under), og fra august 2004 ble det i tilegg til opptakskravet om generel studiekompetanse, krevd karakteren 3 eler bedre i fagene matematikk og norsk fra videreg?ende skole. Den lokale studieplanen for det obligatoriske matematikkurset bygger p? kravene til kurset matematik 1 beskrevet i Rammeplan for allmennl?rerutdanningen fastsat 3. april 2003 av Utdannings- og forskningsdepartementet (Kunnskapsdepartementet, 2003). Planen gir den enkelte l?rerutdanningsinstitusjon frihet til ? besteme rekkef?lgen for de obligatoriske fagene pedagogikk, norsk, matematikk, GLSM 2 og 2 Grunlegende lese-, skrive- og matematikferdigheter 21 KRL 3 innenfor de tre f?rste studie?rene i l?rerutdanningen. For studentene som deltok i dete prosjektet, vil det si at matematikk 1 ble gjennomf?rt i tredje og fjerde semester av den fire?rige utdanningen. Kurset GLSM, ble gjennomf?rt i siste del av andre semester og var derfor studentenes f?rste m?te med matematikk i l?rerutdanningen. I rameplanen er kravene til matematikk 1 delt i en form?lsparagraf og tre m?lomr?der: i) faglig og fagdidaktisk kunnskap, i) det ? v?re l?rer i matematikk, ii) samhandling og refleksjon. Om form?let med faget kan vi lese: Form?let med matematikfaget i l?rerutdaningen er at studentene skal bli i stand til ? undervise eter gjeldende l?replan for grunskolen p? en faglig tryg og reflektert m?te, og gi dem et grunlag for ? utvikle sine kunskaper og arbeidsm?ter. De skal kune forst?, vurdere og beskrive elevenes l?ringsproseser og kunskapsutvikling i matematik. Opl?ringen skal belyse ulike aspekter ved det ? kune matematik: faktakunskap, ferdigheter, holdninger til faget, hvordan begreper utvikles og byger p? hverandre, og hvordan utforskning og eksperimentering kan v?re et redskap for ? utvikle bevist kunskap. I l?rerutdaningen er det spesielt viktig at studentene kan reflektere omkring samspilet melom matematikfaglige kunskaper og didaktiske problemstilinger (Kunskapsdepartementet, 203, s.25). De faglige m?lene viser til at studentene skal ha kunnskaper om de matematikkfaglige emnene som er aktuele i grunnskolen, om matematikkens historiske utvikling og om matematikken i et samfunnsperspektiv. Den fagdidaktiske delen skal inneholde teorier slik at studenten skal kjenne til hvordan barn l?rer matematikk, og den skal ogs? gj?re studentene i stand til ? vurdere eget fagsyn og konsekvensene av det i forhold til det ? undervise i matematikk. Om det ? v?re l?rer sier rameplanen at studentene blant annet skal kunne planlegge, gjennomf?re og vurdere oppl?ringen i matematikk i grunnskolen, de skal kunne legge til rete for varierte l?ringsaktiviteter for elever med ulike forutsetninger og de skal kunne observere og analysere barns handlinger og kunnskaper. Det siste m?let omhandler samhandling og refleksjon. Det vil si at studenten skal ha kunnskaper om b?de l?rere og elevers holdninger, om hvordan man skal knytte elevenes erfaringsverden til arbeidet med matematikk i skolen, og om studentenes evne til ? kommunisere ved hjelp av matematikk og matematikkens spr?k (Kunnskapsdepartementet, 2003, s.25-26). 3 Kristendom, religion og livsyn 22 Den lokale fagplanen inneholdt i tilegg til henvisning til rameplanen, pensumlister og vurderingsomr?der som arbeidskrav og eksamener. Det ble utarbeidet en semesterplan for hele ?ret med beskrivelser av tema for hver forelesning/seminargruppetime og konkret henvisning til pensumliteratur. Ale planene var tilgjenglige for studentene p? Fronter 4 . I det studie?ret denne unders?kelsen foregikk, hadde studentene seks eksamener. Tre eksamener ble vurdert best?t/ikke best?t eler godkjent/ikke godkjent, og tre vurdert med bokstavkarakterene A-F. De tre uten karaktervurdering var en presentasjon av et tverfaglig opplegg, en individuel innlevering av matematikkoppgaver kalt matematikkutviklingsdagbok (MUD), og et undervisningsopplegg som skulle gjennomf?res som gruppearbeid og presenteres for medstudenter. Den f?rste av de tre eksamenene som ble vurdert med karakter, ble git i slutten av h?stsemesteret og var en hjemeksamen i didaktikk. Den andre var en skriftlig oppgave knyttet til praksis. Og den tredje, som ble git p? slutten av v?rsemesteret, var en skriftlig skoleksamen som hovedsaklig vektla matematikkfaglige kunnskaper, men som ogs? inneholdt enkelte didaktiske eler metodiske sp?rsm?l. Resultatene fra eksamenene som ble vurdert med bokstavkarakter, ble sl?t samen til en karakter som gjaldt for hele matematikk 1-kurset. De enkelte karakterene ble vektet slik: matematikkdidaktikk hjemeksamen (8 studiepoeng) 27 %, praksisrapport (6 studiepoeng) 20 % og skriftlig eksamen med vekt p? matematikkunnskap (16 studiepoeng) 53 %. Jeg har valgt ? ta med den veiledende skalaen for bokstavkarakterene 5 fordi den beskriver niv?et man skal vurdere en students prestasjoner eter, og siden jeg ba studentene angi hvilken karakter de tror de kan oppn? i kurset for ? samenliknet dete med den karakteren de til slutt fikk. 4 Fronter er en platform for netbasert l?ring og samarbeid, utviklet spesifikt for utdaningsektoren. htp:/fronter.no/no 5 htp:/ww.hibo.no/index.php?ID=1240 23 Symbol Betegnelse Generel, ikke fagspesifikk beskrivelse av vurderingskriterier A Fremragende Fremragende prestasjon som klart utmerker seg. Kandidaten viser sv?rt god vurderingsevne og stor grad av selvstendighet. B Meget god Meget god prestasjon. Kandidaten viser meget god vurderingsevne og selvstendighet. C God Jevnt god prestasjon som er tilfredstilende p? de fleste omr?der. Kandidaten viser god vurderingsevne og selvstendighet p? de viktigste omr?dene. D Noks? god En akseptabel prestasjon med noen vesentlige mangler. Kandidaten viser en vis grad av vurderingsevne og selvstendighet. E Tilstrekkelig Prestasjonen tilfredstiler minimumskravene, men heler ike mer. Kandidaten viser liten vurderingsevne og selvstendighet. F Ikke best?t Prestasjon som ike tilfredstiler de faglige minimumskravene. Kandidaten viser b?de manglende vurderingsevne og selvstendighet. Tabel 1: Veiledende skala for bokstavkarakterer Det kan v?re rimelig ? anta at studentene har en forforst?else av hvordan man vurderer matematikkarakter fra videreg?ende skole. Den tilsier at n?r man har alt riktig, s? f?r man topp karakter. I tabelen over blir kravene til en A vurdert som b?de en framragende prestasjon og en stor grad av selvstendighet. Matematikkoppgaver som kun krever reproduksjon av algoritmer, vil ikke vise selvstendig arbeid slik vi vurderer det mot en A. I grunnskolen og videreg?ende skole vil det ? beherske slike oppgaver imidlertid ofte v?re tilstrekkelig for en toppkarakter. Mange av oppgavene i en matematikkfaglig eksamen p? l?rerutdanningen krever at studentene viser en dypere forst?else av matematikken, det vil si at mange av oppgavene som gis ikke kan l?ses ved hjelp av standardalgoritmer eler formler. I dise oppgavene kan man for eksempel kreve at studenten viser flere mulige l?sninger, at han forklarer l?sningsmetodene (algoritmene), eler at han gjennom sit valg av l?sningsmetode viser forst?else av matematikken som ligger til grunn for oppgaven som er git. For mange studenter er dete nye m?ter ? tenke p?. De som fikk toppkarakter p? videreg?ende skole kan derfor oppleve at de ikke f?r toppkarakter i l?rerutdanningen fordi de tidligere ikke har v?rt n?dt til ? forklare matematikken, men de har l?rt seg metodene og dermed l?st oppgavene riktig uten ? tenke hvorfor. Fordi jeg synes det kan v?re relevant for ? forst? studentenes beskrivelser av sine opplevelser, har jeg tat med en kort oversikt over pensum for matematikk 1 det ?ret unders?kelsen foregikk. Pensum besto av tre b?ker og 4 artikler. 24 ? Matematik for l?rere (Breiteig & Venheim, 1998, bind 1 og 2). Dise b?kene inneholder b?de det vi vanligvis beskriver som ren matematikk, og i tilegg mye om emnene matematikkdidaktikk og undervisningsmetoder. Matematikken bygger p? at studenten har en vis forforst?else for matematiske begreper og algoritmer. ? Begynneroppl?ringen (H?ines, 2001) er en bok om innl?ring av matematikk og matematiske begreper bygget p? Vygotskijs sosialkonstruktivistiske ideer. Boka har flere eksempler fra skolen som knytter teorien til praksis. ? Matematik (Brekke & Gjone, 2001, s.215-265) gir en kort oversikt over matematikk b?de som vitenskap og som skolefag i norsk skole, og om matematikkdidaktikk. ? ? l?re matematik (Botten, 1999, s.78-114) belyser ulike fagsyn og l?ringssyn i matematikk. Botten reter et kritisk s?kelys p? hvordan matematikkfaget tradisjonelt har blit formidlet til elevene, han skriver om matematikkvansker og hvordan man forebygger dem, og han tar for seg ulike metoder for undervisning. ? Blir det letere ? v?re l?rer eter dete?(Fottland, Gravanes, Matre, & Svorkmo, 2004, s.51-69) er en artikkel om ulike spr?klige og kommunikasjonsmesige forhold. To l?rere og to forskere har fulgt en elev i ulike samspilsituasjoner i arbeid med matematikk, og formidlet sine opplevelser og tolkninger av hendelsene. ? Konstruktivistisk perspektiv p? datamaskiner i matematikundervisning (Fuglestad, 2003, s.209-234) beskriver ulike metoder for bruk av datamaskin i matematikkundervisningen, og hvordan man b?r vurdere undervisningsm?l i forhold til valg av programvare. Gjennomf?ringen av kurset var slik at man la hovedvekten p? didaktikken i h?stsemesteret, og dete ble knyttet samen med tal?re og algebra. P? v?ren ble det mer matematikkfaglig der emnene geometri, funksjonsl?re, statistikk og sannsynlighet ble behandlet. Dete skulle samsvare med at man hadde didaktikk hjemeksamen i desember og en mer matematikkfaglig skoleksamen i juni. 25 2.2 L?rerstudentens doble role L?rerstudentene har forkunnskaper og erfaringer i matematikk fra 12 ?rs skolegang eler mer. De har derfor en forforst?else av hvordan matematikkundervising skal foreg? og hvordan de selv ?nsker ? v?re som l?rer. De bekler derfor flere roller. For det f?rste m? de forholde seg til det ? v?re student og de oppgaver som det krever. For det andre skal de se den kunnskapen de tilegner seg b?de teoretisk og praktisk i forhold til den profesjonen som er m?let for studiet. L?rerutdanningen representerer derfor en identitetsendring fra det ? v?re elev til det ? bli l?rer (Bjerneby H?l, 2002). I f?lge Lester & al. (2004) er det mange l?rerstudenter som har d?rlig utviklede kunnskaper i matematikk. De mener at det kan henge samen med at de har erfart at l?reren var en autorit?r formidler som forvaltet sannheten. Det kan derfor ofte v?re slik at studentene ikke selv har utviklet den autonome l?ringspraksis som l?rerutdanningen ?nsker at de som l?rere skal undervise eter i skolen (Lester, McCormick, & Kapusuz, 2004). L?rerutdanningens utfordring blir da ? hjelpe dem til ? utvikle en grunnleggende erfaring om matematikk og hvordan den kan undervises (ibid). Bjerneby H?l (2006) fant i sin avhandling at svenske l?rerstudenter ikke bare tok med seg sin erfaring om matematikkundervisning inn i l?rerutdanningen, men ogs? at denne erfaringen hadde en sterk p?virkning p? hva de s? p? som l?rerens oppgave. En av hennes informanter beskrev sin erfaring fra matematikktimen som at man bare regnet oppgaver i en bok, dereter gikk l?reren gjennom oppgavene og s? var alt klart (ibid, s.133). Informanten ga inntrykk av at l?rerens role var ? undervise, men H?l viste at som oftest vile de studentene som i starten av studiet mente at l?rerens viktigste rolle var ? undervise, endre dete i l?pet av studiet til at l?reren burde ha en veilederole og undervise p? en mer laborativ og forskende m?te (ibid, s.60). En slik holdningsendring kan foreg? i flere trinn, og studenten m? forholde seg til mange sider ved undervisningen slik som egen framtreden, elevenes oppmerksomhet, fagets egenart og de metodiske grep som kreves for en god l?ringssituasjon for eleven. Brown og Borko (1992) omtaler forskning p? det vi kan kale veien man m? g? for ? bli en god l?rer. F?rst skal l?rerstudenten gjennom en proses som student mot l?reryrket, men man er ikke ferdig med sin egenutvikling som l?rer n?r studiet er over, det 26 fortseter nemlig bare i en annen kontekst. For ? beskrive dete fant Fuller og Bown (i Brown og Borko, 1992, s.229) at studenten m?te gjennom en firetrinns proses i sin utdanning. For det f?rste tenkte studentene ikke som l?rere s? lenge de selv fortsat var studenter. For det andre var det slik at n?r de gikk inn i l?rerollen var de f?rst mer bekymret for ? overleve selv, det vil si for det ? st? foran elever som skulle vurdere dem. I tredje trinn var bekymringen deres om de klarte ? gjennomf?re det de skulle undervise i forhold til ramevilk?r som tidspres, for mange elever, eler for lite hjelpemidler. F?rst i fjerde trinn var de klare til ? se de sosiale og emosjonele behovene til elevene som en del av undervisingen. Og n?r man har kommet s? langt, s? skal man ta neste skrit for ? bli en god l?rer. Brown og Borko (1992, s.210) beskriver s? den neste firetrinns prosesen der man som l?rer f?rst skal skape et milj? som fremer l?ring, s? st?tte og veilede elevene slik at de oppn?r de (av l?reren) planlagte og gite m?lene for undervisningen, dereter skal l?reren skape et klaseromsmilj? som synliggj?r den l?ringsprosesen man ?nsker for b?de l?rere og elever, og til slutt skal han evaluere den totale situasjonen for ? nyttiggj?re seg erfaringene i sit videre arbeid. I tilegg til rollen som l?rerstudent i en identitetsendringsproses, skal studenten tilegne seg tilstrekkelig faglig kunnskap til ? m?te framtidens skole i den grad det er mulig. I denne prosesen har l?rerutdanningen en sentral rolle fordi det er l?rerutdannerens/utdanningens forpliktelse ? trekke inn ny forskning og nye perspektiver for ? utdanne l?rere for morgendagens skole. Dete medf?rer ofte en utfordring i ? formidle denne kunnskapen slik at studenten ser samenhengen melom egne erfaringer og ny kunnskap som en god utvikling og ikke som en uoverkommelig oppgave (Melin-Olsen, 1991, s.3): Dilemaet avtegnes: Det eksisterer en speningsfylt motsetning i l?rerutdaningen melom det ? utdane for den eksisterende skolen og det ? utdane for endring av den. ? Det er let ? tenke seg at dilemaet utvikler motstand hos studentene mot den fagdidaktiske undervisningen. Motstanden kan rete seg bege veger (?): dersom undervisningen ike leger perspektiver p? morgendagens skole vil l?rerutdaningen opfates som ?tradisjonel?, ?bakstreversk? eler ?enkel? av noen studenter. Dersom undervisningen i for stor grad vektleger morgendagens skole vil den bli opfatet som ?idealistisk?, ?komplisert? eler ?teoretisk? av andre studenter. Opfatningene skaper holdninger til undervisningen hos studentene og dise holdningene kan let utvikle seg til ulike former for motstand. 27 Det vil si at den nyutdannede l?reren st?r i en posisjon formet av tradisjoner samtidig som han skal v?re den som utvikler og tilpaser undervisningen for morgendagens samfunn. Dete er noe som kan skape frustrasjon b?de under utdannelsen og n?r man m?ter sin f?rste arbeidsplas fordi man kan komme i en konflikt melom egen overbevisning, sine erfaringer fra l?rerutdanningen og den tradisjonen den enkelte skole har. For den idealistiske, men uerfarne, nyutdannede l?rer, kan det i slike tilfeler v?re let ? tilpase seg den etablerte kulturen p? den skolen man kommer til, s?rlig hvis det paser med hans egen erfaring fra tidligere skolegang (ibid). 2.3 Opfatninger og holdninger i matematik I en matematikkdidaktisk tradisjon vile det v?rt en mulighet ? beskrive studenters oppfatninger og holdninger til matematikk ut fra teorier om afektive sider ved l?ring. Matematikkdidaktisk viser man da ofte til begrepene beliefs, attitudes og emotions. Men siden oppgaven min teoretisk bygger p? fenomenologisk basert kunnskapsosiologi og handler om opplevelser, ?nsker jeg hovedsaklig ? bruke Gadamers begrep forforst?else om studentenes oppfatninger om matematikk n?r de begynner p? l?rerutdanningen. For ? vise hva en slik forforst?else kan bygge p?, vil jeg i dete delkapitlet beskrive hvordan man har brukt teorier om afektive sider knytet til undervisning og l?ring i matematikk. Viktige informasjonskilder har v?rt Handbook of research on mathematics teaching and learning (Grouws, 1992), artikkelsamlingen Beliefs ? A hidden variable in mathematics education (Leder, Pehkonen, & T?rner, 2002) og avhandlingen The Dynamics of Afect, Cognition and Social Environment in the Regulation of Personal Learning Proceses: The Case of Mathematics (Malmivuori, 2001). Spesielt har jeg brukt teorier om afektive sider knyttet til ulike sider ved undervisning og l?ring i matematikk, og til l?rerollen (Kloosterman, 2002; McLeod, 1992; Pehkonen & T?rner, 1999; Thompson, 1992). Utgangspunktet mit for dete kapitlet er de engelske ordene beliefs og attitudes. I den norske fagliteraturen for undervisning i matematikk kan man finne flere oversetelser av begge begrepene. Man har brukt ordene holdning (Brekke, Lie, & Kj?rnsli, 1997), 28 oppfatning (Pehkonen, 2003) og motivasjon (Solvang, 1992). Jeg kan ikke finne noen definisjon eler forklaring som gj?r det mulig ? skile eler sete likhetstegn ved bruken av dem. Melin-Olsen (1984) bruker fornuftsgrunnlag som uttrykk for motivasjon og vilje til l?ring, men dise begrepene har et annet innhold enn beliefs. Jeg har valgt ? gi en oversetelse og definisjon av uttrykkene beliefs (oppfatning) og attitudes (holdning) for ? vise hvordan jeg bruker dise uttrykkene i min analyse av studenttekstene. Oppfatning - mentale begreper om et emne uten at det kan bevises som sant eler usant. Det er en m?te ? oppfate noe p?, en fortolkning, en mening eler en beskrivelse. Den er en sanhet for eieren av oppfatningen, men den krever ikke et vitenskapelig bevis. Holdning - en varig kunnskap som reflekterer personens oppfatninger om et emne, beskrevet med ord og handling og knyttet sterkere til kunnskaper om matematikkfaglig innhold enn oppfatning. Man kan ha en positiv, negativ eler avventende holdning til noe. For eksempel at matematikk er vanskelig eler let. Holdningen p?virker en persons handling. N?r det er snakk om afektive sider i forhold til matematikk, s? er det viktig ? skile melom oppfatninger om og kunnskaper om matematikk (Thompson, 1992). For ? tydeliggj?re dete skilet har oppfatninger blit knytet til ord som overbevisninger og at en oppfatning inneb?rer at man er klar over at andre tenker annerledes (Abelson i Thompson, 1992). Kunnskap m? avspeile en konkret sannhet, en uavhengig faktisk referanse, mens oppfatninger er uavhengig av en slik forankring og m? dermed heler ikke ha en feles referanse (Shefler i Thompson, 1992). McLeod (1992) deler afektive sider i beliefs, attitudes og emotions. Han beskriver de to f?rste som relativt stabile, og den tredje, emotions, som mer utstabil. They also vary in the level of intensity of the afects that they describe, increasing in intensity from ?cold? beliefs about mathematics to ?col? atitudes related to liking or disliking mathematics to ?hot? emotional? reactions to the frustration of solving nonroutine problems (McLeod, 192, s. 578). 29 Han begrunner dete med at beliefs er mer kognitiv og er utviklet over en lang periode, mens emotions har liten kognitiv verdi og vil forsvinne fort, for eksempel n?r man har l?st oppgaven og frustrasjonen er borte (ibid). P? den m?ten tenker han seg at man kan se oppfatninger, holdninger og f?lelser, i denne rekkef?lgen, som representasjoner for ?kende niv? av f?lelsesmesig innhold, synkende niv? av kognitivt innhold, ?kende niv? av spontane tilbakemeldinger og synkende niv? av stabilitet i tilbakemeldingene (ibid.). McLeod (1992) har forklart de tre afektive omr?der. Det er spesielt de fire omr?dene som han deler beliefs i som er av interese for min unders?kelse. The Afective Domain in Mathematics Education Category Examples Beliefs About mathematics About self About mathematics teaching About the social context Mathematics is based on rules I am able to solve problems Teaching is teling Learning is competitive Atitudes Dislike of geometirc prof Enjoyment of problem solving Preference for discorvery learning Emotions Joy (or frustration) in solving nonroutine problems Aesthetic responses to mathematics Tabel 2: Inndeling av affektive omr?der i matematikundervisningen (McLeod, 1992, s.578) Goldin (2002) har tat med verdier i tilegg til de tre tidligere nevnte. Hans vurderinger er derfor at individuelt kan man se fire underomr?der for afektive representasjoner: (1) emotions (rapidly changing states of feling, mild to very intense, that are usualy local or embeded in context), (2) atitudes (moderately stable predispositions toward ways of feling in clases of situations, involving a balance of afect and cognition), (3) beliefs (internal representations to which the holder atributes truth, validity, or aplicability, usualy stable and highly cognitive, may be highly structured), and (4) values, ethics and morals (deply- held preferences, posibly characterized as ?personal truths?, stable highly afective as wel as cognitive, may also be highly structured) (Goldin, 202, s.61). 30 Goldin definerer oppfatninger som et begrep der innholdet gir meningen ut fra en samlet kontekst p?virket av b?de individuele erfaringer og den sosiale gruppen, og at de kan v?re kombinasjoner av flere av f?lgende: Beliefs about the physical world, and about the corespondence of mathematics to the physical world (e.g., number, measurement); Specific beliefs, including misconceptions, about mathematical facts, rules, equations, theorems, etc. (e.g., the law of exponents, the quadratic formula, the idea that ?multiplication always makes larger?); Beliefs about mathematical validity, or how mathematical truths are established; Beliefs about efective mathematical reasoning methods and strategies or heuristics; Beliefs about the nature of mathematics, including the foundation, metaphysics, or philosophy of mathematics; Beliefs about mathematics as a social phenomenon; Beliefs about aesthetics, beauty, meaningfulnes, or power in mathematics; Beliefs about individual people who do mathematics, or famous mathematicians, their traits and characteristics: Beliefs about mathematical ability, how it manifests itself or can be asesed; Beliefs about the learning of mathematics, the teaching of mathematics, and the psychology of doing mathematics: Beliefs about oneself in relation to mathematics, including one?s ability, emotions, history, integrity, motivations, self-concept, stature in the eyes of others, etc. (Goldin, 202, s.67-68). Kloosterman (2002, s.248) beskriver motivasjon som en kognitiv handling, og at studentene gj?r sine valg ut fra dete om n?r og hvordan de finner det hensiktsmesig ? l?re matematikk. Motivasjonen er et resultat av hvordan de oppfater matematikk og dete kan deles i f?lgende kategorier: a) matematikk som fag, b) seg selv som matematikkelev/student, c) matematikkl?rerens rolle, d) andre forestilinger om matematikkl?ring (ibid., s.249). Dise fire punktene samsvarer med McLeods firedeling av beliefs i Tabel 2 s.29. Pehkonen (2003) har ut fra Thompsons (1992) artikkel om l?reres oppfatninger i matematikk kategorisert sider av matematikkl?rerollen og forst?else av matematikk fordelt over tre niv?er. De tre venstre kolonnene beskriver omr?der som jeg ?nsket ? vite mer om i forhold til studentenes forforst?else for hva matematikk og matematikkundervisning er. Jeg har valgt ? ikke g? n?rmere inn p? hva som ligger i de ulike kategoriene i hvert niv?, men ? se p? tabelen som en veiledning i forhold til studentenes uttalelser og heler beskrive tolkningen n?rmere i hvert tilfele. 31 O p f a t n i n g Hva er matematik? Hva ineb?rer inl?ring av og undervisning i matematik? Hva er elevenes og l?rernes roler? Hva er kriteriene for ? vurdere riktige svar? Hva g?r probleml?sing ut p?? Niv? 0 -Bruk av aritmetiske ferdigheter i hverdagslige situasjoner. - Matematisk kunskap ineb?rer mekaniske og prosedyremesige ferdigheter. - Memorering av fakta, regler, formler og prosedyrer. - Undervisnings- sekvenser som ang?r temaer og ferdigheter som spesifiseres i en l?rebok. -L?reren er den som viser og beskriver veletablerte tiln?rmingsm?ter. - Elevene imiterer dete. -L?reren er autoritet ved vurdering av riktighet. - Korekte svar er m?let for undervisningen. -? kome fram til svar p? ?historie- problemer?. - ? hjelpe elevene til ? bruke de riktige prosedyrene (?tomel- fingeregler?). Niv? 1 -Regler styrer alt matematisk arbeid. - Vurdering og forst?else av de begrepene og prinsipene som liger til grun for reglene. -En stadig st?re bevisthet om hvordan man bruker de representasjonene undervisningen ineholder. - Bruk av manipulative grep i undervisningen. -St?te for synet om at ?mate er g?y?. - Stort set det same som p? niv? 0. - L?reren reter opmerksomheten mot ?logiken bak reglene?. - Elevene f?r en vis forst?else. - Autoriteten n?r det gjelder om et bestemt svar er riktig eler ike, liger fremdeles hos eksperten. -Opfates som en spesiel ingrediens i fagplanen. - L?res bort ?for seg?. - Problemene har ingen forbindelse med de matematiske temaene som studeres. Niv? 2 - Forst?else av matematik som et komplekst system av flere begreper, prosedyrer og representasjoner med relasjoner seg imelom. - Undervisning for forst?else. - Forst?else skapes ut fra et engasjement i den prosesen som bruken av matematik ineb?rer. - L?reren styrer elevenes tenkning p? en matematisk produktiv m?te. - L?reren lyter til elevenes ider. - Elevene f?r gi utryk for idene sine. -? drive med og jobe med matematik er m?let med undervisningen. - Det er elevene selv som kontrolerer at svarene deres er riktige. -Probleml?sing opfates som en undervisnings- metode. - Undervisning ?via? problem- l?sing. Tabel 3: Pehkonens modifiserte model av Thompsons (1992) niv?er n?r det gjelder utviklingen av l?reres oppfatninger om matematikundervisning (Pehkonen, 2003, s.170-171). Pehkonen (2003) sier at en elevs oppfatninger om matematikk spiler en avgj?rende rolle n?r det gjelder elevens tanker og handlinger, og dise oppfatningene p?virker elevens holdninger i st?rre eler mindre grad. Faktorer som p?virker elevens oppfatninger og hans matematiske adferd er samfunnets myter om matematikk, hans egen motivasjon som elev i matematikk, hans tidligere erfaringer i matematikk, matematisk kunnskap og hans behov som elev i matematikk (Pehkonen, 2003, s.248- 32 249). Thompson (1992, s.131) summerer opp sin oversikt over forskning som er gjort p? l?reres oppfatninger f?r 1992 med at forskningen kan deles i kategoriene, l?reres oppfatninger om matematikk, l?reres oppfatninger om undervisning i matematikk og oppfatning om l?ring i matematikk. Melin-Olsen (1984, 1987) mener det kan eksistere en samenheng melom elevens l?ring av matematikk og deres vurdering av skolen, matematikkfaget og matematikkundervisningen, s? derfor kan man anta at eleven har et fornuftsgrunnlag for l?ring. Han deler elevers fornuftsgrunnlag for l?ring i to, det instrumentele fornuftsgrunnlag (IFG) og det sosiale fornuftsgrunnlag (SFG). Fornuftsgrunnlaget er individuelt, selv om det ogs? vil v?re sterkt knytet til den gruppen individet tilh?rer og er n?rt knyttet til elevens motivasjon for ? l?re matematikk. Kort sagt s? er IFG knyttet til elevens forst?else av at han m? l?re dete fordi det er en kunnskap som skal testes til eksamen, mens SFG kan plaseres i en st?rre samenheng der eleven har en forst?else av hvordan faget skal brukes ut over det som er m?lbart til en eksamen. I praksis vil det si at det er ikke snakk om et enten eler, men et b?de og, der de to fornuftsgrunnlagene vil veksle p? ? v?re det som er viktigst i ?yeblikket for eleven. For l?reren vil det uanset v?re en utfordring i ? se hva elevens behov er, og hvordan han skal im?tekomme dete behovet for ? f? et best mulig resultat som dekker elevens behov i ?yeblikket (Melin-Olsen, 1984, 1987). Solvang (1992, s.220) mener at en motivasjon for det ? l?re matematikk er en del av en indre motivasjon og at denne er en rent fagrelatert motivasjon. Han deler motivasjon opp i innenfor-matematisk og utenfor-matematisk motivasjon, der den f?rste viser til at eleven finner motivasjon i det rent ?matematikk-tekniske? ved det ? l?se oppgaver/problemer, og den utenfor-matematiske motivasjonen kommer n?r eleven ser nytten i ? kunne matematikk for ? l?se hverdagsproblemer/praktiske oppgaver. Han forklarer ikke ytre motivasjon n?rmere eler knytter det til andre afektive sider, likevel vil jeg anta at dise kan v?re en del av, eler en ?rsak til, elevers oppfatninger og holdninger. 33 Selv om jeg videre i avhandlingen ?nsker ? bruke forforst?else som et samlebegrep for de afektive sidene, har jeg med utgangspunkt i arbeidene til Pehkonen (2003), Kloosterman (2002), McLeod (1992) og Goldin (2002) valgt fire kategorier om matematikk i en l?ringssituasjon som jeg ?nsket ? bruke i analysen av respondentenes opplevelser. Dise kan ogs? knyttes til form?lsparagrafen for matematikk 1-kurset i rameplan for almennl?rerutdanningen 2003. ? oppfatninger om matematik ? oppfatninger av seg selv som bruker av matematik ? oppfatninger om matematikundervisning ? oppfatninger av hvordan l?ring av matematik foreg?r Utgangspunktet for mit videre arbeid blir da ? beskrive studentenes oppfatninger om matematikk og matematikkundervisning, jf. de fire kategoriene, deres uttalte holdninger til matematikk og deres fortelinger om hendelser fra matematikk 1-kurset. P? den m?ten vil man kunne f? en forst?else av deres opplevelser fra kurset slik jeg tolker dem. Teoriene beskrevet over h?rer til en annen teoritradisjon enn den jeg bruker, nemlig en sosialkonstruktivistisk teori, der forholdet melom kognisjon og emosjon ikke lar seg let besteme. Dete er teorier som ogs? kales en sosiokognitiv tiln?rming til kunnskap og l?ring, og som Rommetveit (1996) og andre beskriver som dialogisme. Det er n?re b?nd melom dialogismen, Vygotskij-tradisjon og fenomenologisk basert kunnskapssosiologi. Jeg g?r ikke n?rmere inn p? dialogismen og Vygotskij-tradisjonen siden jeg har valgt den fenomenologiske vendingen. Som beskrevet innledningsvis vil jeg forholde meg til studentenes forforst?else for matematikk og matematikkundervisning. I noen samenhenger vil det v?re naturlig ? presisere denne forforst?elsen som en positiv eler negativ holdning, eler som en students uttrykte oppfatning om matematikk og matematikkundervisning. I min presentasjon vil derfor holdninger og oppfatninger v?re en del av forforst?elsen knyttet til fenomenologisk basert kunnskapssosiologi. 34 2.4 Forforst?elsens role hos studentene Gadamers begrep forforst?else kommer fra Husserl og Heideggers teorier. Begrepet brukes om de erfaringer man har med seg som en kunnskap fra tidligere (Gadamer, 1989). Denne typen forforst?else er ikke ment som en ford?mmende eler forh?ndsd?mmende innstiling, men som en n?dvendig balast, en horisont man bringer med ut fra de erfaringer man har gjort (ibid., s. 270). P? den m?ten p?virker erfaring hvordan vi mottar ny informasjon, eler det som i fenomenologisk terminologi kales ? med-konstituere. Horisonter g?r b?de bakover og framover. Overf?rt p? en sosial situasjon s? kan man si at vi altid m? v?re ?pne for ? endre v?r egen forforst?else, endre v?r horisont, for ? forst? den informasjonen vi mottar (ibid.). Gadamer (1989, s. 302-303) beskriver dete som en horisontsammensmeltning. Og i den grad vi forst?r at noe gir mening har det skjedd en slik horisontsamensmelting. Gadamer skriver om dete i forhold til tekst, men det kan let overf?res til akt?rers horisonter. For min analyse av l?rerstudentens opplevelser benytter jeg denne teorien n?r jeg beskrive at studenten i m?te med l?rerutdanningen bringer med seg en forforst?elsen som p?virker deres opplevelse av matematikk 1-kurset. Kurset vil ha sin egen horisont bestemt av matematikkl?rerne og deres oppfatninger av rameplaners innhold. Teorien vil da kunne beskrive hvordan de klarer ? se samenhenger melom egne erfaringer og utdanningen. Hvis en slik samenheng oppst?r, har det foreg?t en horisontsamensmeltning som gir dem mulighet for ? nyttiggj?re seg tidligere erfaringer i et nyt perspektiv som l?rere. For mange l?rerstudenter kan det v?re en stor utfordring ? m?te matematikken i utdanningen. Enten fordi det er lenge siden sist de hadde matematikk, eler fordi de har negative erfaringer fra faget i skolen. Bishop (1988) viser til at det er viktig ? huske at eleven ankommer ikke skolen uten sine egne erfaringer som skal tilpases enhver l?ringssituasjon og selv to elever som kommer fra same samfunn, har same bakgrunn og s? videre, vil ha hver sin oppfatning og tolkning av same hendelse. Dete medf?rer at det individuele niv?et vil p?virke enhver undervisning og l?ringssituasjon (Bishop, 1988). Selv om Bishop viser til eleven og skolen, vil jeg anta at det ikke er noen grunn til ? tro at studenten m?ter l?rerutdanningen noe mindre p?virket av tidligere erfaringer. Men deres erfaringer vil v?re annerledes fordi studenten har en 35 lengre erfaring med matematikk som fag og seg selv som bruker av matematikk. Studenten har ogs? valgt sin utdanning i motsetning til en elev som m? f?lge et obligatorisk utdanningsl?p. Studenten har en forforst?else (horisont bakover) som konstituerer hva de forventer av l?rerutdanningens matematikk 1-kurs (horisont framover). Denne forforst?elsen kan beskrives som oppfatninger og holdninger knyttet til matematikk, fornuftsgrunnlag og motivasjon for l?ring, og en forst?else av l?reres rolle i klasserommet. Ser man motivasjon for l?ring og undervisning i forhold til Sch?tz? (2005) relevanssystem og fornuftstypologi (beskrevet n?rmere i kapitel 3.1), betyr det at studentene kan velge ulike veier mot m?let selv om de har f?t same informasjon set fra l?rerens side. Det som kan v?re et fornuftig valg for den ene, er ikke n?dvendigvis et fornuftig valg for resten av studentene. Hva de oppfatet som fornuftig er avhengig av deres forforst?else for matematikkl?ring og ?undervisning. Hvordan de vurderer sine egne erfaringer mot det m?let de forholder seg til kan beskrives som en for-? tenkning. I kapitel 2.3 diskuterte jeg ulike afektive sider knyttet til matematikk og oppsummerte dem i fire kategorier som jeg ?nsket ? bruke i analysen av respondentenes opplevelser av matematikk 1-kurset. Dete kurset er en planlagt handling som studentene ?nsker ? gjennomf?re. Sch?tz (2005) beskriver det slik at ale v?re planer for kommende avsluttede handlinger er basert p? v?r forh?ndskunnskap p? det tidspunktet prosjektet starter. Ale v?re kunnskaper i vid mening er med i v?r bagasje, det Sch?tz kaler kunnskapslageret (stock of knowledge). Denne forkunnskapen og enhver fortolkning av den, er basert p? de erfaringer vi har f?t overlevert fra v?r foreldre, l?rere og andre, og den fungerer i egenskap av v?r referanserame (ibid. s. 88). S? lenge vi er i en for-?- tenkning vil v?re forkunnskaper, v?rt kunnskapslager, spile en rolle i forhold til v?re avgj?relser, og v?re v?r forforst?else for v?r h?ndtering av en situasjon. Jeg ?nsker derfor ? diskutere n?rmere hva som kan ligge i forforst?elsen i lys av de fire kategoriene om oppfatninger fra matematikkdidaktisk teori som jeg tidligere har beskrevet. De fire er 1) oppfatninger om matematikk, 2) oppfatninger av seg selv som 36 bruker av matematikk, 3) oppfatninger om matematikkundervisning og 4) oppfatninger av hvordan l?ring av matematikk foreg?r. 1) Forforst?elsen og oppfatninger om matematik. Mange elever ser ut til ? tenke seg matematikk kun som et set regler som m? l?res uten at de ser noen samenheng melom matematikken og det de elers opplever i hverdagen. Det kan v?re at de tror ale matematiske problemer kan l?ses ved ? benytte kjente fakta, regler, formler og prosedyrer, eler at det er kun de reglene som st?r i l?reboka som kan brukes. De tror at ale matematikkoppgaver l?ses p? noen f? minutter. En kognitiv deling av matematikkforst?else beskrives av Pehkonen (2003, s.257) som et instrumentelt syn (matematikken utgj?r en form for verkt?ykasse), et platonsk syn (matematikken utgj?r f?rst og fremst et formelt system) og et konstruktivistisk syn (matematikken er en proses som for eksempel materialiseres gjennom probleml?sing). 2) Forforst?elsen og oppfatninger av seg selv som bruker av matematik. Hvis eleven har erfart at han klarer ? l?se de oppgavene som blir git, vil han ha en forventning om at han kan klare nye utfordringer. En elev som har erfart at talene og symbolene som ble presentert i matematikktimen ikke hadde noen betydning, vil ha et motsat utgangspunkt. Eleven kan ogs? ha opplevelser fra matematikktimer som ikke er direkte knyttet til matematikken, men til andre episoder som har git negativ erfaring og som han senere forbinder med matematikk. 3) Forforst?elsen og oppfatninger om matematikundervisning Teoretisk kan man se p? l?reres forskjelige fornuftsgrunnlag for matematikk og matematikkundervisning som relasjonel forst?else og instrumentel forst?else (Skemp, 1976, 1986). Den f?rste beskriver en matematikkundervisning som s?ker forklaringer og samenhenger og er mer eksperimentel, mens den andre knyttes til undervisningsmetoder som f?lger det vi ofte oppfater som en tradisjonelt matematikkundervisningsmetode hvor l?reren gjennomg?r stoffet og elevene kopierer l?reren. Skemp (ibid.) viser til at det er viktig ? v?re oppmerksom p? at den instrumentele metoden vil fungere bra i forhold til rutinepregede aktiviteter som 37 oppgavel?sning eter kjente metoder og med standardiserte algoritmer. P? den andre side vil den v?re en lite ?nskelig undervisningsmetode n?r man ?nsker en videreutvikling av matematisk forst?else av ? kunne l?se oppgaver som ikke f?lger et forutbestemt m?nster (ibid.). 4) Forforst?elsen og oppfatninger av hvordan l?ring av matematik foreg?r For noen elever har det ? l?re matematikken v?rt knyttet til det ? l?se oppgaver. Jo flere oppgaver man har l?st, jo flinkere er man. F?r man alt ret, s? kan man matematikk. Mange elever kan ogs? ha den oppfatningen at l?reren har hovedansvar for at de l?rer noe. Solvang (1992) viste til indre og ytre motivasjon for l?ring og Melin ? Olsen (1984, 1987) viser til to fornuftsgrunnlag for l?ring, IFG og SFG (beskrevet i kapitel 2.3). Jeg har alts? her kombinert to teoritradisjoner, den hermeneutisk fenomenologiske og den matematikkdidaktiske. Den matematikkdidaktiske tradisjon har bidrat med mye forskning relatert til det omr?det jeg ?nsket ? unders?ke. Grunnen til at jeg har utvidet det, er at jeg mener dete hermeneutiske grunnlaget gir en rikere teoretisering, og det gir sannsynligvis ogs? mer mening for l?rerens praksis. L?rerens praksis inneb?rer de faglige og sosiale kunnskaper og erfaringer han har i forhold til sin undervisning, b?de implisit og eksplisit. Dete f?r betydning for andre del av mit forskningssp?rsm?l som viser til denne type praksiskunnskap. Jeg svarer n?rmere p? dete i oppsummeringen av min unders?kelse. Der viser jeg til at metoden jeg har benyttet har git meg en st?rre forst?else av studentenes situasjon enn jeg vile ha f?t gjennom tradisjonele kilder som karakterer og tilfeldige samtaler. 38 2.5 Matematik og matematikdidaktik i et kulturelt perspektiv I l?rerutdanningens matematikk 1-kurs (Kunnskapsdepartementet, 2003) beskrives m?lomr?det for faglig og fagdidaktisk kunnskap blant annet ved at studenten skal ha kunnskaper om de matematikkfaglige emnene som er aktuele i grunnskolen, om matematikkens historiske utvikling og om atematikken i et samfunnsperspektiv. De var nylig begynt p? ligninger av f?rste grad med en ubekjent, og lile Marius hade t?lmodig fulgt med gjenom angfoldige eksempler, for ? fine dete x. Han hade h?rt dem si at nu var det funet, og set dem stryke ut av tavlen, - ja hva mere var, han hade endogs? selv ale eksemplene opskrevet i sin bok, og dog forble dene ene ubekjente ham like fjern og fremed. Han holdt ?ye med dete x; han skrev trolig op hvorledes det ble jaget som en rev fra linje til linje med multiplikasjoner, forkortninger, br?ker og al verdens djevelskap efter seg, intil det arme utmatede dyr endelig ble drevet alene over til venstre side, og s? viste det seg at dete fryktelige x var ike anet en et ganske fredelig tal ? for eksempel 28 (Kieland, 1982, s.193-194). For lile Marius var matematikktimene en opplevelse av noen uforst?elige og urimelige handlinger med tal og tegn som han ikke s? noen hensikt med. For hvorfor skulle x presenteres n?r den likevel var 28? Hva var hensikten med slike tryllerier? Liknende sp?rsm?l stiler elever hver dag i skolen. Derfor gj?res det i dagens samfunn mye for ? synliggj?re v?rt behov for matematikk i skolen, b?de politisk og forskningsmesig, siden matematikkunnskap er anset som viktig for dagens samfunn. Hva slags matematikk som skal undervises er kulturbetinget og vil endres etersom den teknologiske utviklingen skjer. Ernests (1991) beskrivelse av det tradisjonele klaserommet er at der blir matematikken gjennomg?t av l?rer, og dereter skal elevene l?se oppgaver presentert gjennom tekst og/eler symboler. I en slik tradisjon har mange opplevd matematikkundervisningen som en handling ?fra oven? der l?reren viser eleven hvordan det skal gj?res. En slik kontrollert produksjon av kunnskap ligger langt fra den moderne utdanningsfilosofien som bygger p? at individet skal konstruere sin egen kunnskap og videre produsere egne ideer (Bishop, 1988). Det reformerte klasserommet b?r inneholde diskusjoner og argumentasjoner for hvorfor l?sninger fungerer og v?re mer retet mot et moderne h?yteknologisk samfunn fordi det finnes et tverfaglig behov for matematiske modeler, slik at faget kan ses p? som grunnleggende viktig for at man skal ha mulighet til ? forst? dagens samfunnsmesige forhold 39 (Blomh?j, 2001). Ernests, Bishops og Blomh?js syn p? matematikkens rolle i samfunnet er beskrevet i l?rerutdanningens rameplan for matematikk 1-kurset under fagets form?l og egenart: Matematik er en b?rebjelke i v?r tids teknologiske utvikling, og matematisk kunskap er et viktig element i mange fagomr?der og virksomheter. I skolen var faget i mange ?r dominert av inl?ring av de ulike regneartene. Det ble lagt sterk vekt p? ferdighetsaspektet. Dagens l?replan i matematik leger stor vekt p? begrepsutviklingen i faget og matematikens relevans i samfunet. (Kunskapsdepartementet, 203, s.25). I et l?ringsperspektiv har konstruktivismen p?virket matematikkundervisning f?rst gjennom Piagets teori om at vi konstruerer kunnskap gjennom kognitiv adapsjon ? asimilasjon, akkomodasjon og skjema, ved Glaserfelds (2000) radikal konstruktivisme der han sier at det er den som erfarer som bygger ny kunnskap p?virket av omgivelsene/andre (Jaworski & Burton, 1999), og Vygotskijs (Vygotskij & Kozulin, 1986) sosialkonstruktivistiske tanker om utviklingen av den proksimale sone. I dagens skole vektlegges det ? vurdere elevenes kompetanser, og elevenes kompetanser i matematikk kommer til utfoldelse gjennom aktiviteter. Helhetlig matematisk kompetanse inneb?rer ? ha kunnskaper om, forst?, ut?ve, anvende og ta stiling til matematikk og matematisk virksomhet i samenhenger hvor matematikk inng?r eler kan komme til ? inng? (Jensen & Nis, 2002). Det kan likevel v?re relt ? sp?rre seg om det er n?dvendig at ale m? l?re like mye matematikk, og l?re den same matematikken. Matematikken har flere anvendelsesomr?der og det er ikke rimelig at ale skal kjenne til alt. I et samfunnsperspektiv vil man finne ulike sider ved matematikkens natur: matematikk er en grunnvitenskap, en anvendt vitenskap, et system av redskaper som brukes i praksis, er et stort undervisningsfag p? ale trinn i ethvert lands utdanningssystem og den gir rom for estetiske opplevelser (Nis, 2001). Bishop (1988, s. 14-15) beskriver fem niv?er som viser at undervisning og l?ring av matematikk kan ses i et overordnet sosialt perspektiv: 40 Det kulturele niv?. Det finnes nesten ikke en kultur i verden der man ikke underviser matematikk p? et eler annet niv?. N?r det gjelder skole, er matematikk det eneste faget som er feles i b?de tema og presentasjon i ale land. Det sosiale niv?. Den sosiale p?virkning gj?r at ulike deler av matematikken beh?ves mer i et industrisamfunn enn i et jordbrukssamfunn. Det institusjonele niv?. Her kan det v?re store forskjeler fordi undervisning styres av l?replaner, pensum, l?reresurser, kultur/samfunn, men det vil ogs? altid v?re noen feles trekk. Det pedagogiske niv?. Dete niv? regjeres av klaserommet og personene her representert ved elevene, l?reren, utstyr, aktiviteter og deres interaksjon. Likevel er et matematikklaserom ofte s? forh?ndsdefinert av ?matematikk?, at bare spesiele verdier utvikles. Det individuele niv?. Det kan kanskje synes un?dvendig ? ta med dete niv?et n?r man ?nsker ? se p? matematikkutdanningen som en sosial proses fordi den sosiale prosesen best?r av interaksjon melom individer. Likevel tar Bishop det med fordi det er gjennom individets forst?else og bruk av matematikken at faget blir til et samfunnsnyttig redskap. Blomh?j, Nis og Bishop viser til samfunnets behov for matematikk og matematikkunnskap anvendt p? ulike omr?der, men for eleven i skolen er det sannsynligvis ikke like let ? forst? ale dise behovene. Skovsmose (2005) viser til at hvis matematikken skal ha en mening for eleven, s? m? man ta hensyn til hans st?sted basert p? b?de hans erfaringer og hans framtidsutsikter, hans intensjoner, hans handlinger (b?de beviste og ubeviste), hans vurderinger av egne handlinger og de reaksjoner dise medf?rer fra omgivelsene. Hvis ikke dete er synlig for eleven, s? vil ikke matematikken ha noen betydning for ham. Melin-Olsen (1984, 1987) beskriver dete som fornuftsgrunnlag for l?ring. Keitel og Kilpatrick (2005) bruker begrepet common sense-matematikk om en matematikk som gagner de fleste fordi den betyr noe for de fleste. De tenker seg at det finnes en feles forst?else, common sense, for hverdagsmatematikkens rike muligheter. Samfunnets behov for matematikk h?rer ikke bare til v?r tid. Historisk har matematikken v?rt et feles kunnskapsfelt p? tvers av landegrenser og kulturer. 41 Matematiske metoder som brukes i dag har utviklet seg over lang tid, og mange av dem er blit til fordi man hadde et praktisk behov for dem. I dag bruker man de same symboler og metoder de aler fleste steder i verden, p? tvers av spr?k og landegrenser. P? den m?ten kan vi se p? matematikken som et slags feles spr?k og en feles kultur. Matematikkhistorien kan brukes b?de som et tilbakeblikk og en videreutvikling. Ved ? studere matematikkens historie kan man f? belyst matematikkens rolle i forhold til dagens kultur og man kan bruke matematikkens historie i forhold til videreutvikling av faget. Niels Henrik Abel sa det slik: It appears to me that if one wants to make progres in mathematics one should study the masters and not the pupils (Bekken, 2003, s.3). 42 3 Fenomenologisk orientert kunskapsosiologi og narativ teori Fenomenologien oppsto som en grunnleggende teori, et filosofisk fundament for kunnskap. Det er viktig ? skile melom denne grunnleggende teorien og forskjelige anvendelser av den, slik Sch?tz (1962) har brukt den som grunnlag for sin fenomenologisk orientert kunnskapssosiologi. Siden filosofisk fenomenologi ikke er et metodisk forskningsredskap (van Manen, 1997) benytter jeg heler grep fra fenomenologisk hermeneutik og narrativ analyse i datanalysen. Hermeneutikken dreide seg opprinnelig om ? tolke religi?se og klasiske tekster, men kan brukes i vid mening om al tolking av tekst. Ved ? bruke fenomenologisk hermeneutikk, kan man s?ke den esensiele meningen gjennom tekstolking (Lindseth & Norberg, 2004). Denne forskningsmetoden benyttes ofte i samfunnsforskning der man tolker tekster, enten de er muntlige eler skriftlige, for ? synliggj?re individers opplevelser av ulike fenomen (Gal, Gal, & Borg, 1996; van Manen, 1997). Gjennom tekstene beskrives handlingene i opplevelsen, og tekstens form kan ha betydning for forst?elsen av en handling. Fordi fortelingen er et naturlig uttrykk for et menneskes livsverden i et fenomenologisk perspektiv, valgte jeg en narativ metode for ? analysere respondentenes tekster. Jeg st?ttet meg her til Mink (1978) som mener at uten fortelingen vil den kognitive forskningen ikke ha noen mening. Vi kan ikke uttrykke f?lelser og opplevelser uten ? bruke beskrivende ord som for eksempel mening, tanke, osv. (Mink 1978, s.131). 3.1 Fenomenologi i en sosialteoretisk kontekst Som sosialfenomenolog plaserer Sch?tz subjektet som utgangspunktet for studiet av den intersubjektive livsverden og, p? same m?te som Husserl (1954), bruker han begrepet livsverden som et begrep for v?r erkjennelse av livet rundt oss. Dete livsverdensperspektivet finner jeg fruktbart i didaktisk analyse (jf. Bengtson, 1998). Den empiriske livsverden kaler Sch?tz hverdagsvirkelighet og definerer dete som ?den virkelige verden? der hver og en har en forst?else av egne handlinger og egne muligheter i forhold til tidligere erfaringer. Det blir i f?rste omgang en verden innenfor 43 oppn?elig rekevidde som er knyttet til forholdet melom den enkelte og hans samtidige medmenneskers rekkevidde. Da er det mulig for den enkelte gjennom kommunikasjon med andre ? utvide sin verden i et comon sense-perspektiv (Sch?tz, 2005). En slik utvidelse kan foreg? gjennom logisk kunnskap eler erfaringer, men det er viktig her ? skile melom de objektive (logiske) og de generaliserte subjektive (noetiske) betingelser og melom empiriske (kosmologiske) og fenomenologiske teoretiseringer. Logiken (samt for eksempel matematiken og den formale ontologi) er ike en erfaringsvidenskab og besk?ftiger sig slet ike med faktisk eksisterende genstander. Derimod udforsker den ideale strukturer og lovm?sigheder, og dens unders?gelser heraf er karakteriseret ved sin sikerhed og eksakthed. Omvendt er psykologien en erfaringsvidenskab, der udforsker den faktiske bevidsthed, og dens resultater er, som ale andre empiriske videnskabers, karakteriseret ved deres vaghed og blote sandsynlighed (Zahavi, 201, s.17). For forskeren blir det ? skile melom dise to omr?dene, de empiriske og de fenomenologiske, viktig fordi forskeren som person ogs? vil ha sin oppfatning av verden slik ale og enhver har det. Samtidig m? han innta sin forskerole, der han skal betrakte verden ut fra en kunnskap som er minst mulig p?virket av forskerens egen livsverden. Dete er i og for seg en motsigelse, men er likevel en akseptert arbeidsmetode som henger samen med rasjonalitetsbegrepet i common sense- tenkingen. Ale teorier er forskjelig fra den virkeligheten teorien omhandler og vil derfor altid inneb?re en vis form for reduksjonisme. Hvordan forskeren l?ser dete vil jeg komme tilbake til, men jeg vil f?rst se p? hverdagslivets virkelighet slik det er beskrevet i et fenomenologisk perspektiv. If?lge Sch?tz (1973) er hverdagslivet til stede som et bidrag fra v?re forfedre og slik de p?virket verden, p? same m?te som de igjen var p?virket av sine forfedre. Dete hverdagslivets virkelighet vil innvirke p? ale v?re handlinger gjennom b?de den subjektive mening vi legger i v?re opplevelser og den erfaring vi gj?r til v?r egen i samhandling med andre mennesker. Husserl (1954) beskrev det som en opplevelse av verden gjennom en kontinuerlig horisontsamensmelting og sosialiseringsproses mot en normalitetskonstruksjon som egentlig aldri kan oppn?s fordi verden og vi hele tiden er i endring (Zahavi, 2001, s.203-206). Berger og Luckmann (2000) framhever at hverdagslivet framst?r som en virkelighet som tolkes av mennesker og som er deres 44 subjektive oppfatning av hverdagen, men at denne subjektive virkeligheten blir til gjennom intersubjektivitet og en objektivisering av verden. Gjennom intersubjektivitet skaper vi en objektivisering av verden som igjen blir en subjektiv oppfatning. Prosesen foreg?r kontinuerlig som en slags trepunktshendelse uten grenser melom den subjektivering, intersubjektiviseringen og objektiviseringen. Figur 1: Model for analysen av sosiale konstruksjoner basert p? Berger og Luckmanns kunnskapssosiologi (Berger & Luckmann, 1967) Sch?tz refererer til Husserl (1954) n?r han viser til at v?re handlinger foreg?r i to tidsdimensjoner. Den ene er den kosmiske tid som vi m?ler ved hjelp av sosialt konstruerte begrep som timer, dager, f?r, eter, enn? osv. Den andre er den indre tid, la dur?e, som er en subjektiv opplevelse av en str?m av erfaringer som ikke er avgrenset av kosmiske tidsbegreper. N?r vi skal beskrive v?re erfaringer slik vi opplever dem, m? vi beskrive v?r oppfatning av hendelsen gjennom en forst?else av den kosmiske tids betydning for hendelsen. Sch?tz (1973) forklarer videre sin tidsoppfatning med Husserls begreper polytetisk og monotetisk oppfatning. Al opplevelse vil i den indre tid oppleves trinn for trinn, dvs polytetisk, men retrospektivt vil vi i mange tilfele kunne presentere erfaringen som en kort beskrivelse uten ? ta hensyn til tidsforl?pet eler v?re n?dt til ? ta med ale detaljer, dvs monotetisk. Det er derimot noen ting som m? gjenskapes polytetisk og det er der rekkef?lgen av de erfarte hendelsene har betydning for hendelsen som et hele, slik som et dikt eler et musikkstykke. I denne samenheng 45 er det ikke n?dvendig ? g? n?rmere inn i den filosofiske diskusjonen om tid, men Husserls tidsfilosofi f?r to viktige konsekvenser for kunnskapssosiologien og annen anvendt fenomenologi, slik som analysen og fortelingene og opplevelsen av kunnskapslageret. The distinction betwen polytheticaly and monotheticaly grasping the meaning of experiences wil, moreover, be of great importance for the description of the constitution of the stock of knowledge, and its transmision by society, as wel as for the analysis of the understanding of the acts of felow-men (Sch?tz & Luckman, 1973, s. 54). Mennesket vil altid befinne seg i en krysning melom indre og ytre tid og samtidig v?re i en situasjon der det fysiske og sosiale milj? bestemer personen og vil bli definert av personen selv og sedimenteres i den enkeltes kunnskapslager, the stock of knowledge, om den virkelige verden. Gjennom sosial handling kan jeg s? dele dete med andre og hvis det gj?res i n?tid, kaler Sch?tz (2005) delingen en ansikt-til-ansikt-situasjon. Samtidige hendelser kan ogs? deles gjennom brev eler fortelinger, men det m? ses p? som en kvasi-n?tid siden vi ikke var fysisk tilstede i de same omgivelsene, da hendelsen fant sted. Jeg kan ogs? oppleve n?tid i et historisk perspektiv, det vil si at min n?-opplevelse er knyttet til en tidligere biografisk hendelse (Sch?tz, 2005). Det er to hovedtyper av en ansikt-til-ansikt-situasjon, den ene er sosial interaksjon og den andre er iaktakelse (ibid.). Den sosiale interaksjonen er knyttet til v?r forst?else av v?re medmennesker og de alminnelige handlingsm?nstre i v?r feles hverdag. Hvis jeg utf?rer en handling, s? vil en annen som er tilstede forst? hva jeg mener og handle slik at jeg forst?r det som en pasende tilbakemelding. Sch?tz kaler dete en idealisering av motivers gjensidighet, og det er en speilingsproses der akt?rene l?rer av hverandre og tilpaser seg en feles forst?else. Dete knytter han til den generele ideen om perspektivers gjensidighet som kan forklares ved at vi har et feles relevansystem som er tilstrekkelig entydig i forhold til struktur og innhold til at man kan anta at en andre part deler v?r oppfatning av ale deler av den sosialt konstruerte viten, ogs? det objektiviserbare. Iakttakelse er en idealisering ved ren observasjon der man ikke er i en speilingsproses, men m? kjenne til det fysiske i situasjonen. Det vil si at man er fysisk tilstede, og ikke iakttar gjennom en tekst, som for eksempel et brev, eler andre m?ter ? kommunisere p? der man ikke er 46 tilstede ansikt-til-ansikt. B?de gjennom sosial interaksjon og ved iakttakelse gj?r vi os erfaringer som vi bringer med oss i kunnskapslageret, den indre tids erfaringslager, og som vi bruker eter behov i nye handlinger. Det blir v?r forforst?else for videre handling. Common sense inneb?rer at vi gj?r oss ulike erfaringer som vi legger til v?r livsverden. Vi har ogs? muligheten til ? dele v?re kunnskaper og erfaringer gjennom forst?elsen av v?re medmennesker fordi vi tar det for git at slik jeg ?nsker ? forst? og forst?r mine medmennesker, slik forst?r de meg tilbake. Handling kan foreg? i tre tidsperspektiver: den avsluttede handling, den p?g?ende handling og den planlagte handling. De kan ha b?de et for-? motiv og et for-di motiv (Sch?tz, 2005). N?r vi er i en handling, er vi i et for-? perspektiv, vi g?r mot en framtidig handling. For-di perspektivet er retrospektivt, det peker p? en tidligere handling som ?rsak, man iakttar en avsluttet hendelse. Stiler jeg et sp?rsm?l til en annen, vil jeg sosialt set foreta en for-?-motivert handling som utl?ser en for-di- motivert handling hos den andre som svarer fordi jeg har spurt. P? grunn av common sense, det vil si en feles forst?else av handlingen og relevansen av den, kan dete v?re en beskrivelse av perspektivers gjensidighet. Denne feles forst?else har jeg f?t gjennom personlig erfaring, og overleveringer fra min n?re og fjernere sosiale omgangskrets. Hva som er mine kunnskaper og hva slags kunnskaper andre har, er ikke n?dvendigvis entydige, men kan v?re rasjonele i en common sense-erfaring (ibid). Sch?tz f?rer dete videre i en tredeling av akt?rens handlingsrasjonalitet samt afektive og tradisjonele handlinger. Dete gj?r han som et alternativ til Webers (1973, s.139) fire typer fordelt i to orienteringstyper, Zweckrational (form?lsrasjonale) og Wertrational (verdirasjonale), samt afektive og tradisjonele orienteringsm?ter for sosiale handlinger. Den afektive handling vil jeg forholde meg til i en matematikkdidaktisk tradisjon, og den tradisjonele knytter jeg i mit tilfele til forforst?else slik jeg har beskrevet det i kapitel 2.3 og 2.4. De tre typer rasjonele handlinger i common sense-erfaringen beskriver Sch?tz (2005, s.52) slik: Rimelig handling ? n?r handlingen f?lger tradisjonele eler vanlige m?nstre som kan aksepteres av flere 47 Fornuftig handling ? n?r den i tilegg til ? v?re rimelig er knyttet til et fornuftig valg av ulike muligheter Rasjonel handling ? akt?ren har en klar og distinkt forst?else av m?l, middel og sekund?re f?lger Dise definisjonene kan tolkes forskjelig avhengig av om det er akt?ren eler iakttakeren som vurderer handlingens rasjonalitet. Noe som er rasjonel handling for den ene, kan v?re rimelig handling for en annen selv om man deler relevanssyn i hverdagslivet. I tilegg m? man ta stiling til om det er en fortidig handling, alts? en for- di-handling, eler en framtidig planlagt handling, for-?-handling, som skal vurderes. Og om det er en selvstendig handling eler om man er avhengig av andres deltakelse og deres forst?else av handlingen. En rasjonel handling p? et common-sense-niv? vil altid v?re situasjonsbetinget, og en handling som akt?ren forventer er like forst?elig for de involverte som for ham selv. We come, therefore, to the conclusion that ?rational action? on the comon- sense level is always action within an unquestioned and undetermined frame of constructs of typicalities of the seting, the motives, the means and ends, the courses of action and personalities involved and taken for granted. They are, however, not merely taken for granted by the actor but also suposed as being taken for granted by the felow-man (Sch?tz, 1962, s.3) For forskeren blir det viktig ? konstruere en model som erstater common sense- tenkningen uten ? miste relevansen til den virkelige verden han forsker p?. Han m? l?srive seg fra sin biografiske situasjon i den sosiale verden og m? ta handlingen han iakttar for git uavhengig av sosiale konstruksjoner som er akseptert av inngruppa. Inngruppa er Sch?tz? betegnelse p? dem som deler v?rt relevanssyn i hverdagslivet. Sch?tz plaserer med dete forskeren i et helt annet relevanssystem som forsker enn som det han er del av i det vanlige hverdagslivet, og det er bare den retrospektive handlingen man kan forske p?. Ale teorier vil v?re forskjelig fra virkeligheten og siden vi ale har v?r egen livsverden s? vil teorien ha ulike betydninger fra leser til leser. Det er derfor for meg som forsker viktig ? ha et bevist forhold til at jeg ogs? har en erfaring fra mit hverdagsliv som kan ha relevans i forhold til min forst?else av den informasjonen jeg f?r i datamaterialet. 48 I esayet om den fremede bruker Sch?tz (1964, s.91) sit begrep om relevanssyn i hverdagslivet i en av sine mer empiriske analyser. Han tar for seg akt?rens behov for ? gruppere verden som et beherskelsesomr?de rundt seg selv og at akt?ren derfor velger de elementer (brukes her om kunnskap, materiele goder og andre ting som p?virker ethvert hverdagsliv) som er tjenlige for hans subjektive m?l (uten at det n?dvendigvis er ment ? bety egoisme). Interesen for kunnskaper om det enkelte element vurderes i forhold til behov. Sch?tz bruker kartsymboler som bilde. Man kan tenke seg at man g?r gjennom et landskap hvor kotene beskriver mengden av kunnskap om et element, og der yterste ring gir n?dvendige og innerste ring tilstrekkelige opplysninger. Melom dise finnes soner som man ikke kjenner i detalj. For akt?rens hverdagsliv vil muligens den ytterste ha en n?r relevans og han vet at den innerste koten finnes, og det som er i melom finner han uinteresant. Med andre ord, s? godtar han at det finnes kunnskaper som han ikke f?ler behov for ? vite noe om, selv om de har betydning for elementets eksistens. Akt?ren bruker telefonen og kjenner dens bruksomr?de, men vet ikke i detalj hvordan den er bygget og virker, med mindre han har konstruert den. Sosialt set har vi det slik n?r vi er vokst opp at vi gjennom feleskapet har gjort mange erfaringer som gj?r oss i stand til ? f?le tilh?righet, vi er en av inngruppa. I den posisjonen har vi f?t en del erfaringer som en fremed ikke vil ha i sit f?rste m?te med en slik gruppe. Inngruppa har heler ikke noen kunnskap om den fremedes livsverden eler de forventningene den fremede m?te ha til dete gruppefeleskapet ut fra sine erfaringer. Sch?tz (1964) fortolker et slikt m?te i tre faser, den fremede har en forventning om de andre og det milj?et han skal tilpase seg, i neste omgang skal denne forventningen plaseres og justeres i forhold til det nye milj?et, og til sist skal inngruppa, som ikke har v?rt forberedt p? noe nyt medlem, omgrupperes slik at det nye medlemet blir en av dem. Denne beskrivelsen er en fortolkning av m?te melom den fremede og inngruppa og kan verken bekreftes eler avkreftes siden man ikke tolker handlingene i situasjonen og reaksjonene p? dise, men bare forholder seg til en generel teori. Derfor er det kun medlemene i hjemegruppen som kan anvende gruppens kulturm?nstre, og det er f?rst n?r den fremede har samlet en vis erfaring og kunnskap om denne gruppen at han kan forst? dens for-? og for-di. 49 Sch?tz (1964) innleder esayet om den fremede med en definisjon av den fremede som et voksent individ fra v?r tid og sivilisasjon som ?nsker ? bli sosialt akseptert eler i det minste tolerert, av en gruppe som han henvender seg til. Senere generaliserer han dete og sier at fremedhet og fortrolighet kan ogs? gjelde generele fortolkninger av v?r verden fordi n?r vi m?ter noe nytt og ukjent vil vi pr?ve ? fange meningen for s? ? tilpase det slik at det kan steme overens med v?re erfaringer. Lykkes dete har den fremede omgjort det nye til en sikker kunnskap og det er ikke lenger fremed. Den generele fortolkningen av esayet om den fremede vil v?re overf?rbar til en undervisningssituasjon, noe jeg diskuterer senere i dete kapitlet. Esayet om den hjemvendte (1964, s.106) problematiserer den hjemvendtes forventninger til noe som er kjent, men som viser seg ? v?re fremed fordi b?de hjemet og den hjemvendte har endret seg. Hjemet er ikke n?dvendigvis familien og dens bolig, men kan defineres i vid forstand b?de geografisk og innholdsmesig eter den hjemvendtes behov. Hjemet kan beskrives som en gruppe man har opplevd noe samen med i et ansikt-til-ansikt-forhold, et rent vi-forhold. Et slikt forhold er definert som en feles fysisk tilstedev?relse, i same rom og til same tid, og p? den m?ten deler en opplevelse. Slike vi-forhold kan avsluttes og gjenopptas med ulik grad av sukses. Den hjemvendte vender tilbake til en gruppe som han har hat et vi-forhold til. Det kan v?re en soldat som komer tilbake fra krigen, som voksen opps?ker man en by man har bodd i som barn, man tar den daglige bussturen til jobb eler man vender tilbake til universitetet for ? gjenoppta studier. Slik som i esayet om den fremede, kan ting ha skjedd i inngruppa som den hjemvendte ikke kjenner til. Dete kan fremedgj?re inngruppa for ham slik at han ikke umiddelbart vil f?le seg hjeme. Som med esayet om den fremede, vil jeg diskutere dete i forhold til undervisning senere i kapitlet. Studentene har med seg mange typer erfaringer om matematikk og matematikkundervisning fra tidligere skolegang n?r de kommer til l?rerutdanningen for ? bli l?rere. Det er deres subjektive oppfatninger og holdninger til matematikk og en forforst?else for den nye situasjonen. Dise erfaringene kan oppleves av studentene som om de vender tilbake til noe de kjenner, de vender hjem til matematikklaserommet. P? 50 den annen side kan det sies at de fleste ikke har noen erfaring fra ? l?re matematikk i forhold til en bestemt profesjon, og derfor kan de regnes som fremede som m?ter en ny situasjon i forhold til det ? l?re matematikk eler at l?ringsinstitusjonens kultur er s? ulik deres tidligere erfaringer at den i seg selv blir ?som ? komme til et nytt land?. I fenomenologien forholder man seg som sagt til handlinger b?de i et for-di-perspektiv og et for-?-perspektiv, det vil si at det finnes uanset en ?rsak eler et motiv for ? gjennomf?re eler forklare sine opplevelser av en handling. Studentene har skapt seg forventninger til hva som skal skje gjennom tidligere erfaringer. Deres oppfatninger og holdninger er med p? ? gi en forforst?else for hva som skal skje i matematikk-1 kurset og hvordan de skal forholde seg til det. Deres forforst?else kan v?re at de skal oppleve et nytt m?te med noe de har noen tanker om i forhold til egne tidligere opplevelser. De er fremede som kommer til et nytt sted som har vise kjennetegn de forventer ? vite noe om, slik den fremede vil ha med seg erfaringer fra egen kultur som han tenker kan overf?res til sit nye samfunnet. For eksempel kan studentenes forkunnskaper om l?rerutdanningen v?re at de vet det er en slags skole, at de skal l?re matematikk og at de skal bli l?rer. Dete er tre begrep de har en forst?else av fra tidligere skolegang, men som de ikke har en ansikt-til-ansikt erfaring med. En annen forforst?else kan v?re at studentene mener matematikken er s? velkjent fra tidligere erfaringer at de tenker de skal tilbake til noe som likner veldig p? den skolen de har erfart tidligere. De opptrer da som den hjemvendte. S? kan det vise seg at det ikke er slik, den virkeligheten de forventet ? m?te er ikke den de m?ter. En endring kan v?re i rollen de har f?t som student, de er ikke lenger elever med en l?rer som forteler dem hva de skal gj?re. Det blir n? forventet at de er selvstendige studenter som tar ansvar for egen l?ring. Eler at endringen ligger i det institusjonele ved at skolen de kjente og l?rerutdanning har forskjelige kulturer. L?rerutdanningen stiler andre krav til dem, den har en annen forventning til studentens rolle enn den studenten selv tror er riktig. I slike tilfeler kan man si at l?rerutdanneren/utdanningen og studenten ikke har et feles relevanssystem som gir en feles forst?else av handlinger i en ansikt-til-ansikt-situasjon, men at det som kan synes relevant for den ene part vil v?re totalt irelevant for den andre. For ? endre en slik situasjon m? man s?ke omr?der der det kan finnes et feles 51 relevanssystem og s? ved hjelp av sosial interaksjon og iakttakelse utvide sine kunnskapslagre ved ? l?re av hverandre. P? den m?ten kan man bygge et feles relevanssystem som er tilstrekkelig homogent med hensyn til struktur og innhold, og perspektivets gjensidighet vil v?re tilstede. P? den annen side er det ikke mulig ? hindre fokus p? for-di perspektivet n?r det er handlinger som er avsluttet. Tidligere hendelser er en del av forforst?elsen som studenten har med i sit m?te med de nye utfordringene, for det er ikke mulig ? v?re tomme i utgangspunktet (tabula rasa). I denne typen anvendt fenomenologi kan vi si at vi f?rst tilpaser oss den verden vi er f?dt inn i og dereter seter vi v?re opplevelser i samenheng ved ? knytte tidligere erfaringer samen med nye. Det skjer en horisontsamensmeltning i den grad vi har forst?t det. Som beskrevet i Bergers og Luckmanns (1967) trepunktsoppfatning av hverdagslivet (Figur 1, s. 44), vil subjektet i interaksjon med andre foreta en objektivisering som blir en del av subjektets nye forforst?else i en ny interaksjon osv. En utfordring for forskeren blir ? lete seg fram til begreper og fortelinger om forforst?elsen fra begge parter og som gir grunnlag for en horisontsamensmeltning. Et godt l?ringsmilj? vil bygge p? en speilingsproses melom l?rerne og studentenes forventninger. Studentenes forforst?else vil v?re alerede etablerte oppfatninger og holdninger til matematikk, og fenomenologisk set vil dise ha en relevans for deres l?ring gjennom hva de vil oppleve som rasjonele handlinger i forhold til det ? tilegne seg ny kunnskap i faget. T?rner (2002, s.76-77) viser til at de ulike beskrivelser av, og forskning om, beliefs (her brukt som samlebegrep for oppfatninger og holdninger) kan sies ? ha en fenomenologisk karakter. Han bruker dete som argument for ? utarbeide en mer ?matematikkrelatert? definisjon av beliefs der han vil se p? hva som er kjernen i begrepet og hva som er mer perifert. P? den m?ten ?nsker han ? lage et system som han mener er et bedre grunnlag for forskning p? beliefs, men siden jeg ikke ?nsker ? bruke denne, vil jeg ikke g? n?rmere inn p? den her. Jeg har likevel valgt ? nevne den for ? vise at det ogs? vurderes tiln?rmingsm?ter til forskning p? afektive sider som bygger p? et mer paradigmatisk grunnlag (Bruner, 1986). Derimot er den fenomenologiske karakteren i begrepene oppfatninger og holdninger en fordel i forhold til det ? beskrive 52 en opplevelse av matematikk og matematikkundervisning fordi det er ikke det som alt ligger i begrepene jeg skal forske p?, men det som kan v?re mulig ? lege i dem. Ved at jeg gir rom for en vurdering i forhold til innhold, vil det gi meg mulighet til en rikere, men likevel vel definert, materiale som jeg dereter kan kategorisere. I sin relevansteori ser Sch?tz p? ulike typer handling og man kan si at studentene handler ut fra sine oppfatninger og holdninger, men at handlingene kan v?re b?de rimelige (v?re styrt av en dypere forst?else), fornuftige (bevist handling ut fra flere valgmuligheter), og rasjonele (klar forst?else av m?l, midler og sekund?re f?lger) selv om en det ikke er git at en handling som er rimelig for en student ogs? oppfates som rimelig for ale andre. Man kan heler ikke anta at det er rimelig at ale studentene oppfater l?rerutdanningens intensjoner med undervisning og pensumliterautur p? den m?ten som den som er ansvarlig for kurset oppfater det. Det kan derfor v?re rimelig ? anta at l?rerutdanningens innhold i noen tilfeler kan virke fremed og uten mening for studentene fordi de ikke finner relevansen i det de ser der og da. Sch?tz beskriver det som at vi beveger oss i et landskap der vi velger vei ut fra hva som er relevant for oss. I overf?rt betydning kan man tenke seg at n?r studenten f?r en l?rebok ? forholde seg til, s? velger han i f?rste omgang ut det som ser kjent ut og som han har et forhold til ut fra tidligere erfaring. I matematikk 1-kurset vil det ofte bety matematikkoppgavene som krever ren matematikkunnskap. En annen side av studentens mulige opplevelser kan knyttes til den delen av kurset som omhandler matematikkdidaktiske teorier. Han kan oppleve dise som teoretiske tekster som har liten relevans i forhold til hans oppfatning av matematikkundervisning. Det er f?rst n?r l?reren ved l?rerutdanningen eler praksisl?reren viser ham nytten av den didaktiske kunnskapen, at han ?nsker ? forholde seg til den. Da har han f?t en ny forforst?else for det totale bildet av det ? v?re l?rer, og han ser mer av teksten i boka som relevant. Dermed beveger han seg ut p? en ny vei i landskapet (jf. kotene beskrevet tidligere) og han vil p? grunn av sin nye forforst?else finne det relevant ? sete seg inn i teorien. I denne samenheng er det rimelig at studenten i en ansikt-til-ansikt situasjon, som p? en forelesning eler i praksis, har st?rre mulighet for ? forst? relevansen i teorien som blir presentert, enn n?r han m? tilegne seg en forst?else gjennom ? lese en tekst. 53 Berger og Luckmann (2000, s.50-51) beskriver det som at v?r hverdagsvirkelighet inneholder typeskjemaer som vi bruker til ? forst? og takle andre i ansikt-til-ansikt- m?ter og om et m?te i hverdagen skjer indirekte eler direkte har betydning for v?r opplevelse av andre. Vi kan knytte dete til Vygotskij og hans begrep om st?ttende stilas der l?rerens rolle i et direkte m?te bidrar til ? utvide en students proksimale utviklingssone p? en m?te som ikke kan foreg? gjennom en tekst i en l?rebok som overbringer informasjon mer indirekte. Bruner formulerer det slik: There is no way, none, in which a human being could possibly master that world without the aid and assistance of others for, in fact, the world is others (Bruner, 1985, s.32). N?r vi kommuniserer gjennom spr?ket har vi forskjelige muligheter for tolkninger. Ofte kan det v?re slik at man m? v?re medlem av inngruppa for ? forst? den fulle meningen av det som blir sagt. I esayet om den fremede trekker Sch?tz (2005, s. 194) fram fire mulige spr?klige utfordringer der det er rom for misforst?else eler tolkningsfeil (punktene under er min oversetelse og tolkning). 1. Fordi vi har ulike erfaringer i v?r levende n?tid, s? kan det i spr?ket ligge underforst?te meninger som ikke er mulige ? beskrive 2. I ale spr?k finnes begreper med samenfalende meninger og en mottaker kan ha andre variasjoner av et uttrykk enn den som er ment fra senderen. 3. Det finnes ord som kun de medlemene som tilh?rer den gruppen som har v?rt med ? gi ordet betydning kan forst? den egentlige betydningen av. En privat kode. 4. Og s? finnes det kulturele avskygninger som gir en tekst en bestemt betydning avhengig av konteksten. I min analyse vil Sch?tz? relevansteori og esayene om den fremede og den hjemvendte bli brukt som redskaper for ? beskrive respondentenes opplevelser og handlinger. 54 3.2 Fortelingens form og inhold som redskap for analyse av tekst Jeg vil i dete kapitlet se p? ulike kategoriseringer av fortelingstekster og hvordan forskere kan bruke dise kategoriseringene i sine forskningsrapporter. I min unders?kelsen er respondentenes tekster en f?rsteh?ndsforteling som jeg bygger p? for ? beskrive de funn jeg ?nsker ? utdype. P? den m?ten blir forskerens forteling en fortolkning av en forteling presentert gjennom en ny forteling. Det er flere grunner til ? bruke fortelende analyse i et kvalitativt forskningsprosjekt. I et fenomenologisk perspektiv brukes forteling for ? beskrive v?re opplevelser av verden (Mink, 1978). Bruner mener fortelinger er den metoden vi bruker for ? forst? handlinger, hverandre og samenhengen melom oss selv og v?re omgivelser, uttrykt ved de tre p-er, past, present and possible (Bruner, 1986). Clandinin og Connely (2000, s.50) plaserer fortelingsforskeren i et tredimensjonalt perspektiv der han bruker tidsaksen, opplevelser (b?de personlige og andres) og sted som forskningsarena. Forteling i en forskningssamenheng kan bety en empirisk tekst fra en respondent som har noe ? fortele om et bestemt tema, en hendelse, eler en annen type emne som er interesant for forskningen. Uten fortelingen vil den kognitive forskningen ikke ha noen mening for vi kan ikke uttrykke f?lelser og opplevelser uten ? bruke beskrivende ord som for eksempel mening, tanke, osv. (Mink 1978, s.131). Forteling kan ha forskjelige representasjoner, for eksempel ulike typer tekst, samtaler/intervju, bilder osv som beskriver opplevelse, og siden en opplevelse erfares som en forteling og fortelende forskning er en form for forteling, b?r opplevelsene bli utforsket fortelende (Clandinin & Connely, 2000, s.93). I norsk fagliteratur er adjektivet narativ ofte brukt som en direkte oversetelse fra det engelske narative som p? engelsk b?de er adjektiv og substantiv, men det blir ikke gjort entydig. Jacobsen beskriver narativ analyse i samfunnsfaglig forskningstradisjon som en dynamisk proses som vektlegger hendelser slik de utfolder seg over tid (Jacobsen, 2005, s.184). Knutsen bruker begrepet analytisk narasjon om en 55 samensat forteling som ut fra vise krav s?ker eter samenheng og mening i et historisk perspektiv (Knutsen, 2002, s.42). Rent teknisk har de en samsvarende beskrivelse av metoden de bruker for ? tiln?rme seg det endelige resultatet, men Jacobsen bruker alts? adjektivet narativ, mens Knutsen lager et norsk substantiv narasjon. If?lge ordnet 6 er norsk oversetelse av det engelske ?narative? fortelende som adjektiv og forteling som substantiv. Jeg har valgt ? bruke betydningen fortelende og forteling fordi de er hensiktsmesige i mit videre arbeid med ? skile melom de to ulike former for analyse av tekst, kalt fortelende analyse og fortelingsanalyse som bygger p? Polkinghorne og Bruners teorier (Bruner, 1986, 1996; Polkinghorne, 1988, 1995). Forskerens rolle ved bruk av narativ metode er ikke entydig definert. Som beskrevet tidligere, s? har mye av metoden som har blit omtalt her som fortelende v?rt knytet til at forskeren tolker tekster/fortelinger som er skrevet av andre eler git ved samtaler og intervju. Forskeren velger s? ut den informasjonen som kan knyttes til forskningssp?rsm?let, og resultatet blir presentert som en forskningsrapport der forskeren knytter informasjonen til alerede etablerte teorier eler bygger opp en ny teori. I dise typene narativ metode kan forskeren v?re helt eler delvis tilstede ved hendelsene som tekstene beskriver, men benytter hovedsaklig andres fortelinger i sin analyse. Clandinin og Connely innf?rer begrepet fortelende forsker og sier at en person er en fortelende forsker n?r han er tilstede ved hendelsen og bruker egne feltnotater og annet materiale fra det feltet man har forsket p?, for eksempel videoopptak fra et klaserom, som grunnlag for en forteling som beskriver hendelsen. I den endelige fortelingen har forskeren redusert den opprinnelige informasjonen gjennom gjentate forel?pige tekster der forskeren og akt?ren i fortelingen har samarbeidet om ? beskrive det som skjedde (Clandinin & Connely, 2000). Forteling er en type tekst som er definert innen vise ramer, jf. s.18. Andre typer tekst kan v?re en historisk hendelse, en kr?nike, en logg, en vitenskapelig tekst, et referat, en rapport, eler et sp?rreskjema som beskriver en definert og avgrenset hendelse. Bruner deler virkeligheten to omr?der: 6 htp:/ww.ordnet.no/ordbok.html 56 The brunt of my argument ? was that the ?reality? of most of us is constituted roughly into two spheres: that of nature and that of human afairs, the former more likely to be structured in the paradigmatic mode of logic and science, the later in the mode of story and narative (Bruner, 1986, s.8). Erfaringene v?re blir alts? presentert enten som paradigmatisk kunnskap eler som fortelende kunnskap. Det f?rste beskriver det logisk-vitenskapelige som omhandler generele og kontekstfrie forklaringer, mens det siste s?ker individuele opplevelser og kan ikke ses p? som sanne i streng forstand, men som troverdige (Bruner, 1986, s.11- 14). Polkinghorne (1988, s. 161) sier at i en humanvitenskapelig tradisjon skiler man melom ? beskrive fortelinger som alerede er presentert, deskriptiv metode, og ? bruke en fortelende tekst for ? forklare hvorfor noe hendte, forklarende metode. Han knytter dise til Bruners begreper paradigmatisk kunnskap og fortelende kunnskap, og metoden kaler han analysis of narratives (fortelingsanalyse) og den andre narrative analysis (fortelende analyse). Jeg beskriver senere i dete kapitlet hvordan jeg benytter de to formene for analyse. Mink (1978, s.217) knytter forteling til b?de historiske beskrivelser og skj?nnliteratur s? lenge de har en form som tydelig viser en begynnelse, en midtdel og en avslutning. Det skal v?re klare samenhenger melom de tre delene og den midtre delen skal v?re en f?lge av begynnelsen og det hele skal gi et bestemt resultat som kan ses p? som en f?lge av begynnelsen og selve hendelsen. Den skal ogs? inneholde et hendelsesforl?p, akt?rer, aktiviteter, intensjoner og en handling. N?r det ikke er en forteling kan det v?re en tekst som beskriver en ideel teoretisk forst?else av de tilfeler som kan systematiseres, verifiseres og generaliseres (en teori) eler et referat (chronicle 7 ) som lister opp hendelser i en rekkef?lge som ikke n?dvendigvis m? v?re kronologisk eler ha en innbyrdes samenheng (ibid). 7 Jeg har valgt ? oversete chronicle med det norske ordet referat, da jeg opfater den almene forst?else av det norske ordet kr?nike (direkte oversetelse av chronicle) som ? v?re en bestemt type historisk forteling, eks. familiekr?nike. 57 Narative form as it is exhibited in both history and fiction is particularly important as a rival to theoretical explanation or understanding. Theory makes posible the explanation of an ocurence only by describing it in such a way that the description is logicaly related to a systematic set of generalizations or laws (Mink, 1978, s.217) Det er heler ikke tilfeldig hvilke hendelser (events) som kan v?re innholdet i en forteling, et referat eler en historie. ? I have used the terms ?event? and ?sucesion of events?, and writen as if there were no dificulty in distinguishing betwen a narative, which presumably in al cases contains a chronicle but ads to it other forms of ordering, for example causal relations. But hardly any concept is les clear than that of ?event? (Mink, 1978, s.217). En tredje deling er ? kale de to kategoriene overskrift og forteling. Den tyske filosofen Wilhelm Schapp (i Fuglseth, 2003) 8 sier at en overskrift er en tekst eler annen ytring som ikke er en forteling. Overskrifter kan vere namn og enkeltord, men ?g ikje-forteljande setningar, metaforar, spr?kvitskaplege termar (som substantiv, adjektiv, verb), matematik og naturvitskap st?r som overskrifter til forteljingar:? (Fuglseth, 203, s. 17) Med dise ulike definisjonene av tekst som bakteppe vil jeg arbeide videre mot en analysemetode basert p? Polkinghornes (1995, s.5) beskrivelse av to forskningsmetoder som bygger p? forteling: Analysis of naratives, that is studies whose data consist of naratives or stories, but whose analysis produces paradigmatic typologies or categories Narative analysis, that is, studies whose data consist of actions, events, and hapenings, but whose analysis produces stories (e.g. biographies, histories, case studies). Alts? vil man i den f?rste kategorien se p? fortelinger som alerede er presentert i en tekst og kategorisere dem ut fra hva de handler om eler m?ten de er presentert p?. Den andre kategorien vil v?re der hvor forteleren/forskeren samler opplysninger om en hendelse eler en aktivitet og produserer en forteling ut fra de gite opplysningene. 8 Fuglseth henviser til: Schap, W. (1981) Philosophie der Geschicten. 2.utg. Klosterman, Frankfurt am Main, Germany 58 I tilegg vil jeg trekke inn fenomenologien ved ? se p? det monotetiske og polytetiske tidsperspektivet fordi det p?virker typen tekst. For eksempel vil en logisk vitenskapelig tekst v?re polytetisk fordi her vil rekkef?lgen for hvordan vi presenterer hendelsene ha betydning for resultatet, mens en historisk hendelse kan inneholde flere hendelser som ikke er avhengige av hverandre og derfor kan presenteres monotetisk, det vil si uavhengig av rekkef?lgen p? de enkelte hendelsene i sann tid. Under har jeg laget en tabel over hvordan jeg ser p? de fire teoretiske beskrivelsene fra Bruner, Polkinghorne, Mink og Schapp i forhold til det monotetiske og polytetiske tidsperspektiv og den siste linjen viser hvor de to metodene jeg bruker h?rer til i dete systemet. Det er viktig ? merke seg det gr? omr?det i midten som skal ilustrere at det er et flytende skile melom de ulike kolonnene. Tabel 4: Oversikt over de ulike tidsperspektiver og definisjoner av fortelinger Fortelingsanalyse, kategori 1 I fortelingsanalysen leter jeg eter fortelinger som ligger skjult i teksten. Det vil si at den m? v?re klart avgrenset med henvisning til tid (den gangen da?, jeg husker at da?), inneholde en akt?r, ha en handling som driver fortelingen mot m?let (jeg skulle l?se oppgaver, men fikk det ikke til, og s? ?) og et resultat. Tidshenvisningen kan v?re knytet til kalenderbegrep som dag, dato, m?ned eler ?rstid, den kan v?re knyttet til et bestemt bes?k, en (ferie)tur eler utdanningsperiode eler den kan v?re knyttet til hendelsen uten at noen konkret tidsangivelse gis, for eksempel til Da jeg l?rte ? sykle? Akt?ren kan v?re forteleren eler en annen og fortelerens forst?else av handlingsforl?pet vil v?re avhengig av om det var selvopplevd eler gjenfortalt. Monotetisk tidsperspektiv Polytetisk tidsperspektiv Bruner Paradimatic mode Narative mode Polkinghorne Explanatory narative research Descriptive narative research Mink Theoretic explanation, chronicle Narative form Schapp ?berschriften Geschichten Denne unders?kelsen Fortelende analyse G r ? s one m e l om de ul i ke f or t e l i ngs t ype ne Fortelingsanalyse 59 Fortelende analyse, kategori 2 M?let med en fortelende analyse er ? presentere en forteling om opplevelsene av en git hendelse. Paradigmatisk kunnskap blir definert av Polkinghorne (1995) som evnen til ? klasifisere informasjon som kategorier eler begreper. Bruner (1986) utdyper dete ved ? si at den paradigmatiske kunnskapen vil v?re mulig ? verifisere netopp fordi den er en kategori eler et begrep som har en logisk oppbygning. Forskningsliteratur b?de p? engelsk og norsk kan i denne samenheng bruke b?de historie (history, story) og forteling (narative) som synonyme begreper. I et tidligere referat kan Bruners bruk av story og narative tolkes som to forskjelige presentasjoner av en opplevelse, men senere i teksten bruker han story og narative som synonyme begreper: I think we would do wel with as lose fiting a constraint as we can manage concerning what a story must ?be? to be a story. And the one that strikes me as most seviceable is the one with which we began: narative deals with the vicisitudes of intention (Bruner, 1986, s.17). Polkinghorne (1995) bruker ?story? som betegnelse for en forteling som bindes samen av en handling som skaper en mening i historien og som driver den fram. Han innf?rer ogs? uttrykket a storied narrative (en historisk forteling) der oppbygningen f?lger fortelingens strenge krav og handlingen bygger p? virkelige hendelser. Denne typen fortelinger kan v?re biografier og casestudier og det kan se ut som Polkinghorne i denne samenheng har innf?rt utrykket for at det ikke skal forveksles med skj?nnliteratur/fiksjon. I den videre teksten vil jeg bruke historie og forteling ut fra f?lgende prinsipper: En historie (engelsk: story) og en forteling (engelsk: narative) er ikke det same. En historie har ingen formele krav, mens en forteling skal ha en bestemt form og v?re bygget opp av hendelser som f?lger hverandre. Fortelingen skal inneholde hendelser, akt?rer, aktiviteter/egenskaper, intensjoner og handling. I tilegg til historie og forteling som er avsluttede hendelser brukes begrepet referat (engelsk: chronicle), som vil si en rekke hendelser som blir fortalt i tidsmesig rekkef?lge mens hendelse p?g?r. I et referat kjenner man verken handling eler resultat og hendelsene kan listes opp uten at den ene er avhengig av den andre (Lemon, 2001). 60 I en fortelende analyse skal det empiriske materialet (feltnotater, logg, referater ol) analyseres og presenteres som en forteling eler historie. F?rste del av arbeidet med den fortelende analysen vil ha same form som f?rste del i fortelingsanalysen, men i fortelende analyse vil forskeren konsentrere seg om ? finne informasjon som kan brukes som byggesteiner i en forteling eler historie. Andre del av den fortelende analysen best?r i ? sete samen ale opplysningene til en helhetlig forteling eler historie. Fortelingen er bygget opp av enheter som skaper en helhet, men helheten er ogs? avhengig av enhetene. P? den m?ten biter strukturen seg selv i halen, som en hermeneutisk sirkel (Bruner, 1996). Enhetene kan variere i antal, men et minimum m? v?re en hovedperson, en hendelse som driver fortelingen mot et m?l og en eler flere hindringer melom enhetene. At a minimum, a ?story? (fictional or actual) involves an Agent who Acts to Achieve a Goal in a recognizable Seting by the use of certain Means. What drives the story, what makes it worth teling is Trouble: some misfit betwen Agents, Acts, Goals, Setings, and Means (Bruner, 196, s.94). I mit arbeid med ? bygge opp en forteling eler en historie har jeg valgt ? bruke Dollards hovedkategorier slik Polkinghorne (1995, s.16-18) beskriver dem (min oversetelse): 1. Det er viktig ? f? med al kontekst som har en betydning for handlingen slik at handlingens p?virkning ikke mister sin mening. 2. Hovedpersonen i fortelingen b?r beskrives med hensyn til fortelingens hensikt. Det vil si at hvis det vil ha betydning for fortelingen om det er snakk om en 3- ?ring eler en 73-?ring, om an er syk eler frisk osv., s? skal dete v?re med. 3. Signifikante andre og deres forhold til hovedpersonen skal v?re med n?r den andres tilstedev?relse i hovedpersonens omgivelser p?virker handlingen som driver fortelingen. 4. Forskeren m? konsentrere seg om hovedpersonens valg og handlinger og pr?ve ? se dem gjennom hovedpersonens ?briler?. 61 5. For ? gj?re hovedpersonens handlinger og avgj?relser forst?elige, kan det v?re behov for ? beskrive en historisk hendelse, for eksempel revolusjon, krig eler depresjonstider, selv om dete ikke har en direkte f?lge for historien gjennom handlingens role. 6. Presentasjonen av produktet blir en forteling, derfor m? forskeren v?re tro mot fortelingens egenskaper og gj?re sit ytterste for ? presentere informasjonen s? n?r sannheten som mulig. Fortelingen m? ha en begynnelse, en midtdel og en avslutning. B?de begynnelse og slutt skal v?re klart definert og det skal v?re fokus p? konteksten som omhandler handlingen. Det er viktig at innholdet er tilstrekkelig detaljert slik at det skiler denne fortelingen fra andre liknende fortelinger. Styrken i en forteling best?r i at den er en presentasjon av en bestemt person i en unik situasjon og at den forteler hvordan denne personen h?ndterer denne situasjonen ved ? bruke tiln?rmet hovedpersonens spr?kbruk gjennom den endelige teksten. En slik forteling vil skile denne fortelingen fra en forteling om gjennomsnitsmennesket, det vil si en typifisert forteling, og gi et bilde av denne bestemte personens horisont. 7. Til slutt m? fortelingen v?re troverdig og forst?elig. Forskeren kan godt velge ? begynne med resultatet. N?r resultatet er identifisert, arangeres dataene i handlingen kronologisk. Dereter m? man identifisere hvem eler hva som p?virket handlingen underveis mot resultatet. Dise kan identifiseres ved ? se eter for-di - og for ?-hendelser som retferdiggj?r aksjoner. N?r en hendelsen eler opplevelse skal beskrives m? handlingen (engelsk: plot) identifiseres, og informasjonen som gis m? v?re knyttet til den valgte handlingen. Handlingen er det som i utgangspunktet driver historien og som uttrykker veien mot m?let gjennom ? beskrive deltakere, hindringer, hjelpemidler, konsekvenser og muligheter. Plot was first defined, on the most formal level, as an integrating dynamism that draw a unified and complete story from a variety of incidents, in other words, that transforms this variety into a unified and complete story. This formal definition opens a field of rule-governed transformations worthy of being caled plots so long as we can discern temporal wholes bringing about a synthesis of the heterogeneous betwen circumstances, goals, means, interaction, and intended or unintended results (Ricoeur, 1985, s.8). 62 I analysen av en tekst kan det v?re n?dvendig ? g? gjennom teksten flere ganger for ? f? med alt som er relevant for den endelige historien. Det er blant annet viktig ? v?re oppmerksom p? paralele hendelser som ser irelevante ut p? et tidspunkt i fortelingen, men som vil kunne ha en innvirkning p? det endelige resultatet av hendelsen (Jacobsen, 2005, s.103). En forteling skal bare beskrive en hendelse som er avsluttet i forhold til handlingen. Likevel kan en hendelse som i tid er avsluttet ha konsekvenser for framtidige opplevelser. Gjennom arbeidet med ? bygge opp et handling vil man hele tiden f?le behov for ? justere i forhold til hvilken informasjon man vil ha med, hvordan man vil presentere den og hvilke hendelser som henger samen. Dete arbeidet kales narative smoothing (Spence, 1986) eler fortelingstilpasing, og valgene man tar i denne prosesen kan ha avgj?rende betydning for hva den endelige historien forteler leseren. Dete gjelder s?rlig i tilfeler der en forteling skal brukes som et grunnlag for videre arbeid innen et felt som for eksempel utdanning eler medisinsk behandling, og hvor en feilvurdering i en tidlig fase vil kunne f? store konsekvenser for det endelige resultatet fordi man har mistet viktig informasjon underveis. Til slutt er det sp?rsm?let om hva som er sant og hva som er galt (punkt 7). Fordi en forteling henter sin informasjon fra virkeligheten, betyr det ikke at den er entydig og sann. Flere mennesker kan referere same hendelse og f? helt ulike fortelinger fordi de har ulik forforst?else og erfaring. En forteling m? ogs? vurderes i forhold til at det er en hendelse som blir formidlet til en lytter eler leser via en forteler. Den endelige forst?elsen av hendelsen kan da ha endret seg flere ganger. F?rst er det hovedpersonens beskrivelse av hendelsen (fortelingsniv? 1), dereter er det fortelerens oppfatning (fortelingsniv? 2) av hovedpersonens beskrivelse (hvis ikke hovedpersonen er forteleren) og til slutt er det lytterens oppfatning av hovedpersonens forteling (fortelingsniv? 3). I min avhandling vil respondenttekstene v?re fortelingsniv? 1, min presentasjon av dise vil v?re fortelingsniv? 2 og leseren av avhandlingen min vil v?re fortelingsniv? 3. 63 Gadamer (1989, s.41) sier det slik at hvis en teksts horisont smelter samen med leserens horisont (fusion of horizons), f?r leseren en forst?else av teksten som gj?r at den blir troverdig for ham. Bruner (1996) skiler melom forklaring (explaining) som reter seg mot naturvitenskapelige metoder og fortolkning (interpretation) som er avhengig av forst?elsen av en tekst og av samsvar melom forteler og lytter, diskurs og kontekst. For at en fortolkning skal ha en st?rst mulig sannhetsverdi, ?nsker Bruner en triangulering melom perspektiv, diskurs og kontekst. Perspektivet betyr at man ved fortolkning skal ta hensyn til om fortelingen er formidlet melom venner, fiender, rivaler eler fremede og hvordan dise utrykkene vanligvis er forst?t. Diskurs tar hensyn til hva som blir sagt, og konteksten gir samenhengen det sies i. Ale dise tre m? vurderes f?r man analyserer fortelingen (Bruner, 1996, s.113). I hermeneutikken vil man se p? forst?else, fortolkning og applikasjon fordi forst?elsen av en tekst altid vil f?re til en anvendelse av den ut fra en fortolkning av den aktuele situasjonen (Gadamer, 2004, s.293). I f?lge Bruner (1996, s.122) er det ogs? viktig ? innse at en forteling kan v?re ?true to life without being true of life?. Det vil si at hovedpersonen kan gi informasjon om hendelser som man kan tvile p? er rele ut fra egen erfaring, men siden dise hendelsene har betydning for hovedpersonens opplevelse m? de aksepteres som sanne i fortelingen, ogs? om man kan bevise det motsate ved hjelp av annen historisk dokumentasjon. Fortelingskategorier Konteksten en forteling er sprunget ut fra vil avgj?re hva slags overordnet kategori den tilh?rer. For eksempel vil en forteling fra et klaserom v?re annerledes enn en forteling basert p? en sykejournal fordi man kan anta at den f?rste har rikere beskrivelse enn den siste som av form skal v?re kort og presis. Innholdet i fortelingene vil definere underordnede kategorier, for eksempel ut fra faglig tema, opplevelse eler handling. Uavhengig av tema og type forteling kan det v?re sammenfallende fortelinger, det vil si fortelinger som handler om det same, men er fortalt av to eler flere. Det kan v?re kompleterende fortelinger som utfyller hverandre uten ? st? i konflikt med hverandre slik at man f?r med flere nyanser av en hendelse. Og det kan 64 v?re konkurrerende fortelinger som er totalt motstridende, for eksempel at en beskriver en hendelse og en annen benekter at den har funnet sted (Jacobsen, 2005, s.209). Mishler (1995) viser til tre niv?er. Den f?rste vurderer fortelingens oppdrag og hvordan forskeren h?ndterer den, den neste den tekstuele formen og den siste hva det blir fortalt om. Models of Narative Analysis: A Typology (Mishler, 195, s.90) a) Reference and temporal order: The ?teling? and the ?told? Recapitulating the told in the teling Reconstructing the told from the teling Imposing a told on the teling Making a teling from the told b) Textual coherence and structure: Narative strategies Textual poetics: figuration, tropes and style Discourse linguistics: oral naratives c) Narative functions: contexts and consequences Narativization of experience: Cognition, memory, self Narative and culture: myths, rituals, performance Storyteling in interactional and institutional contexts The politics of narative: power, conflict, and resistance De fire typene oppdrag for fortelingene (punkt a) handler om hvordan man kan gjenfortele det som ble fortalt, man kan rekonstruere fortelingen, men holde seg til det som ble fortalt, man kan legge til eler trekke fra opprinnelig innhold i sin historie og man kan lage en ny forteling. Dise fire omr?dene kan forklares n?rmere ved ? si at den f?rste tilsvarer fortelingene som man finner i teksten og at tidperspektivet er polytetisk. Den andre typen, rekonstruksjonen, er n?r man seter samen en forteling ved ? velge deler av et st?rre utvalg av tekster for s? ? beskrive hendelsen, men utgangspunktet kan v?re informasjon som ikke er tro mot rekkef?lgen i tid, s? forskeren velger ? rydde det slik at de ulike opplysningene kommer i ret rekkef?lge i forhold til rel tid. Den tredje er ogs? en fortelende analyse, men her har respondenten f?t en veiledning i forhold til teksten som skal analyseres. Denne metoden blir ofte brukt i st?rre forskningsprosjekter der det er mange deltakere eler det g?r over lang tid slik at man letere kan samenlikne tekster i etertid. Den siste er forskjelig fra de andre i hvordan den h?ndterer the teling from the told. Det vil si at forskeren lager en forteling fra det som er fortalt og systematiserer det i forhold til hendelser, for eksempel for ? samenlikne to forskjelige opplevelser av same hendelse. 65 Det tekstuele omr?det (punkt b) som omhandler tekstens samenheng og struktur deler Mishler (1995) i to, den poetiske teksten som inneholder bilder, troper og har en fortelerstil, og den muntlige formen som kan v?re intervjuer og fortelinger om livshistorier. Til slutt deler han fortelingene i fire ulike omr?der (punkt c) som kan knyttes til ulike forskningsomr?der uten at det er noen klar grense for bruken. Erfaringsfortelingen knytter han til psykologisk forskning, den kulturele fortelingen til antropologien, den intersubjektive og institusjonele til sosial forskning og den politiske fortelingen som den store fortelingen som omhandler de store hendelsene i historien og v?re forhold til dem som for eksempel individet versus samfunnet (Mishler, 1995). I forhold til Mishlers typer vil kategoriene fortelingsanalyse og fortelende analyse brukt i denne avhandlinga, v?re henholdsvis making a teling from the told og recapitulating the told in the teling. Forskningstradisjonen er innenfor det sosiale omr?det, og behandler intersubjektive og institusjonele omr?der. Analytisk har jeg valgt ? se p? b?de poetisk tekst og muntlig tekst (Mishler 1995). I tilegg har jeg i analyse ulike kategorier basert p? teori og datamaterialet. I arbeidet med fortelingsanalysen fant jeg to typer forteling, den ene var beskrivende der respondenten beskrev detaljer i en hendelse for ? f? lytteren til ? forst? hendelsen bedre, den andre var forklarende der respondenten analyserte hendelsen i fortelingen for ? forklare resultatet. I den fortelende analysen brukte jeg flere steder i caseniv? 2 og 3 de tidligere beskrevne omr?dene av oppfatninger: ? oppfatninger om matematik ? oppfatninger av seg selv som bruker av matematik ? oppfatninger om matematikundervisning ? oppfatninger av hvordan l?ring av matematik foreg?r som grunnlag for utvalg av tekst i analysen. Dete kan ses p? som en paradigmatisk analyse der man finner kategorier for ? identifisere enkelte hendelser og ? se samenhengen melom dem (Polkinghorne, 1996, s. 14). 66 Tabel 5: Oversikt over prosesen i fortelingsanalyse og fortelende analyse Fortelingsanalyse Fortelende analyse Trinn 1: Finne fortelingene i teksten og identifisere handling akt?r(er) og tidsavgrensing. Analysere den gite teksten for ? finne viktig informasjon i forhold til handling, akt?r, tid, osv. Trinn 2: Finne ut om det er en beskrivende eler forklarende forteling. Lage en forteling Trinn 3: Samenlikne case, kategorisere og vurdere 67 4 Forskningsdesign Hovedm?let med unders?kelsen var ? synliggj?re sider av l?rerstudentenes opplevelse av det obligatoriske kurset i matematikk som ikke var let gjenkjennelige i en hverdagssituasjon melom foreleser og student. Dersom det var mulig ?nsket jeg ? finne en metode for ? kartlegge studentens situasjon tidlig i kurset som kunne v?re en st?tte i utviklingen av en god l?rerutdanning i matematikk. Forskningssp?rsm?let (se side 9) ble formulert ?pent for ? kunne gi rom for individuele og spontane innspil fra respondentene innenfor den gite ramen som begrenset informasjonen til ? gjelde matematikk 1-kurset og den enkelte students matematikkerfaringer. Usikkerheten med det ? v?re for lite styrende eler detaljert, var at jeg risikerte ? miste viktige detaljer som jeg ?nsket ? ha med. Jeg pr?vde derfor ? finne en balansegang melom den styrte og den frie informasjonen i innsamlingen av forskningsmaterialet uten ? v?re verken for styrende eler for ?pen. 4.1 Bruken av kvalitativ metode i dene unders?kelsen Dete er en beskrivende unders?kelse og jeg har valgt en kvalitativ tiln?rming. For ? f? en s? bred informasjonen i mit empiriske materiale som mulig, har jeg benyttet sp?rreskjema, studenttekster og intervju. Sp?rreskjemaet ble brukt ved utvelging av respondenter. Det var viktig at de skriftlige tekstene var studentenes egne ord slik de ?nsker ? beskrive sine erfaringer (jf. Bjerneby H?l, 2002). M?let med unders?kelsen var ikke ? s?ke entydige konklusjoner, men beskrive studentens opplevelser. Det var rimelig ? anta at man kunne trekke mulige slutninger som kunne belyse l?rerstudenters oppfatning av undervisningen. Det vil si at selv om man benyttet en kvalitativ forskningsmetode som innebar et lite antal informanter, s? kunne det v?rt fullt mulig at flere andre informanter vile git same opplysninger og styrket resultatene slik at de kunne v?rt generalisert (Basey, 1999). Enhver unders?kelse skal belyse en form for sannhet, og det kan v?re en utfordring n?r man skal beskrive opplevelser og oppfatninger. For forskeren vil dete inneb?re at man tar et trinn tilbake og behandler informasjonen uten ? p?virke resultatene med egne 68 meninger. Siden forskeren selv er en del av samfunnet, er dete vanskelig. Men ved ? v?re seg dete bevist, kan man s? langt det lar seg gj?re legge egne meninger bort under innsamling av informasjon og analyse av denne. Det er det som i fenomenologien betegnes som ?bracketing?, og som i hermeneutikken beskrives som at personlige forutsetninger og fordommer blir set p? som positive og n?dvendige for forst?elsen. P?liteligheten, reliabiliteten, og gyldigheten, validiteten, i forskningsarbeidet er avhengig av forskerens behandling av empirien (Jacobsen, 2005). Det er viktig at forskeren viser ?penhet i forhold til metodene som er brukt ved ? v?re tydelig i beskrivelse av forskningsmetoder og beskrive fenomener som kan p?virke resultatene (ibid.). En mulig veiledning for dete er Bruners (1996) triangulering melom perspektiv, diskurs og kontekst. Det vil si at selv om jeg ikke underviser de studentene som er med i denne unders?kelsen, s? kjenner jeg utdanningen og de l?rerne som studentene m?ter. Min rolle er ogs? kjent for studentene, s? selv om det skal v?re en anonym unders?kelse, m? jeg hele tiden vurdere studentsvarene ut fra denne konteksten. Det er ogs? viktig at det er samsvar melom fortelerens og lytterens forst?else av teksten, jf. Gadamers (1989, s.308) begrep fusion of horizons, horisontsamensmelting. Det vil si at den som leser m? f? nok og riktig informasjon om hendelsene som beskrives for ? kunne forst? de konklusjoner forskeren presenterer. Fordi mit forskningsprosjekt kan ses p? som en unders?kelsesenhet begrenset i tid og rom, valgte jeg ? arbeide i forhold til det som beskrives som et case. Definisjonene av case stiler ingen krav til metodene som skal brukes og er dermed ikke en beskrivelse av metode, men kun en avgrensing av forskningsomr?det. Case study is not a methodological choice but a choice of what is to be studied. ? By whatever methods, we chose to study the case. We could study it analyticaly or holisticaly, entirely by repeated measures or hermeneuticaly, organicaly or culturaly, and by mixed methods-but we concentrate on the case (Stake, 205, s.43). 69 Unders?kelsesenheten og valg av metode vil v?re med ? definere et case i forhold til type og st?rrelse. Basey (1999) har kategorisert forskning p? utdanning i tre typer case- studier: 1. Det teoris?kende og teoritestende som behandler et bestemt emne teoretisk, 2. Det fortelende og beskrivende som tar for seg hendelser, prosjekter eler systemer ved hjelp av fortelinger og beskrivelser 3. Det evaluerende som vurderer en plan, et pensum, et prosjekt eler lignende. Et case er begrenset i tid og sted, skal ha et fokus, foreg? i en naturlig kontekst med respekt for deltakerne og rapporteres p? en m?te som viser funnenes troverdighet (ibid). Mit prosjekt kan knyttes til type 2 over fordi det tok for seg en hendelse som ble beskrevet gjennom fortelinger og beskrivelser, det foregikk i et begrenset tidsrom (matematikk 1-kurset), p? et begrenset sted (l?rerutdanningen), det hadde et fokus (matematikk 1-kurset), en bestemt m?lgruppe (l?rerstudentene) og et fenomen (en opplevelse av matematikk 1-kurset). Man kan ogs? dele inn case i flere niv?, b?de som absolutte enheter og kollektive enheter (Jacobsen, 2005, s.91). I denne unders?kelsen ble den enkelte student definert som absolutt enhet, og beskrivelser av forelesninger og matematikk 1-kurset ble kollektive enheter. Respondentene var p? ale niv? det same utvalget av studenter, men som absolutte enheter beskrev de seg selv og sit forhold til matematikk, mens de som kolektiv enhet beskrev hendelser de hadde opplevd samen, som en forelesning osv. p? niv? 2 eler som hele kurset p? niv? 3. Tabel 6 p? neste side viser en oversikt over de ulike case og niv?er i min unders?kelse. Det ble delt ut sp?rreskjema to ganger, et helt i starten av studie?ret og et ved slutten. Det f?rste skjemaet ble brukt for ? gj?re et utvalg av en gruppe p? seks studenter som skulle v?re med i hovedunders?kelsen. Denne gruppen skulle levere ulike typer rapporter gjennom studie?ret og delta i et intervju mot slutten av ?ret. Innsamlingen av datamateriale foregikk over en periode p? ti m?neder, og Tabel 7 p? neste side gir en oversikt over de ulike delene av unders?kelsen, i kronologisk rekkef?lge. 70 Niv? 3 Case det obligatoriske matematikkurset ved l?rerutdanninga Niv? 2 Case forelesning Case seminar Case MUD 9 Niv? 1 Case Alfa Case Beta Case Gama Case Delta Case Epsilon Case Sigma Tabel 6: Oversikt over caseniv?er Tid p? ?ret Hendelse Deltakere Aktivitet August F?rste sp?reunders?kelse Gjenomf?rt med hele ?rskulet, b?de fultidstudenter og samlingsbasert studium Det ble gjort et utvalg p? 6 studenter fra fultidstudiet som skule v?re med i hovedunders?kelsen. F?rste tekstinlevering Studentenes egne matematik- oplevelser, hvordan de definerer matematik. August Andre tekstinlevering G Gjenomf?rt med respondentene umidelbart eter utvelgelsen. Tekstene ble levert p? Clas Fronter. En forventningslog i forhold til det obligatoriske kurset i matematik ved l?rerutdaningen. November Matematikarbeids boka. Tilegstekst fra arbeidskrav Studentenes refleksjoner over egne utregningsmetoder Mars Tredje tekstinlevering Med respondentene Referat skrevet umidelbart eter en felesforelesning Mars Fjerde tekstinlevering Med respondentene Referat skrevet umidelbart eter et seminaropleg Mai, f?r intervju Andre sp?reunders?kelse Git hele ?rskulet, men lav deltakelse Ineholdt same sp?rsm?l som f?rste sp?reunders?kelse. I tileg ble noen sp?rsm?l retet mot studentenes oplevelse av matematikurset. Mai Avslutende intervju. Med respondentene Intervjuet var basert p? fortelingstekstene, forventningslogen, matematikdagboka med refleksjoner og sp?reunders?kelsene. Tabel 7: Kronologisk oversikt over innsamling av unders?kelsens empirisk materiale 9 MUD ? matematikutviklingsdagbok. Se side 78 for n?rmere beskrivelse. 71 4.1.1 Valg av respondenter Ved valg av respondenter ble det tat hensyn til at det b?de skulle v?re en gruppe som var representativ for studentenes oppfatninger og opplevelser, og at de ikke skulle v?re identifiserbare gjennom informasjonen som ble git (anonymitet). I tilegg ble det set p? som hensiktsmesig at det ? delta i den mindre gruppa p? seks studenter skulle v?re frivilig, s? det ble informert om at deltakelse i prosjektets respondentgruppe vile kunne erstate et bestemt arbeidskrav hvis studenten ?nsket det. Et arbeidskrav er en obligatorisk oppgave som vurderes med best?t/ikke best?t, og arbeidskravet m? v?re best?t for ? f? hele kurset godkjent. For ? f? deltakelse i unders?kelsen godkjent som arbeidskrav, m?te studentene delta p? en tilfredsstilende m?te gjennom hele unders?kelsen, det vil si at de m?tte opp til avtalte forelesninger og intervju og leverte tekster til avtalt tid. Det ble gjort en totalvurdering eter siste intervju. For ? kunne gj?re utvalget var det i den f?rste sp?rreunders?kelsen lagt inn et sp?rsm?l om studenten kunne tenke seg ? v?re med i en mindre gruppe respondenter som skulle gjennomf?re ulike oppdrag i l?pet av studie?ret. Av de 49 spurte var det 27 som sa seg vilige til ? delta i den lile gruppa. Gruppens st?rrelse ble bestemt til seks deltakere, tre kvinner og tre menn. Det var viktig at gruppen ikke ble for stor, men samtidig m?te det tas h?yde for frafal underveis. Kriteriene som ble brukt ved utvalg av deltakere var at respondentene skulle representere en gjennomsnitlig alder for kullet, de skulle ha en s? lik skolebakgrunn som mulig og det skulle v?re like mange kvinner som menn. Fordi dise kriteriene ble sat for ? anonymisere gruppen, ble det senere ikke gjort analyser i forhold til dise (alder, skolebakgrunn, kj?nn). Gjennomsnitsalderen i kullet var 27,5 ?r, s? utvalget av respondenter ble gjort i fra studentgruppen som i alder l? innenfor ? 4 ?r av gjennomsnitsalder og med en skole og arbeidsbakgrunn som liknet hverandre. I rapporten ble respondentene git n?ytrale navn, det vil si at de fikk navn eter de greske bokstavene Alfa, Beta, Gama, Delta, Epsilon og Sigma og jeg valgte ? bruke ?han? om ale i tredje person. Som tabelen under viser, er det minst to respondenter med nesten tilsvarende bakgrunn uanset kombinasjon av variable. Dete vil gj?re det 72 vanskelig ? knytte en bestemt uttalelse til en av respondentene selv om man kjente personene i gruppa. 9-?rig F?delt skole Antal ?r matematik p? videreg?ende Matematikurs eter videreg?ende Anen utdaning Yrkeserfaring Ale Nei =4 Ja = 2 3 har 2 ?r 3 har 1 ?r Ingen Nei = 2 Ja = 4 Ale Tabel 8: Respondentenes skole- og yrkesbakgrunn Eter at utvalget var gjort ble respondentene bedt om ? bekrefte sin deltakelse og vi hadde et kort lunsjm?te der de ble informert om den videre prosedyren i unders?kelsen. Videre informasjon ble git p? e-post slik at jeg skulle p?virke studentene minst mulig ved at de ble for godt kjent med meg. Jeg hadde ingen undervisning for dete kullet. 4.1.2 Hendelser som p?virket unders?kelsen Studentene som skulle v?re med i unders?kelsen, var den f?rste studentgruppa som skulle f?lge den nye rameplanen (Kunnskapsdepartementet, 2003) og derfor ogs? de f?rste studentene som fulgte nye lokale planer. Det vil si at respondentene hadde matematikk i tredje og fjerde semester (andre studie?r). Fordi kursopplegget var nytt, oppsto det noen uforutsete hendelser i forhold til de to andre fagene som skulle undervises dete ?ret. Eter planen skulle studentene i dete andre studie?ret ha 10 studiepoeng i pedagogikk (20 studiepoeng er lagt til det f?rste studie?ret), 20 studiepoeng KRL og 30 studiepoeng matematikk. Det ble for sent oppdaget at pedagogikkfaget hadde lagt arbeidskrav og eksamen som tilsvarte mer enn 10 studiepoeng til andre studie?ret, noe som medf?rte et uforutset stort arbeidspres for studentene. Dete p?virket at tekstinnleveringer i forhold til forelesning og seminargruppe ble utsat flere ganger av hensyn til at studentene skulle gjennomf?re veldig mange arbeidskrav og eksamener. Den perioden jeg opprinnelig hadde planlagt tekstinnleveringer m?te derfor forskyves fordi jeg vurderte det slik at det ikke var hensiktsmesig ? ?tvinge? dem til ? tenke p? matematikken i en eksamensperiodene. Begrunnelsen var at tekstene da vile ha v?rt preget av at studentenes tanker var mer opptat med andre fag, enn det ? vurdere sin oppfatning av matematikk. 73 Problemet med full deltakelse oppsto ogs? da andre del av sp?rreunders?kelsen skulle gjennomf?res. I den perioden var det sv?rt f? studenter som m?tte opp p? felesforelesningene, muligens fordi felesforelesninger ikke krevde obligatorisk fram?te og de leste til eksamen. I tilegg til at det var d?rlig oppm?te, s? ?nsket de studentene som m?tte opp mest mulig tid med foreleser til eksamensforberedende arbeid. Det ble derfor vanskelig ? gjennomf?re en ikke-eksamensretet oppgave. I et fors?k p? ? f? flest mulig til ? svare, ble alternativet ? legge ut sp?rreskjemaet p? Fronter og oppfordre studentene til ? svare. Sp?reskjemaet var ?pent for svar i ca 2 uker. Desvere var det ikke nok studenter som svarte til at denne delen kunne brukes som en triangulering av informasjon slik det var planlagt. For ? unng? at eksamensforberedende arbeid skulle p?virke intervjuene, skulle de eter planen gjennomf?res senest i begynnelsen av mai, men p? grunn av sykdom ble de utsat til slutten av mai. Dete hadde ikke noen praktisk betydning for gjennomf?ring av selve intervjuet, men ga ingen mulighet for en ?nsket utsetelse da tre av studentene ikke hadde besvart sp?rreskjemaet slik de var bedt om f?r intervjuet. Dise tre studentene ble bedt om ? svare i etertid, men det ble heler ikke gjort. Det begrenset derfor den informasjonen jeg ?nsket ? f? i forhold til samenlikning av de to sp?rreskjemaene. I noen tilfeler hadde jeg samenliknbare svar fra intervjuet. Informasjonen til respondentene i den lile gruppen ble avtalt ? skulle g? pr e-post, men det viste seg at de ikke hadde noen rutine p? ? sjekke e-post daglig. Det ble ikke til noe hinder i unders?kelsen totalt, men skapte en vis usikkerhet om informasjonen kom fram eler ikke siden jeg ikke fikk noen tilbakemelding om de kunne komme til angit tid eler ikke n?r jeg innkalte til m?te. 4.1.3 Sp?rreskjemaets innhold og oppbygging Sp?rreunders?kelsens f?rste del hadde to hensikter, den ene var ? finne en mindre gruppe respondenter som ?nsket ? delta videre i unders?kelsen, den andre var ? kartlegge studentgruppens oppfatninger og opplevelser av matematikk for de startet p? matematikk 1-kurset. Den andre delen av sp?rreunders?kelsen som ble gjennomf?rt mot 74 slutten av kurset, skulle hovedsaklig synliggj?re studentenes opplevelse av kurset. Flere av sp?rsm?lene var identiske med f?rste unders?kelse, og skulle vise om det hadde skjedd noen endring i studentenes oppfatninger om matematikk i l?pet av ?ret. Det var ogs? meningen ? samenlikne hele klasen med den lile gruppa med respondenter for ? vurdere svarenes p?litelighet. Unders?kelsene var anonyme, men for at den enkelte students svar fra de to gjennomf?ringene skulle kunne samenliknes, ble studentnumer brukt som identifikasjonskode siden det var kjent og unikt for hver student. Gjennom sin bekreftelse at de ?nsket ? delta i unders?kelsen, hadde de seks som ble valgt ut git meg lov til ? identifisere dem. Begge sp?rreskjemaene besto av to deler, den ene av dem var feles, se tabel. Den f?rste siden av sp?rreunders?kelse 1 inneholdt generele opplysninger om alder, kj?nn, utdannelse og tidligere arbeidserfaring. Denne delen ble sl?yfet i sp?rreskjema 2. Den andre delen i sp?rreskjema 1 ble brukt som innledende del i sp?rreskjema 2. Sp?rsm?lene i denne delen handlet om oppfatninger og opplevelser av matematik knyttet til de fire kategoriene oppfatninger om matematik, oppfatninger av seg selv som bruker av matematik, oppfatninger om matematikundervisning og oppfatninger om hvordan innl?ring av matematik foreg?r. I sp?rreskjema 2 hadde andre del direkte referanse til matematikk 1-kurset og kategoriene om oppfatninger. Det ble spurt om studentene opplevde endringer i sine egne oppfatninger av matematikk i l?pet av kurset. Feles del. Talene viser til sp?rsm?lets nr i de to skjemaene. K(ategori)1 K2 K3 K4 Sp?re- skjema 1 Generel informasjon 6 7 8 9 10 1 14 12 18 13 17 15 16 19 20 Sp?re- skjema 2 32 3 36 37 40 38 4 39 43 41 42 45 46 Sp?rsm?l 47-57 er knytet til studentenes erfaringer fra Matematik 1. Tabel 9: Oversikt over sp?rreskjemaene og sammenhengen melom noen sp?rsm?l 75 Som bakgrunn for utformingen av sp?rsm?lene til de to sp?reskjemaene brukte jeg flere artikler som beskrev l?rere og elevers oppfatninger i og holdninger til matematikk (Kloosterman, 2002; Leder, Pehkonen, & T?rner, 2002; Melin-Olsen, 1984; Pehkonen, 2003; Thompson, 1992). Sp?rreskjemaets fire kategorier (K1-K4 i tabelen) ble derfor gruppert i forhold til l?rerstudentenes oppfatninger av seg selv som bruker av matematikk, oppfatninger av matematikk, oppfatninger av matematikkundervisning, og oppfatning av hvordan innl?ringen foreg?r (se kapitel 2.3). Sp?rreskjemaene inneholdt sp?rsm?l med b?de lukkede og ?pne svar. Det var ikke mulig ? bruke same type svaralternativ for ale de lukkede sp?rsm?lene. Alternativene ble derfor tilpaset sp?rsm?let, men ale fikk en type gradering tilsvarende fra ?ingen grad? til ?stor grad?. Under gir jeg en oversikt over sp?rsm?lene knyttet til de fire kategoriene. Sp?rsm?lsnummer st?r i parentes eter sp?rsm?let, nummer til og med 20 h?rer til f?rste sp?rreskjema. I forhold til svaralternativene velger jeg ? vise til vedlegg H og I. ? Oppfatninger om matematikk o Hvordan er dit forhold til matematikk? (6, 32) o Hvis du m? bruke matematikkunnskaper i hverdagen, hva gj?r du da? (7, 33) o Har du brukt matematikken mye i yrkeslivet dit? (8) o Mener du at du bruker matematikkunnskaper i hverdagen? (9) o Hvordan vurderer du dine tidligere matematikkprestasjoner? (10, 36) o Hvilken karakter p? skalaen A til F forventer du ? oppn? p? det obligatoriske matematikkurset i almennl?rerutdanningen? (11, 37) o Svar p? f?lgende p?stand: Bare de som er flinke i matematikk bruker matematikk ofte. (14, 40) ? Oppfatninger individet har om seg selv som elev og som bruker av matematikk o Hva er matematikk for det? (Ikke svaralternativer) (12, 38) o Svar p? f?lgende p?stand: Matematikk er pugging av regler og innseting i formler. (18, 44) 76 ? Oppfatninger om matematikkundervisning o Hva kjennetegner eter din mening en god matematikkl?rer? (Ikke svaralternativer) (13, 39) o Svar p? f?lgende p?stand: En god l?rer forklarer altid matematikken for elevene. (17, 43) ? Oppfatninger om hvordan innl?ring av matematikk foreg?r o Svar p? f?lgende p?stand: Oppgaver i matematikk kan bare l?ses ved ? bruke metoder git i l?reboka.(15, 41) o Svar p? f?lgende p?stand: Hvis man er flink i matematikk, kan man l?se ale oppgaver p? f? minutter. (16, 42) o Svar p? f?lgende p?stand: Det viktigste n?r man skal l?re matematikk er ? l?re og bruke algoritmer og formler slik at man f?r ret svar. (19, 45) o Svar p? f?lgende p?stand: Det er bare spesielt begavede mennesker som kan bli flinke i matematikk. (20, 46) I andre del av sp?rreunders?kelsen ble det git sp?rsm?l som var retet direkte mot matematikk 1- kurset. 47. Hvor mye har du jobbet med matematiken dete studie?ret? 48. Hvilken undervisningsform/l?ringsituasjon foretreker du? 49. Hvor ofte har du v?rt p? ike-obligatoriske forelesninger i matematik dete studie?ret? 50. Hvorfor m?ter du p? ike-obligatoriske forelesninger? 51. Hvor ofte forbereder du deg til forelesningene? Og det ble framlagt noen p?stander der studenten skulle svare ut fra egne oppfatninger om kurset generelt ble oppfatet i studentgruppa. 52. L?rerstudentene endrer oppfatningen de har av seg selv som bruker av matematik eter kurset. 53. L?rerstudentene endrer sin oppfatning om matematik eter ? ha gjennomf?rt kurset 77 54. L?rerstudentene endrer sin oppfatning av matematikundervisning eter kurset. 55. L?rerstudentene endrer sin oppfatning om hvordan innl?ring av matematik foreg?r eter kurset. For ? kontrollere svarenes konsistens fantes det i hver kategori formuleringer git b?de som et sp?rsm?l og som en p?stand. Sp?rsm?l og p?stander fra same kategori var ikke plasert eter hverandre slik at de umiddelbart skulle kunne knyttes til hverandre. Av praktiske hensyn ble sp?rsm?lene i det andre sp?rreskjemaet nummerert fortl?pende eter numrene i f?rste skjema med unntak av sp?rsm?let om identitet, som fikk same numer som forrige skjema. Det var da enkelt ? legge opplysningene inn i SPS 10 , og det forenklet ogs? analyseprosesen i forhold til ? skulle samenlikne svarene fra de to unders?kelsene. Som forklart i kapitel 4.1.2 ble ikke sp?rreskjema 2 brukt p? grunn av for liten deltakelse. 4.1.4 Krav til tekstene fra respondentene Feles for ale tekstene var at de skulle leveres elektronisk. Jeg antok det var enklere for respondentene ? f? noen ledetr?der i forhold til ? beskrive en hendelse, s?rlig n?r de hadde forholdsvis kort tid p? besvarelsen slik som i tekst 3 og 4. De fikk derfor noen sp?rsm?l knyttet til hver tekst. Det gjorde det ogs? enklere ? samenlikne svarene, men det var opp til hver enkelt om de vile bruke sp?rsm?lene som overskrifter eler bare som veiledning. Den f?rste teksten ble delt i to der studentene f?rst skulle fortele om tidligere erfaringer (tekst 1) og s? lage en forventningslogg for matematikkurset (tekst 2). Dise to tekstene og sp?rreskjemaet ga da et bilde av studentenes forforst?else for matematikkundervisning og -l?ring. De to neste tekstene ble gjennomf?rt umiddelbart eter en felesforelesning og eter en seminartime, slik at besvarelsene ble s? spontane som mulig for ? hindre studentene i ? omdefinere opplevelsen, som for eksempel en dagbok eler annet hjemearbeid vile git mulighet for (Bjerneby H?l, 2002, s.121). Valg av titel og rekkef?lge p? tekstene var gjort slik at det skulle v?re mulig ? skape 10 SPS er et software program som brukes i kvantitativ analyse av data (htp:/ww.sps.com/). 78 seg et bilde av studentens matematikkopplevelser slik han ?nsket ? presentere den i starten, underveis og ved slutten av matematikk 1-kurset. Tekstene fra meg til respondentene er i full versjon lagt som vedlegg, men jeg har valgt ? presentere n?kkelsp?rsm?lene som studentene fikk her fordi de er n?rt knyttet til presentasjonene av hvert case. Sp?rsm?lene var ment som en veiledning hvis det var vanskelig for respondentene ? komme i gang med skrivingen. Det ble lagt vekt p? at de skulle skrive ned noen tanker om hvordan de husker sine opplevelser, og at de skulle pr?ve ? unng? ? analysere hvorfor det ble slik. Meningen var ? f? en beskrivelse av hendelsen og ikke en analyse av den. Det ble git mulighet for at de enten i eterkant kunne reflektere over hendelsen, eler at vi i intervjuet skulle komme tilbake til den. Hovedfokus skal v?re p? hver enkelt students opplevelser og oppfatninger av situasjonene. For meg som forsker var det viktig at de brukte lit tid p? ? forklare hva de tenkte og opplevde i situasjonen. Siden matematikk var temaet, s? skulle de fokusere p? det. Men de ble ogs? oppfordret til ? ta med andre ting som var viktige for dem. Tekst 1 (Vedlegg B): Mine tanker om matematikk. Pr?v ? sete deg tilbake til hva du tenkte om f?lgende f?r du begynte p? l?rerutdanningen. Hva er dine matematikkopplevelser f?r du begynte p? l?rerutdanningen? Hva er dine matematikkoppfatninger f?r du begynte p? l?rerutdanningen? Hva husker du fra din egen skolegang at matematikken var? Hva mener du er matematikk? Hva tenker du n?r du h?rer ordet? Hva tenker du positivt om matematikk? Hva tenker du negativt om atematikk? Hva var dine tanker om ? skulle ha matematikk i l?rerutdanningen din? Tekst 2 (Vedlegg B): Forventninger til det obligatoriske kurset i matematikk p? l?rerutdanningen. Hva forventer du at kurset skal gi deg? Hva forventer du av deg selv? 79 Tekst 3 og 4 (Vedlegg C) Tanker eter en forelesning Hva var det matematiske temaet for forelesningen? Hvordan ble temaet presentert? Hvilket niv?/hva slags forkunnskaper mener du at du trengte for ? f?lge forelesningen? Hadde du dise forkunnskapene? Hadde du forberedt deg faglig ved for eksempel ? lese pensum f?r forelesningen? Hvordan opplevde du forelesningen helhetlig set? Hvorfor tror du dine opplevelser ble slik? Hva mener du at du har l?rt p? denne forelesningen? Her skal du ikke bare nevne nye matematikkunnskaper, men ogs? presentasjonsmetoder, didaktikk, metodikk, etc. Svarte forelesningen til dine forventninger? Hvorfor/hvorfor ikke? Tanker eter seminargruppearbeid Hva var temaet for oppgavene i seminargruppen? Hvordan ble arbeids?kta gjennomf?rt? Hvilket niv?/hva slags forkunnskaper mener du at du trengte for ? f?lge seminargruppearbeidet? Hadde du forberedt deg faglig f?r seminargruppearbeidet? Hva slags rolle har du som student i denne arbeids?kta? Hva har du l?rt/erfart/opplevd i denne arbeids?kta? Det har i seminargruppene v?rt presentert ulike opplegg fra medstudenter. Hva synes du om dise presentasjonene? Begrunn svaret. Bruk gjerne eksempler p? noe som du synes var veldig bra og noe som var mindre bra. I avhandlingen har jeg gjengit tekstene fra respondentene slik de skrev dem, s? eventuele skrivefeil er ikke korrigert. 80 Notatbok For ? gi studentene en mulighet til ? huske hendelser som de ?nsket ? ta opp i siste intervju, fikk ale utlevert en notatbok der de kunne skrive ned spesiele hendelser som de fant betydningsfulle i forhold til matematikk som fag eler holdninger i matematikk. Det kunne v?re en hendelse som de opplevde positivt eler negativt, noe de plutselig forsto, eler kanskje bare noe de syntes var en god ide i forhold til egen undervisning. De skulle notere seg dato og hva som skjedde, om det var felesforelesning, seminargruppearbeid, kollokviearbeid eler ikke studierelatert i det hele tat, og hvorfor de syntes akkurat den hendelsen ble spesiel eler viktig. Dise notatene skulle v?re spontane og gj?res underveis hele ?ret fram til intervjuet. Respondentene ble bedt om ? levere boka ret f?r intervjuet. Siden ingen gjorde det, fikk jeg b?kene f?rst den dagen intervjuet skulle gjennomf?res og hadde dermed ingen mulighet til ? gjennomg? den i forkant. Det viste seg ? bety lite for intervjuet fordi det bare var tre av respondentene som hadde skrevet noe i boka, og det var veldig lite som var skrevet slik at vi gikk bare gjennom det samen slik at studenten fikk komentert det. Matematikutviklingsdagboka Matematikkutviklingsdagboka (MUD) var et obligatorisk arbeidskrav i det kurset studentene fulgte. En matematikkutviklingsdagbok defineres som en samling l?sninger av ?pne matematikkoppgaver eler probleml?sningsoppgaver der studentene beskriver sine tanker om eget arbeid, sine l?sningsmetoder og didaktiske refleksjoner fortl?pende til hver oppgave, eter hvert som de l?ser oppgaven. Ideen bak en slik l?snings- og refleksjonsmetode er utarbeidet av l?rerne for det kurset respondentene deltok p?, og bygger p? John Masons ide om ? l?re matematikk ved ? beskrive sin egen l?sningsmetode med ord paralelt med den symbolske notasjonen som beskriver matematikken (Mason, 1999). Siden dise tekstene kunne belyse studentens opplevelser og oppfatninger av matematikk, ble dise b?kene en del av unders?kelsen. 4.1.5 Forberedelse til intervju Form?let med et kvalitativt forskningsintervju er ? innhente intervjupersonens beskrivelse av sin livsverden i forhold til det fenomenet som blir beskrevet. I en slik 81 samenheng er det viktig at intervjuer holder fokus p? fenomenet uten ? styre det i en bestemt retning som kan v?re misvisende ut fra intervjupersonens st?sted. P? den annen side er intervjuet et viktig redskap til ? utdype uklarheter eler rete opp misforst?elser slik at resultatet gjenspeiler en virkelighet som informanten kjenner seg igjen i (Kvale, 1997). I forhold til utformingen av intervjuguide var det en utfordring ? avgj?re hvor detaljert en slik guide skulle v?re. For detaljerte sp?rsm?l kan lede svaret for mye mot det man tror skal svares, mens sp?rsm?l som ikke er presise nok, kan gi et for overfladiske eler utflytende svar (ibid). Samtidig er intervjuet et viktig redskap til ? utdype uklarheter eler rete opp misforst?elser slik at resultatet gjenspeiler en virkelighet som respondenten kjenner seg igjen i. F?r intervjuene ble det laget en intervjuguide (vedlegg G) som var sat opp som en matrise med to rader og fire kolonner. I den f?rste raden formulerte jeg sp?rsm?l som jeg ?nsket svar p? fra ale respondentene, og i den andre raden la jeg inn de sp?rsm?lene som var feles p? begge sp?rreskjemaene og fylte inn den enkelte studentens svar fra sp?rreskjemaene samen med stikkord fra de andre tekstene som var levert. I de fire kolonnene brukte jeg sp?rsm?l 52-55 fra sp?rreskjema 2 som overskrift. Det var ogs? git rom for ? legge inn oppklarende sp?rsm?l underveis. 4.2 Insamling av forskningsmaterialet Materialinnsamlingen ble gjennomf?rt eter tidsskjema (Tabel 7, s. 70) og ale tekster fikk en f?rste behandling umiddelbart eter jeg mottok dem. Transkriberingen av intervjuene ble f?rst gjort da ale intervjuene var avslutet. 4.2.1 Sp?rreunders?kelsen F?rste sp?rreunders?kelse ble gjennomf?rt i begynnelsen av studie?ret og ale studentene som fulgte den obligatoriske matematikkundervisningen ved l?rerutdanningen, ogs? den samlingsbaserte klasen deltok. Av praktiske ?rsaker ble de ikke tilbudt ? v?re med i respondentgruppen p? seks studenter. Unders?kelsen ble gjennomf?rt i klaserommet i forbindelse med en forelesning, og studentene besvarte og leverte skjemaet umiddelbart eter. Dete var viktig for ? f? en s? stor deltakelse som mulig, og siden det var helt i begynnelsen av studie?ret, var det godt oppm?te selv om 82 det ikke var obligatorisk ? v?re tilstede p? forelesningen. Det ble samlet inn totalt 75 besvarelser. Den andre delen av sp?rreunders?kelsen ble gjennomf?rt elektronisk fordi det var veldig lav deltakelse p? felesforelesningene p? dete tidspunktet. Sp?rreskjemaet ble lagt ut p? Fronter og var tilgjengelig for de same gruppene som deltok i del 1. Det ble opplyst om gjennomf?ringen av unders?kelsen b?de p? e-post og p? Fronters meldingsside. Det resulterte i 42 besvarelser totalt, men av dise var det 1 som ikke hadde v?rt til stede ved den f?rste sp?rreunders?kelsen. Jeg vurderte den lave deltakelse i del 2 slik at det var ikke mulig ? bruke dem. Hensikten hadde v?rt ? samenlikne de to unders?kelsene, men siden det var mindre enn halvparten av studentene som deltok i begge unders?kelsene utelukket det et godt samenlikningsgrunnlag. Respondentenes svar fra sp?rreunders?kelsen kunne likevel bli brukt som informasjon, og studentenes svar p? forventet karakter (sp?rreskjema 1) var mulig ? samenlikne med den endelige karakteren. 4.2.2 Tekstene For respondentgruppa p? 6 studenter ble tekst 1 (forventningslogg) og tekst 2 (matematikktanker) skrevet helt i starten av studie?ret. Dise tekstene ble levert i en egen tilpaset mappe p? Fronter. Ale studentene leverte som avtalt. De to neste tekstene ble ogs? levert p? Fronter og ale studentene m?tte opp til same forelesning og same seminargruppetime. Tekstene fra matematikdagboka ble kopiert av fagl?rer og git til meg i papirformat. Intervjuene ble tat opp digitalt og transkribert av meg. 4.2.3 Intervjuene Den innledende kontakten med respondentene ga f?ringer i forhold til hvor man startet i sp?rreskjemaet, og hvordan dete ble fulgt opp. Det ble pr?vd ? holde en uformel samtale, ikke et eksaminerende intervju. Det vil si at jeg var bevist p? ? stile ?pne sp?rsm?l og unng? mer styrende, lukkede sp?rsm?l. Dete ga respondentene anledning til ? velge hvordan de vile svare, slik at de fikk fram det som det var viktig for dem ? f? sagt noe om. En ulempe med dete var at jeg ikke altid fikk svar p? de sp?rsm?lene jeg hadde tenkt meg, muligens fordi respondenten ikke forsto mit sp?rsm?l slik jeg hadde tenkt det skulle tolkes, eler fordi han ikke fant sp?rsm?let relevant i forhold til sin opplevelse som han vile fortele om. 83 Respondentene ble informert om at de skulle m?te forberedt til intervjuet ved at de hadde lest og reflektert over de tekstene de hadde levert tidligere og besvart del I av sp?rreskjemaet. Desvere var det bare tre av dem som hadde besvart sp?rreskjemaet og bare en av dem hadde lest gjennom tekstene sine. Da jeg oppdaget dete, vurderte jeg om jeg skulle gj?re nye avtaler, men forkastet det siden det alerede hadde v?rt store problemer ? finne tid innimelom andre eksamener og oppgaver. Jeg valgte derfor ? f?lge oppsat plan fordi det var viktig ? gjennomf?re intervjuene f?r eksamen i matematikk. Dete fordi jeg ikke ?nsket at eksamensresultatene eler erfaringen fra eksamen skulle p?virke studentens opplevelse av matematikkurset. Proses Overordnede opgaver Hva jeg gjorde og fant Samle ale tekstene fra hvert case i et dokument. F?rste totale gjenomlesing F?rste kategorisortering i NVivo Gik eter hvert over til programet HyperResearch S?ke i tekstene eter konkrete hendelser som kune knytes til de fire kategoriene om opfatninger. S? spesielt eter positive og negative erfaringer til dise. Trin 1 F?rste m?l var ? f? en oversikt over det empiriske materialet slik at jeg fik et godt grunlag for det videre arbeidet. Byget op en forteling som beskriver en mulig oplevelse av det obligatoriske kurset i matematik ved l?rerutdaningen En n?dvendig proses for mit eget arbeid videre, men jeg ser ogs? muligheten for ? bruke den i avhandlinga. Kategoriserte oplysningene i tekstene helt p? nyt S?ke igjen i tekstene eter konkrete hendelser som kune knytes til de fire kategoriene om opfatninger. S?rlig der hvor opfatninger tydelig komer fram var viktig. Knytet svarene fra sp?reskjemaene til case studiene Samenliknet ale resultatene. S? p? hvor de to testene var konsistente og hvor de var inkonsistente (overenstemelse). Fant ut at jeg vile se n?rmere p? studentenes spr?k og begreper. Trin 2 Her var det n?dvendig ? ta to skrit tilbake for hvert skrit fram og ? gjenomg? hele prosesen flere ganger. Mine sp?rsm?l var: Duker det op kategorier jeg ike har forutset? Fines det klare samenhenger melom noen av utsagnene? Trak slutninger Eksplisite resultater der bevisene var i teksten. Implisite resultater der jeg som forsker s? m?nstre som gjentok seg i det empiriske materiale. Tabel 10: Oversikt over tekstanalysen Ale intervjuene ble tat opp p? b?nd og transkribert. Transkriberingens reliabilitet (p?litelighet) handler om det som er skrevet virkelig er det som ble sagt. Validiteten (gyldigheten) handler om ? oversete fra et muntlig spr?k til et skriftspr?k og de to spr?kene har forskjelige regler. En transkripsjon er ikke en kopi av en realitet, men en abstraksjon. Det er derfor ikke mulig ? gj?re en korrekt transkripsjon. Transkripsjon er 84 likevel et viktig arbeid siden det er i dete arbeidet den f?rste analysen av intervjuet foreg?r (Kvale, 1997, s.103-105). Jeg valgte ? bruke software som hjelpmiddel i analysen av tekst. Jeg pr?vde b?de NVivo 1 og HyperResearch 12 . Mit behov var ? gjennomf?re en kategorisering av tekstene og ? f? laget en rapport som var ga meg b?de tekst og kildeinformasjon p? en oversiktlig m?te. Begge programene ga denne muligheten, men jeg fant HyperResearch mest hensiktsmesig for mit behov. Deler av analysen ble gjort flere ganger i hvert program. Dete ga et godt grunnlag for ? se om kodingen stemte overens med min tolkning fra gang til gang. Under gjennomarbeiding av teori ble det synliggjort nye behov, s? da m?te noen av kodene endres og noen nye ble lagt til. Dete krevde nye analyser, noe jeg s? p? som en sikring av min forst?else av b?de kode og tekst. Det ble ogs? en form for triangulering i forhold til analysen. Resultatene er presentert ved ? kombinere analyseresultatene p? forskjelige m?ter. Ved ? lage en matrise med kolonnene som en case for hver respondent (caseniv? 1), og radene som en case for hver tekst/hendelse (caseniv? 2), vil opplevelsene av kurset kunne beskrives p? flere m?ter. F?rste del viser da til hver respondents opplevelse av matematikkurset, og andre del vil vise om respondentene har samsvarende opplevelser av ulike hendelser. Hele matrisen vil fortele om deres totale opplevelse av kurset. Tabel 11: Matrisen gir en oversikt over caseniv?ene. Kolonnene viser til caseniv? 1, radene til caseniv? 2 og hele matrisen til caseniv? 3 1 Software til bruk i kvalitativ analyse av tekst (htp:/ww.qsrinternational.com/products_nvivo.aspx) 12 Softwareprogram til bruk i kvalitativ analyse av tekst, video og lydoptak (htp:/ww.researchware.com/index.html) Case Alfa Case Beta Case Delta Case Epsilon Case Gama Case Sigma Sp?reunders?kelse(r) Forventningslog Matematikerfaring Forelesningsrefleksjon Seminargruperefleksjon Matematikdagbok Intervju Spr?kbruk 85 Tabel 11 og tabel 6 (s. 70) viser to forskjelige m?ter ? presentere analysemetoden. Tabel 11 viser hvordan man kan knytte samen informasjonen fra respondentene slik at same tekst brukes b?de p? niv? 1 og niv? 2. Det vil si at den informasjonen jeg ?nsker om case Alfa legges i hans kolonne og brukes i analysens niv? 1. I analysens niv? 2 blir enkelthendelser beskrevet, og da bruker jeg radene som utgangspunkt, eks. forelesning. Informasjonen er alts? den same, men presentasjonen blir forskjelig. 86 5 Beskrivelser og tolkninger av forskningsmaterialet Jeg har valgt ? presentere analysen p? tre m?ter. F?rst presenterer jeg respondentene ut fra deres svar p? sp?rreskjema 1 og knytter dete til forventningsloggen for p? den m?ten ? beskrive deres forforst?else for matematikk 1-kurset. Dereter presenterer jeg en fortelingsanalyse. Det vil si at jeg ser p? de tekstene fra respondentene som er utformet som fortelinger og analyserer dem i forhold til begrepene beskrivende og forklarende forteling. Til slutt presenterer jeg en fortelende analyse i tre niv?er. Fortelende analyse best?r i ? gj?re en paradigmatisk analyse av tekstene. Det vil si at jeg gj?r et utvalg av informasjon som jeg finner relevant for den fortelingen jeg vil presentere for leseren. Dereter seter jeg samen opplysningene til en helhetlig tekst hvor jeg b?de beskriver og forklarer min forst?else av teksten. P? caseniv? 1 blir informasjon om hver enkelt respondent sat samen til en personlig biografisk forteling for hver av dem. Fortelingene som ble sat samen av utvalgte deler av datamaterialet og min tolkning av det blir presentert f?rst, og s? blir det gjort en analyse i forhold til de fire kategoriene om oppfatninger. Caseniv? 2 best?r av ulike hendelser som er feles for ale respondentene, slik som forelesning, seminargruppe og arbeidskravet matematikk- utviklingsdagbok (MUD). Respodentenes anvendelse av matematikkspr?k og bildespr?k blir ogs? beskrevet her. I caseniv? 2 blir analysene presentert enten som biografiske fortelinger eler som referater. Caseniv? 3 er en oppsummering av matematikk 1-kurset slik jeg har tolket respondentenes beskrivelser. Fortelingen er en viktig del av denne avhandlingen, og jeg har brukt ulike typer forteling og fortelende tekster fra den innledende metafortelingen til presentasjonene i analysen. For eksempel s? er ale tekstene i caseniv? 1 presentert med veldig lite analyse fordi jeg ?nsker ? la dem st? for seg selv. Jeg tar heler opp viktige episoder igjen i diskusjonen der helheten beskrives. 87 For ? forstyrre den fortelende teksten minst mulig har jeg i noen av presentasjonene valgt ? skrive tekstene fra datamaterialet i h?yre kolonne og skrive min tekst i venstre kolonne. Datamaterialet er kodet med bokstaver slik: Kode Forklaring T-FL Tekst fra forventningslogen som ble skrevet f?r matematikurset T-MT Tekst fra matematiktanker som byger p? studentenes erfaringer fra f?r l?rerutdaningen T- UD Tekst fra matematikutvklingsdagboka T- F Tekst fra forelesning T- S Tekst fra seminargrupe T- I Tekst fra intervju S1 Informasjon fra sp?reskjema 1 S2 Informasjon fra sp?reskjema 2 Tabel 12: Koder med forklaring til de empiriske tekstene I casene til den enkelte respondent, er det ikke markert hvem som har levert teksten fordi det tas det for git at informasjonen kommer fra den studenten som blir beskrevet. I tekstene fra caseniv? 2 og 3, der informasjonene fra de ulike respondentene er samlet, har jeg lagt til en gresk bokstav som henviser til hvilken student som har git informasjonen. Eks: T-FL ? betyr at Alfa har skrevet dete i sin forventningslogg. 5.1 Studentenes forforst?else for matematik F?rste del av analysen behandler studentenes svar i sp?rreskjema 1. Som beskrevet i kapitel 4.2.1 har jeg redusert opplysningene fra sp?rreskjemaet til kun ? gjelde enkelte deler av f?rste skjema p? grunn av for d?rlig deltakelse i andre del av sp?rreunders?kelsen. Sp?rsm?lene jeg valgte ? ta med, var dem som sa noe om hvor studenten plaserte sine matematikkunnskaper ut fra tidligere erfaringer. Jeg s? spesielt p? studentenes oppfatning av egne matematikkerfaringer og deres forventninger til resultat i matematikk 1-kurset. 5.1.1 Utvalgte svar fra respondentene fra sp?rreskjema 1 Svarene p? sp?rsm?l 6 (se tabel 13) viste at i respondentgruppa var det tre av respondentene som hadde en positiv holdning til matematikk, to var negative og en svarte at matematikk var greit. Det var rimelig ? anta at Beta som svarte at matematik var greit, hadde en mer positiv enn negativ holdning til faget fordi sp?rsm?let var om 88 hvilket forhold han hadde til matematikk. Hvis han hadde hat en negativ holdning, s? vile han sannsynligvis valgt svaralternativ 1 eler 2. Videre kan man se at studentene Alfa og Sigma hadde h?ye forventninger til hvilken karakter de kunne oppn?, og de beskrev seg selv som positive til faget og at deres tidligere prestasjoner i matematik hadde v?rt sv?rt gode. Det var alts? en forholdsvis klar samenheng melom tidligere erfaring, holdning og forventning. Sp?rsm?l skjema 1. Alfa Beta Gama Delta Epsilon Sigma 6. Hvordan er dit forhold til matematik? 1. Jeg liker matematik sv?rt d?rlig 2. Jeg liker matematik d?rlig 3. Jeg synes matematik er greit 4. Jeg liker matematik godt 5. Jeg liker matematik sv?rt godt 4 3 5 2 2 5 7. Hvis du m? bruke matematikunskaper i hverdagen, hva gj?r du da? 1. Synes det er h?pl?st og lar v?re 2. Ber om hjelp med en gang 3. Pr?ver selv f?rst, men m? som oftest be om hjelp 4. Strever, men klarer det selv 5. Klarer meg altid selv 5 4 5 3 3 5 9. Mener du at du bruker matematikunskaper i hverdagen? 1. Ingen grad 2. I liten grad 3. I noen grad 4. I stor grad 5. I sv?rt stor grad 4 3 4 2 3 4 10. Hvordan vurderer du dine tidligere matematikprestasjoner? 1. Sv?rt d?rlige 2. D?rlige 3. Midels 4. Gode 5. Sv?rt gode 5 2 4 2 1 5 1. Hvilken karakter p? A til F forventer du ? opn? p? det obligatoriske matematikurset i almenl?rerutdaningen? A-B C-D B-C D C-D A-B Tabel 13: Oversikt over respondentenes forhold til matematik og deres forventninger til karakter f?r det obligatoriske matematik 1-kurset Gama var ikke like sikker p? toppkarakter og viste til at hans tidligere matematikkprestasjoner hadde v?rt gode, s? selv om han sa han likte matematikk sv?rt godt, s? har han i sin vurdering av egne evner i forhold til karakter svart i samsvar med sit svar p? sp?rsm?l 10. Beta beskrev sine tidligere prestasjoner som d?rlige, men svarte at han hadde likevel et greit forhold til matematikk og forventer en middels god 89 karakter. Dete tolket jeg som en rimelig vurdering i og med at han svarte at han strevde med matematikk i hverdagen, men forventet at han klarte ? l?se egne praktiske matematikkutfordringer selv. S? en C kunne anses ? v?re et rimelig m?l. Delta vurderte ogs? sine tidligere prestasjoner som d?rlige, men svarte at han likte matematikk d?rlig og trengte hjelp n?r han brukte matematikk i hverdagen. Han vurderte sine mulige resultater i l?rerutdanningen som lit under Betas forventninger, hvilket vil v?re rimelig i forhold til det totale intrykket. Epsilon svarte det same som Delta p? sit forhold til matematikk og bruk av matematikkunnskaper, men vurderte tidligere prestasjoner som sv?rt d?rlige. Likevel forventet han en lit h?yere karakter enn Delta, det vil si det same som Beta. Det var ikke noe svar i sp?rreskjemaet som bygget opp under en slik forsiktig optimisme, s? det m? jeg s?ke svar p? i tekstene og eventuelt f? bekreftet i den endelige karakteren. Totalt set s? kan det se ut som respondentene gjorde en rimelig vurdering ut fra de beskrivelsene de ga av egne forhold til matematikk, likevel fant jeg det interesant ? se kort p? hva som forventes av en A eler B ut fra den veiledende skalaen beskrevet i kapitel 2.1. En A skal brukes ved en framragende prestasjon der kandidaten viser sv?rt god vurderingsevne og stor grad av selvstendighet, og en B gis ved en meget god prestasjon der kandidaten viser meget god vurderingsevne og selvstendighet. En C gis der kandidaten viser jevn god prestasjon og god vurderingsevne og selvstendighet. Sp?rsm?let var da om en student som kun hadde erfaring fra matematikk i grunnskolen og videreg?ende skole der man fikk topp karakter hvis ale oppgavene var regnet riktig, ogs? tok med i sin vurdering at matematikk 1-kursets matematikk inneholdt mer en bare det ? regne oppgaver. Det vil si at kurset legger vekt p? ? forst? for eksempel posisjonssystemet og hvorfor algoritmer og formler fungerer. I tilegg kom at didaktikk og undervisningsmetoder ogs? skulle tele med i karakteren. Ut fra datamaterialet kan jeg ikke svare p? om studentene vurderte dete. Men fordi Sigma sa i sin forventningslogg at han hadde set lit i pensumb?kene f?r kurset startet og var overasket over at det var s? mye tekst, kan man anta at flere av studentene opplevde det same. 90 Jeg valgte ogs? ? ta med to ?pne sp?rsm?l fra sp?rreskjema 1, det ene var om matematikk og det andre om matematikkl?rerollen. P? sp?rsm?let om hva den enkelte mente at matematikk var, svarte de med ulike beskrivelser av handlinger eler f?lelser (dete var ogs? tendensen i svarene fra hele studentgruppen, selv om de ikke er med her). Jeg fant det overaskende at det var s? lite matematikkfaglige svar, som for eksempel algebra, likninger, statistikk osv. P? den andre siden tolket jeg dete som et signal om at matematikk oppleves som et fag som er sterkt knyttet til f?lelser og holdninger. Sp?rsm?l 12 (S1). Hva er matematikk for deg? Alfa: Tal, probleml?sing, hjelpe andre, gjentakelse og kjedsomhet, hodebry, glede, iver, tenke p? problemer, se nye l?sninger Beta: Utfordrende og n?dvendig. Gamma: Matematikk er for meg en interesant lek med tal. Delta: Matematikk er tungt, komplisert, noen ganger veldig uforst?ende. Kjedelig og t?rt. Epsilon: Matematikk er vanskelig/umulig. Noe jeg har bruk for p? vise omr?der i dagliglivet. Noe jeg skulle ?nske jeg kunne mer av. Mentale sperer. Sigma: Matematikk er for meg: Min fremtidige jobb. ?nsker ? jobbe med tal. Da jeg samenliknet dise svarene med svarene p? sp?rsm?lene over, fant jeg at de som var mest positive der, ogs? hadde de mest positive beskrivelsene. At Alfa svarte ?gjentakelse og kjedsomhet? tolket jeg som negative ord, men han sa ogs? at han likte matematikk sv?rt godt. I denne samenheng antok jeg derfor at han mente han fikk for lite utfordringer, og ikke at han hadde en negativ holdning til matematikk. Dete bekreftet han i flere av sine senere tekster. Betas svar var i overenstemelse med tidligere svar i og med at han uttrykte seg verken positivt eler negativt. Delta og Epsilon var negative og bekreftet bare sine egne svar om at de likte matematikk d?rlig, og at de vurderte egne matematikkprestasjoner som henholdsvis d?rlige og sv?rt d?rlige. 91 Det neste sp?rsm?let jeg vurderte var studentenes beskrivelse av den gode matematikkl?reren. Sp?rsm?l 13 (S1). Hva kjennetegner en god matematikkl?rer? Alfa: Har forst?else for at folk er p? forskjelig niv?, ta seg tid til ? hjelpe og forklare, kan se problemet fra forskjelig hold, ta stofet ned til et pasende niv?. Beta: Tydelig, t?lmodig, kreativ og systematisk Gamma: Gode basiskunnskaper. B?r kunne gj?re stoffet interesant. Underholdende. Konkret. Delta: En matematikkl?rer er en som f?r til ? forklare det p? en morsom m?te, kan knytte det opp mot dagliglivet. Epsilon: Den gode matematikkl?reren er en som motiverer deg til og fors?ke ? klare de ulike stykkene. En som kan finne alternative l?sningsmetoder. En som ikke gir intrykk av at du er dum fordi du ikke greier det. Sigma: En god matematikkl?rer er en som er kreativ, livlig, retferdig, forklarer enkelt/let forst?elig, oppfinnsom, engasjert i faget. S? langt jeg kunne se, var det ikke mulig ? lese ut fra respondentenes svar p? dete om de hadde et godt eler d?rlig forhold til matematikk. Selv om Epsilons siste setning kunne bli oppfatet slik at han hadde opplevd l?rere som behandlet elever som dumme n?r de ikke forsto, s? sa kommentaren ikke noe om det var seg selv han mente eler om det var i forhold til en tidligere klasekamerat. Jeg valgte derfor ? tolke det som rimelig at ale mente en matematikkl?rer skulle v?re en positiv, kreativ og kunnskapsrik person. Om de beskrev sin egen rolle som l?rer eler ikke, var ikke tat med i sp?rreunders?kelsen. Derfor kunne jeg ikke si noe om det ut fra denne delen av datamaterialet. Sigma hadde konkret sagt at det ? v?re matematikkl?rer var hans framtidige jobb. Det var da mulig ? anta at han kunne tenkt seg selv inn i rollen i sin egen beskrivelse, men det ble ikke eksplisit sagt. 92 5.2 Fortelingsanalyse Det kan v?re rimelig ? anta at studentene valgte episoder fra sine matematikkerfaringer fordi det var viktig for dem ? forklare eler beskrive sine holdninger og oppfatninger. Da jeg analyserte tekstene, ble denne antakelsen forsterket fordi respondentene gjentok de same episodene i flere av tekstene. De ble gjerne presentert som sm? fortelinger som var begrenset i tid og hadde et tema knyttet til matematikk. Som beskrevet i kapitel 3.2 ble fortelingene valgt ut fra tekstens form, og ikke ut fra at de beskrev en bestemt hendelse eler at den var knyttet til en av de fire kategoriene om oppfatninger av ulike sider av matematikken. I praksis vil det si at jeg s? eter episoder som hadde en tidsavgrensing og et tema, som gjennom handling f?rte til en form for konklusjon. Hensikten med ? analysere denne type tekst var at jeg da ikke valgte ut fra innholdet i teksten, men ut fra form. Det ble en annen type informasjon enn den fortelende analysen der det jeg valgte tekst ut fra det jeg fant viktig i innholdet og dereter sate det samen til en helhet for ? beskrive et case. I fortelingsanalysen s? jeg p? hva som var tema, hvem som gjennomf?rte handlingen og hva som var konsekvensen av handlingen. Jeg vurderte ogs? om det var en beskrivende forteling eler en forklarende forteling, det vil si om respondenten brukte fortelingen bare til ? beskrive en hendelse eler til ? forklare en erfaring (for-di perspektiv). 5.2.1 Studentfortellinger De aler fleste fortelingene var om hendelser fra f?r l?rerutdanningen. Fem av de seks studentene hadde minst en forteling fra grunnskolen eler videreg?ende skole som de fortalte om i tekstene som ble levert helt i starten av studie?ret. Den sjete studenten, Alfa, valgte ? ikke ta med egen skolegang i de f?rste tekstene selv om det var et av de veiledende sp?rsm?lene. Han fortalte f?rst om sin skolerfaring fra f?r l?rerutdanningen da han ble intervjuet mot slutten av studiet. Fortelinger fra tidligere skolegang Alfa hadde to fortelinger, en fra grunnskolen og en fra videreg?ende, og dete var ogs? fortelingenes avgrensinger i tid. Hans m?te ? presentere sine fortelinger p? var oppstykket, det vil si teksten fl?t ikke, men dete kan ha v?rt Kildetekster T-I ? : 1) Jeg husker ike sm?skolel?reren hvordan ho egentlig var, men, ? jeg oplevde ho p? melomtrinet eler videre i ungdomskolen. ? Ho oplevde jeg ? eler n?r jeg stilte sp?rsm?l, s? 93 fordi fortelingene ble hentet fra intervjuet, s? det hele var preget av en uformel, muntlig form. I begge fortelingene var det l?rere som var akt?r, og begge l?rernes handlinger kunne tolkes slik at studenten oppfatet dem som faglig flinke. Det vil si at handlingen i fortelingen beskrev hvordan l?reren viste sin kunnskap for elevene. I f?rste forteling beskrev han sin egen opplevelse av l?rerens rolle som ?ordentlig? og at denne l?reren var en l?rer som hadde kontakt med elevene (ogs? ham selv), mens i den andre fortelingen beskrev han l?reren som en person uten kontakt med andre elever enn de aler flinkeste, og han nevnte ikke eksplisit sin egen role her. Alfas fortelinger var begge forklarende der han viste sin opplevelse av hvordan l?rerens kunnskap p?virket undervisningen. Hans beskrivelse av en god l?rer kan knyttes til dise to fortelingene. Betas fortelinger var i tid ale knyttet til barneskolen, de f?rste fant jeg i hans tekst om egne erfaringer fra f?r l?rerstudiet og den siste ble fortalt i intervjuet. Den f?rste var begrenset i tid til ?mine f?rste skole?r?, og de to neste var enkeltepisoder i henholdsvis femte og sjete klase. I ale tre fortelingene var det ham selv som var akt?r. I den f?rste fortelingen var faget tema og det var Betas forst?else av faget som ble beskrevet. Fordi han opplevde faget s? enkelt, s? ble det ogs? hans motivasjon for handling, nemlig at han meldte seg ut av feleskapet og lot fagets inhold gi ham det han ?nsket ved ? jobbe. I denne samenheng vile det v?rt grunn til ? tro at han med ? jobbe mente ? l?se oppgaver. I den neste fortelingen fant jeg to akt?rer, Beta og en annen elev, og dene gangen var temaet for handlingen at de skulle l?se matematikkoppgaver, helst mange. Handlingen var konkurransen melom de to elevene oplevde jeg at ho svarte ordentlig. Og det virket som ho klarte det med de andre og. 2) Men jeg hade ? n?r jeg tok p?bygning almenfag, s? vet jeg at han matel?reren ? han l? h?yt for de som ike skj?nte det. Og han pr?vde p? nyt igjen og p? nyt igjen p? same m?te og han kom aldri gjenom. T-MT ? : 1) I mine f?rste skole?r kom faget ganske naturlig p? meg. Jeg syntes faget var let forst?elig, det som var iriterende med faget var l?rerens uendelige gjentagelser av noe s? enkelt. Jeg husker at jeg slutet ? f?lge med og sat heler bare i gang med ? jobe. 2) I femte klase var jeg i konkuranse med en anen elev om ? klare flest mulig opgaver p? kortest tid. Jeg tror vi p? det meste var 2 m?neder foran pensum. 3) Jeg husker i sjete klasen da vi kom over noe geometri. Det skj?nte jeg ingenting av og hopet over opgavene. En stund senere hade vi de opgavene i lekse, noe som f?rte til skjen av l?reren foran ale mine medelever. Jeg var ike lenger flink i mate noe som jeg skamet meg over. Faget var ike lenger 94 og resultatet var m?lbart i forhold til resten av klasen. Beta sa ingenting om oppgavene var enkle eler vanskelige. Det kan v?re rimelig ? anta at de ikke hadde for store problemer med ? l?se dem siden de fikk gjort s? mye. Den tredje fortelingen handlet ogs? om ? l?se oppgaver, men denne gangen var det begrenset til et bestemt omr?de i matematikken, nemlig geometri. Handlingen denne gangen var den flinke elevens valg og de f?lgene dete fikk gjennom l?rerens rolle i denne fortelingen. Eleven opplevde at geometrien ikke lot seg l?se eter de metoder han hadde brukt tidligere og valgte ? la v?re ? l?se oppgavene. I sin f?rste forteling sa han at han valgte ? ikke f?lge med i l?rerens gjennomgang av matematikken, s? man kan anta at dete fortsat var situasjonen siden han ikke klarte leksa i geometri. N?r han da ble iretesat, f?rte det til at han opplevde det som at l?reren tok fra ham det han var stolt av, det ? ?beherske faget?, og dermed forsvant elevens motivasjon for handling i forhold til hans definisjon av egen rolle i matematikktimene. I den f?rste og tredje fortelingen analyserte Beta hendelsene og beskrev konsekvensen, alts? det var to forklarende fortelinger. Forteling to var beskrivende og forteler om hans posisjon i klasen. I intervjuet kommer Beta tilbake til fortelingen om geometrileksa. Denne gangen ble den gjenfortalt med flere detaljer og han forklarte sin opplevelse som et personlig nederlag som fikk f?lger for resten av skoletiden, for eksempel at han ikke fikk utviklet noen studieteknikk for ? l?se vanskelige oppgaver fordi han ikke var vant til ? skulle bruke energi p? ? l?se oppgaver. Oppfatningen hans var at oppgavel?sning skulle bare g? av seg selv slik han vant til fra de f?rste skole?rene. Dete var sannsynligvis ?rsaken til lystbetont og insatsen var laber. T-I ? : 1) For jeg elsket matematik helt til ? eh ? den ? jeg tror jeg l? 20 sider f?r pensum i femte klasen eler det var sjete klasen, jeg husker ike. Men s? kom jeg over geometri, og s? hopet jeg over det for jeg forsto ike det. Jeg hade aldri m?t motgang i matematik. Jeg synes n?r l?rerne forklarte noe, s? var det s? kjedelig at jeg sat heler ? regna for det sa seg helt selv. Men da jeg kom til geometrien, s? skj?nte jeg ike b?ret, s? jeg hopa bare over det, og et par m?neder senere s? kom resten av klasen til geometrien, og da hade ike jeg gjort det. Og da fik jeg en veldig streng iretesetelse av l?reren, og da var liksom in role som flink i matematik ? Jeg husker jeg ble spurt ? alts? i klasen ? alts? folk sa at eh ? sp?r han Beta, han er god, han kan gangetabelen. S? jeg var den beste i klasen til det. * Ja * S? n?r jeg mista den statusen, alts? n?r jeg ? Ike for andre egentlig, men det var for meg mest, s? fik jeg en, fik jeg en s?n dere ? s?n skamf?lelse for hele faget. S? mista jeg hele gleden. Det bare smalt s?n der og jeg hade ike inarbeidet noen metoder for ? lese meg in i faget over hodet. Eler ?, eler ?, eler ? overvine den motstanden. I det hele tat n?r jeg m?te motstand s? kr?sja det helt. Og det ? og det ? det forplanta seg egentlig i hele matefaget. S? hver gang jeg m?te noe som ble vanskelig, s? hade jeg lite ? lite ? jeg tror jeg hade ganske godt matehode, som jeg en? har. 95 at han i sp?rreskjema 1 svarte han at hans tidligere matematikkprestasjoner var d?rlige. Gamas forteling var kort og i fortelingen analyserte han sin opplevelse av matematikkundervisningen p? ungdomskolen. Fortelingen var begrenset i tid, men han la til ?og er? i parentes, og dermed kan man anta at han mente det fortsat var slik i skolen da han begynte p? matematikk 1-kurset. Handlingen var hvordan han opplevde presentasjonen av faget og implisit kan det v?re rimelig ? anta at dete ble representert ved at l?rerens undervisning og l?rebokas rolle ikke var retet mot bruk av matematikk i hverdagen. Jeg oppfatet det da slik at studenten mente matematikken har en praktisk nytte i hverdagen, men at det ikke ble synliggjort slik at han som elev fikk anledning til ? l?re om dete. Ved at han la til ?og er? i parentes, kan man anta at han har f?t bekreftet at matematikkunnskap kan brukes senere i livet ogs?. Gamas forteling var beskrivende og han snakket mer om hvor viktig det var ? synliggj?re den praktiske bruken av matematikken i undervisningen i intervjuet. Deltas fortelinger var delt i to tidsepoker, tiden p? barneskolen og f?rste ?r p? videreg?ende. De f?rste tre fortelingene fant jeg i teksten om matematikkopplevelser f?r l?rerutdanningen, de fire siste var fra intervjuet. I den f?rste historien var handlingen knyttet til l?rerens rolle. Akt?rene var studenten og l?rerne og handlingen dreier seg om ? l?re matematikk og at dete var f?rst ?sk?y?, s? kom en ny l?rer og s? ble det ikke lenger s? morsomt. Den andre fortelingen sa ingenting om hvilken av de to l?rerne i forrige forteling som opptrer i den andre fortelingen S? da klarte jeg ike ? jobe meg til noen ting. T-MT ? : Mens jeg enda gik p? ungdomskolen var det bare en ting jeg ike likte med faget. Dete var (og er) hvor lite praksisretet faget var oplagt, og med dete mener jeg at det var f? eler ingen gode eksempler p? hvordan man skule benyte mate- matiken i hverdagen. T-MT ? : 1) Matematik var et morsomt fag helt til omtrent p? sluten av barneskolen. De f?rste ?rene husker jeg at det var sk?y ? l?re om plus og minus, gangetabel osv. Eter hvert p? barneskolen fik vi en ny l?rer i matematik og da var det ike s? morsomt lenger. 2) Det jeg husker best fra de f?rste ?rene er at vi ike fik lov til ? regne videre i matematikboka - vi kune bare regne dit hvor l?reren ga os lekse. En gang husker jeg at jeg m?te viske ut noen 96 samen med eleven, men handlingen her var om at eleven opplevde ? bli strafet for ? ha gjort for mange oppgaver i lekse. Utropstegnet i siste setning kan tolkes som at studenten fant dete urimelig eler utrolig i etertid. De to f?rste fortelingene fortalte om en elev som klarte matematikken bra en stund, men at dete endret seg til en mer negativ opplevelse. Siste forteling handlet om det neste utdanningstrinn, videreg?ende, og startet med ? konstatere at han fortsat oppfatet matematikken som vanskelig. M?let for Delta var ? gjennomf?re matematikkurset, men handlingen ble p?virket av at faget eter hvert blir s? vanskelig at karakterene, som studenten sannsynligvis her brukte som beskrivelse av et m?l for kunnskap, gjorde det tydelig for eleven at dete behersket han ikke. Denne negative holdningen bekreftet han nok en gang i sp?rreskjema 1. Den f?rste av dise var forklarende fordi Delta sa den nye l?reren var ?rsak til at matematikk ikke lenger var morsomt, selv om han ikke fortalte hvorfor. De to andre fortelingene er beskrivende. B?de karakteren i videreg?ende og episoder fra grunnskolen kom Delta tilbake til i flere fortelinger i intervjuet som ble gjennomf?rt ved sluten av studie?ret. Akt?rene i den f?rste fortelingen fra intervjuet var om l?rerne p? videreg?ende som skulle sete karakterer p? elevenes prestasjoner ved slutten av skole?ret. M?let var karakteren og handlingen var om hvordan denne ble p?virket av l?rernes vurdering ved karaktersetingen slik Delta tolket det. I den andre fortelingen kom Delta tilbake til hendelsen om ? viske ut oppgaver som ikke var lekse og fortelingen hadde same akt?r og handling som f?rste gang den ble fortalt. Den tredje fortelingen fra intervjuet ga en n?rmere beskrivelse av sider fordi jeg hade regnet for langt! 3) S? begynte jeg p? videreg?ende, almenfag, og m?te ha et ?r med matematik der ogs?. Faget var fremdeles vanskelig og jeg f?lte gjenom det. Det virket som om hver gang jeg trode jeg hade forst?t det ble bare karakterene d?rligere og d?rligere. Det var spesielt algebra og statistik jeg ike fik til da. T-I ? : 1) Og p? videreg?ende s? husker jeg at jeg fik 2 eler jeg fik 3 i standpunkt, men det l? ? vipa melom to karakterer p? to fag, s? de dro meg op i mate og s? ned i et anet fag. Det var jeg ike like forn?yd med. Jeg vile heler ha en fem-er i et anet fag en ? 2) Men jeg husker n? bare fra f?rste og andre klasen n?r vi fik de her regneb?kene, ike sant? Vi fik jo ? vi fik jo ike lov til ? regne videre en det som var, ? s? det er klart ? s? jeg husker jeg sat og visket ut et par sider. 3) (Jeg tror vi hade ho klase forstanderen i de fire f?rste 97 l?rer nummer to fra forteling T-MT ? 1), og fortelingen begynte egentlig med introduksjonen av den nye l?reren. Handlingen var om l?rerens undervisningsmetode som eleven beskrev som kjedelig. Siden han konkluderte med at det var viktig for ham ? f? ret svar, kan man anta at han ikke fikk ret svar og dermed ikke opplevde ? n? m?let sit. I den siste fortelingen som Delta presenterte om sine tidlige erfaringer, var det han selv som var akt?r. Handlingen var hans motivasjon for deltakelse og hvordan dete ble styrt av at han var sjenert og stilferdig og derfor ikke klarte ? be om hjelp. Fortelingene fra intervjuet var tydelig preget av en muntlig kommunikasjon der respondenten ikke avsluttet setningene eler stoppet opp for s? ? starte p? nytt igjen, men innholdet ga likevel mening som en forteling. Den f?rste fortelingen fra intervjuet var beskrivende og de tre neste var forklarende. Ale Epsilons fortelinger var fra teksten han skrev om matematikkerfaringer fra f?r l?rerutdanningen. F?rste forteling startet i andre klasetrinn og ble avsluttet n?r elevens skolegang var over. Den forteler om hvordan Epsilon slet med matematikken alerede fra andre klase og at interesen for ? pr?ve bare ble mindre og mindre eter hvert. Den andre fortelingen var en slags konklusjon p? den f?rste, men ikke en forklaring, s? begge de to f?rste fortelingene er beskrivende. Den tredje fortelingen best?r egentlig av tre selvstendige fortelinger (a, b og c), men det er f?rst n?r de setes samen at man f?r en oversikt over hva Epsilon opplevde og han skrev dem ogs? samenhengende i sin tekst. Den ene fortelingen (a) var om elevene (akt?rer) som ble plukket ut p? grunn av et definert behov (handling) ?rene), og s? fik vi en ny matel?rer husker jeg. Han skj?nte jeg ingenting ut av. For han ble ? han ? han l?rte bort p? en helt anen m?te. Han brukte andre metoder s?n at det var, ? det ble kjedelig. S? jeg husker at n?r han hade mate, s? var det veldig s?n ? men s? var jeg ogs? veldig optat med ? f? ret. 4) Jeg var ganske sjenert og stilferdig da jeg gik p? ungdomskolen s? hvis jeg ike skj?nte noe, s? var det ike bare ? reke op handa og sp?r. S? det var jo bare nesten ? lege seg til ? sove for ? man orka ike. T-MT ? : 1) Jeg kan huske helt tilbake til 2. klase i barneskolen, at jeg sat og slet med de ulike opgavene. Her fors?kte jeg riktignok ? f? det til, noe som dabet bort lit eter lit eter hvert som jeg bevegde meg opover i klasetrinene. 2) En eler anen gang (sansynligvis tidlig) har jeg konkludert med at matematik ike er noe for meg. 3) (a) Jeg var tat ut av klasen i matetimene gjenom hele ungdomskolen, uten at det hade noe s?rlig betydning for verken min forst?else, eler interese for faget. (b) Vi var ca. 5-7 stk. som ble tat ut i dise timene. Uten ? v?re 10% siker, tiper jeg at vi gjenomgik det same stofet, p? same m?te, i 98 for ? f? en annen undervisning (handling) enn den klasen skulle hat. Den andre (b) var det l?rerens (akt?r) undervisningsmetode (tema) som ble beskrevet som tradisjonel og lite tilretelagt (handling) og den tredje (c) viste hvordan dise timene foregikk fra feles gjennomgang i klasen til arbeid samen med ekstral?rer. Akt?rene var her klasen og den mindre gruppa, handlingen var undervisningsmetoden som ble gjennomf?rt (handling) ved tavlepresentasjon av noen oppgaver og s? skulle ale l?re metoden (terpe p? det same), enten i full klase eler med ekstral?rer. Totalt set er dise tre fortelingene en beskrivelse av Epsilons opplevelse av matematikkundervisningen p? ungdomskolen, og det er en beskrivende forteling. I forteling 4 som var fra videreg?ende skole var tema l?rerens undervisningsmetode og akt?rene var l?rer og elever. Konklusjonen p? fortelingen var at undervisningsmetoden f?rte ikke til l?ring. Jeg vurderte ogs? denne fortelingen som beskrivende fordi Epsilon bare konkluderer og ikke forklarer. Det kan likevel sies at i teksten f?r siste setning ligger en slags forklaring. I den siste historien, ogs? fra videreg?ende skole, undret studenten seg over hvorfor han ikke presterte noe siden ?ret var valgfrit og studenten mente dete burde styrt handlingen mot ? l?re noe. Fortelingen avsluttes med at studenten konstaterte at slik ble det ikke, uten ? gi noen n?rmere forklaring p? det. Jeg vurderte det likevel som en forklarende forteling siden han ikke n?dde et m?l som han mente skulle v?rt relevant. Sigmas tre f?rste fortelinger var i tid begrenset til grunnskolen og akt?ren i ale fortelingene var Sigma selv same tempo som resten av klasen. Jeg kan ike huske at l?reren hade noen alternativ m?te ? formidle stofet til os p?. Det ble terpet p? det same, helt til ale ?forsto? det, eler til det var p? tide ? g? over til et nyt emne. (c) F?rst gjenomgik l?reren noen opgaver h?yt for hele klasen, f?r vi andre gik ut og jobet med dem samen med en ekstral?rer. S? langt jeg kan huske, er det bestandig s?n mateundervisningen har v?rt. 4)P? V.G.S. f?rste ?ret, hade vi en l?rer som pleide ? kome in i begynelsen av timen, ? skrive p? tavlen hvilke sider vi skule jobe med i boka. N?r det var gjort, sa hun at vi kune kome p? l?rerv?relset ? sp?re hene, hvis det var noe vi lurte p?. ? Jeg l?rte ike noe det ?ret. 5) Neste gang jeg hade matematik var to ?r eter, p? p?bygings?ret. Herfra husker jeg ike noe av undervisningen, ike hvilken l?rer vi hade en gang. ? ?ret var valgfrit, s? jeg skj?ner i etertid ike hvorfor jeg ike konsentrerte meg mer om ? prestere noe. T-MT ? : 1) Alerede som liten ?, ble jeg klar over at jeg likte mate mye bedre en de fleste andre fag p? skolen. Jeg 99 som elev. Den f?rste fortelingen var en mer generel beskrivelse av hans forhold til matematikk og tema var matematikkl?ring og handlingen viste veien mot m?let beskrevet i form av en karakterplasering. I den andre fortelingen tok Sigma for seg en matematikkpr?ve temaet var br?k, og han hadde fortalt tidligere i teksten, f?r denne fortelingen kom, at han var en av de f? som forsto br?k. Derfor var m?let ? bli best, men han gjorde en slurvefeil og opplevde en stor skuffelse. Den tredje fortelingen var ogs? om en enkelt episode, men her var handlingen innl?ring av nytt stoff. Jeg tolket teksten slik at de flinkeste elevene ble plukket ut i en gruppe som fikk ekstra oppf?lging. Sigma beskrev handlingen som en positiv opplevelse fordi han var muligens den eneste som forsto og dermed oppn?dde m?let for undervisningen. Sigmas fjerde og femte forteling var fra videreg?ende skole. Den f?rste handlet om ale fag og at han ?kte egeninnsatsen, underforst?t ogs? matematikk. Som Epsilon trengte ogs? Sigma mer matematikk (for ? f? studiekompetanse) og i den siste fortelingen fortalte han om hvordan han ble brukt som hjelpel?rer i matematikk og at det var lite han ikke forsto. De to f?rste fortelingene til Sigma var forklarende. Den ene forklarte at til tross for at han ikke hadde problemer med faget, s? ble karakteren bare middels p? grunn av at innsatsen hans ikke var den beste. Den andre forklarte ?rsaken til en skuffelse over ikke ? bli best selv om han forsto matematikken. De tre siste fortelingene var beskrivende. Jeg har beskrevet flere av fortelingene over som forklarende fortelinger. Det kan da v?re rimelig ? anta at hade grei forst?else for talene, symbolene og deres betydning i de forskjelige samenhengene. N?r sant skal sies, var jeg ike av de elevene som jobet hardest med leksene og skolearbeidet. Jeg kan vel egentlig p?st? at jeg mer eler mindre sklei gjenom matematikunder- visningen i grunskolen, og havnet midt p? tret p? karakterskalaen. 2) En gang i fjerde eler femte klase hade vi matepr?ve i br?kregning. Som en av de f?rste i klasen til ? forst? regnemetoden, regnet jeg med ? sk?re h?yt. Men slik ble det ike! Klasens ?enere? og ?overhoder? slo meg i poengsumen fordi jeg hade overset et eneste regnestyke. Skufelsen var enorm fordi jeg var s? siker p? ? f? ale svar rete. 3)Jeg husker spesielt en gang, da jeg var blant de som fik v?re med p? gruperomet, i den lile grupa, for ? f? gjenomgang av det nye stofet. Jeg tror jeg var den eneste som skj?nte hva l?reren pr?vde ? l?re os (tror det var faktorisering). 4) P? videreg?ende arbeidet jeg lit mer med fagene en hva jeg tidligere hade gjort, men jeg slet meg p? ingen m?te ut. 5) (? bestemte jeg meg for ? fulf?re den almenfaglige videreg?ende). Som midels elev fra tidligere ?r, hade jeg ingen store forventninger, men jeg skule fors?ke s? godt jeg kune. Min f?rste optur kom sv?rt tidlig i skole?ret. Ike helt uventet i matematiken. Det var lite jeg ike forsto, og eter et par m?neder p? skolen begynte resten av klasen ? bruke meg som hjelpel?rer. 100 troverdigheten i fortelerens forklaring kan styrkes ved at man kan vurdere hva som var en rimelig, fornuftig eler rasjonel handling for forteleren (Sch?tz, 2005). Ale slike handlinger er i et for-di perspektiv, derfor kan man anta at i noen tilfeler bruker forteleren senere erfaringer for ? forklare en tidligere hendelse selv om den ikke hadde relevans i hendelses?yeblikket. Med mindre forteleren selv viser til at han i etertid har tolket hendelsen, s? er det vanskelig for en leser ? vite med sikkerhet n?r handlingen ble rasjonel for forteleren. Alfa fortalte om to l?rere og hvordan de underviste. Sm?skolel?reren svarte ordentlig p? sp?rsm?l fra elevene, og det ble av Alfa oppfatet som en rasjonel undervisningsmetode. Dete var en motsetning til undervisningsmetoden til l?reren p? videreg?ende som forklarte om igjen og om igjen p? same m?te, noe som han fant irasjonel fordi det f?rte ikke til m?let, nemlig at elevene forsto. Beta hadde ogs? to forklarende fortelinger. Den f?rste fortalte om ham selv og hans avgj?relse i forhold til undervisningen. Siden han forsto matematikk slik den var presentert i boka, s? fant han det rasjonelt ? l?se oppgaver i stedet for ? f?lge med i timen. Ut fra dete er det mulig ? anta at han mente det viktigste med matematikken var ? l?se oppgaver. Den andre forklarende fortelingen er en konsekvens av handlingsvalget i den f?rste. For-di Beta valgte ? regne oppgaver og ikke f?lge med i undervisningen, fikk han ikke med seg forklaringen p? geometrien. Derfor hoppet han over geometrioppgavene og regnet videre, langt videre. N?r han da fikk skjenn i timen for ikke ? ha gjort geometrien, selv om han var langt foran med andre oppgaver, s? opplevde han dete som en irasjonel handling fra l?reren. Denne opplevelsen f?rte til at han f?lte han mista status som flink matematikkelev. Dete var ogs? hans forklaring da historien ble gjenfortalt med flere detaljer i intervjuet. Jeg var ikke tilstede i det klaserommet, men jeg har reflektert lit over l?rerens rolle. Ut fra fortelingen kan jeg se en mulig forklaring p? l?rerens opplevelse. L?rerens rasjonele forklaring p? denne episoden kunne ha v?rt at han hadde forventet at en elev som Beta som var s? langt foran og s? flink i matematikk, burde ha gjort ale oppgavene. En annen forklaring kan ha v?rt at l?reren vile gj?re Beta oppmerksom p? at det ikke var lurt ? hoppe over det man ikke forsto, s? han fikk pr?ve p? nytt. Som sagt 101 s? er dete bare antakelser, men jeg tar dem ed her fordi de viser at elevene er veldig s?rbare i forhold til korrigeringer, og at de f?lger dem lenge i den videre skolegangen. Det er ikke altid like let for en l?rer ? vurdere hvilken efekt en tilbakemelding kan ha. For Beta blir dete en for-di hendelse som han oppgir som ?rsak til at han ikke anstrengte seg i matematikk verken i ungdomskolen eler p? videreg?ende. Deltas historie handlet ogs? om en l?rer som han i et for-di perspektiv mente var ?rsak til at han sluttet ? like matematikk fordi faget ikke lenger var ?sk?y? slik det hadde v?rt med forrige l?rer. Han forklarte i intervjuet at den nye l?reren brukte ?nye metoder?, s? det kan tolkes som at han ans? det som en fornuftig forklaring p? sin manglende interese for matematikk. Delta fikk en d?rlig start og mente han kunne trengt hjelp p? ungdomskolen. Det forklarer han med at fordi han var sjenert, s? var det ikke bare ? rekke opp handa, derfor la han seg til ? sove. Det same rasjonele handlingsm?nstre kan man se hos Epsilon som i sine beskrivende fortelinger viser til d?rlige matematikkunnskaper og som i den forklarende fortelingen reflekterer over hvorfor han ikke gjorde en innsats n?r han selv hadde valgt ? ta p?byggings?ret. Retrospektivt s? forst?r han ikke sin egen handling, den er ikke lenger en fornuftig handling. Som beskrevet over viste Beta til en enkelt episode som ?rsak til at han mistet interesen for matematikken. Sigmas forklarende fortelinger var ogs? om en som fant matematikken enkel, men til tross for en enkelt skufelse da han fikk feil p? br?ktesten, mistet han ikke motet. S? til tross for en skuffelse var det ikke for ham en rasjonel handling ? gi opp slik det var for Beta. Han klarte seg derfor bedre. 5.3 Fortelende analyse: Caseniv? 1 Caseniv? 1 best?r av beskrivelser av den enkelte respondent der hver respondent utgj?r et case. Jeg har brukt fortelende analyse, det vil si at i motsetning til fortelingsanalysen, der formen p? teksten bestemer utvalget av informasjon, s? er det her tekstens innhold som bestemer mit utvalg av informasjon. Utvalget ble gjort ut fra forskningssp?rsm?let, de ulike kategoriene om oppfatninger definert i kapitel 2.3 og annen informasjon som jeg fant relevant. Jeg har valgt ? presentere hvert case som en 102 biografisk forteling der jeg beskriver den enkelte respondent slik jeg oppfater hans tekster i forskningsmaterialet. Ale beskrivelsene begynner med den enkelte respondents holdning og forventet karakter, og avslutter ale med den oppn?dde karakteren. En karakter er en summativ vurdering, men siden jeg ikke har vurdert studentenes eksamensoppgaver, kan jeg ikke si noe om karakterens relevans som s?dan. Derimot vil jeg fors?ke ? vurdere dens relevans ut fra en formativ vurdering av datamaterialet for p? den m?ten s?ke en annen forst?else av de ulike eksamenskarakterene. 5.3.1 Alfa: Jeg er fremdeles glad i matematikk Alfa hadde en positiv holdning til matematikk og forventet seg h?y karakterer i matematikk 1-kurset. Han hadde altid opplevd at han mestret matematikken og dete forventet han ogs? skulle skje i l?rerutdanningen. Men han hadde ogs? tanker om at l?rerutdanningen innebar utfordringer i forhold til han m?te tenke annerledes. Han beskrev ogs? at han kunne se at elevene kunne ha problemer og at han gjennom matematikkurset skulle tilegne seg kunnskaper som han kunne bruke n?r han skulle undervise matematikk. Hans oppfatning av matematikkundervisningen var at den kan v?re kjedelig fordi man regnet side opp og side ned med oppgaver, og da mente han denne typen undervisning var lite givende for elevene, kanskje s?rlig for dem som ikke forsto. En annen erfaring han ga uttrykk for var at det finnes to kategorier elever, de som kan regne, deriblant ham selv, og de som ikke kan regne. De f?rstnevnte hadde den egenskapen at de s? svaret raskt, og de andre trengte hjelp fordi de ikke kunne ale reglene. Alfas forventninger til matematikk 1-kurset var retet mot det ? l?re ? undervise matematikk. Han ?nsket ? l?re mer om faget og S1: Jeg liker matematik sv?rt godt. Klarer meg altid selv. Vurderer egne matematikprestasjoner som sv?rt gode. Forventer karakter A-B. T-MT: Mate er et positivt fag for meg for jeg har altid gjort det bra i mate. Det er et fag som jeg mestrer og har ike hat noe s?rlig problemer med T-FL: Jeg forventer at kurset skal utfordre meg, kanskje m? jeg tenke p? en helt anen m?te en det jeg har gjort s? langt. .. Hva er negativt med mate? Kjedelig undervisning. Alts? timer der man regner side ned og side op med de same opgavene. T-FL: Hjelpe meg ? se flere muligheter, og hvordan man kan hjelpe elever ? forst? mate. At vi f?r opgaver som vi m? tenke en del p?, der svar ike er helt klart. Hjelpe os ? se hva som kan v?re problem for elevene. Vi som kan regne ser p? tal og ser ei l?sning. Men dete er ike selvf?lge for elevene som ike kan ale reglene. T-FL: Jeg forventer at jeg er aktivt med i undervisningen. Gj?r de opgaver som vi f?r. Hjelpe mine medstudenter hvis jeg kan. Mota hjelp hvis jeg trenger det. 103 tenkte det var en mulighet for ? praktisere dete i studiet ved ? v?re en st?te for sine medstudenter hvis de trengte hjelp. I sp?rreskjemaet ga Alfa en stikkordsliste over sin oppfatning av hva matematikk er. Lista inneholdt b?de matematikk som for eksempel tal og probleml?sning, og opplevelser rundt det ? utf?re matematikk, slik som hodebry og a-ha-opplevelser. I forventningsloggen delte han ogs? matematikken i to omr?der, men da som matematikk i dagliglivet og skolematematikk, der det f?rste knyttes til ? gjenkjenne geometriske former i n?rmilj?et, matlaging, ?konomi og klokka, og det andre til regneoppgaver og tekststykker. Sine egne erfaringer beskrev han som positive og at han altid regnet ut stjerneb?kene og fikk ekstra oppgaver. Til og med kameratenes regneb?ker ble utsat for hans behov for oppgaver ? l?se. At han hadde en mor som oppmuntret ham, oppga han som en mulig motivasjon for sin positive holdning til matematikk. Alfas erfaring med matematikkl?rere og den rollen de hadde i klaserommet, var at grunnskolel?rerne svarte p? det han spurte om, og at det var slik de hadde det i hans klase. Senere opplevde han en l?rer som svarte p? det som det ble spurt om, men at det ikke var ale som forsto det han sa likevel. Det kunne se ut som at dete var et problem som gjaldt mange av de andre elevene i klasen, men ikke for Alfa. At en l?rer skulle v?re faglig dyktig og kunne bruke sin fagkunnskap til ? tilpase undervisningen, mente han var viktig. L?reren skulle kunne l?se en Hva matematik for deg? S1: Matematik er: tal, probleml?sing, hjelpe andre, gjentagelse og kjedsomhet, hodebry, glede iver, tenke p? problemer, se nye l?sninger, a-ha oplevelser. (Bekrefter dete senere i intervjuet). T-FL: Jeg mener mate er i det meste i dagliglivet. Det er ike kanskje at man leger merke til det. Ting som an kanskje ike tenker p? er ale geometriske figurer som man m?ter i hverdagen. Hus, biler, buser, b?ker, aviser, skilt, osv. Men mate er ogs? matlaging, ?konomi, kloka, osv. I tileg har man jo skolematematiken. Vanlige regneopgaver, tekststyker. Det er vel dete de fleste tenker p? n?r man h?rer ordet mate. Matematikoplevelser f?r l?rerutdaningen. T-I: Jeg oplevde det som positivt da. Jeg var av dem som regnet ut stjerneb?kene og ekstra. Jeg regnet ut kameratene sine og hvis jeg fik lov T-I: Mama har pusha meg veldig til ? ? for ho er glad i mate og ? og ho skj?nte tidlig at jeg og var god i mate s? ? s? ho opfordra meg til ? gj?re de leksene godt i hvert fal Matematikl?rerolen, erfart og idelt. S1: (En god matematik- l?rer) Har forst?else for at folk er p? forskjelig niv?, ta seg tid til ? hjelpe og forklare, kan se problemet fra forskjelig hold, ta stofet ned til et pasende niv?. T-I: Jeg har oplevd dem ? kune sete seg ned p? niv? med ? e ? eler elevene/studentene. Eh. Jeg husker ike sm?skolel?reren hvordan ho egentlig var 104 oppgave p? flere m?ter og forst? elevenes feil slik at han kunne hjelpe dem. Alfa hadde alts? en oppfatning om at matematikkl?reren skulle v?re faglig dyktig og kunne bruke sin fagkunnskap i ulike situasjoner. Alfa opplevde matematikk 1-kurset i l?rerutdanningen som kjedelig fordi ting m?te repeteres s? mange ganger for at ale skulle f? med seg det som ble gjennomg?t p? tavla. Dete kom han tilbake til flere ganger. Selv klarte han ? f?lge med uten problemer, selv n?r han ikke hadde forberedt seg. Han savnet det ? jobbe med matematikken for ? forst? den og f? den gode f?lelse av mestring n?r han hadde grublet p? et problem og s? f?t det til. Fra forelesningen om funksjoner fortalte han f?rst at han l?rte noe om bruk av funksjoner. Han hadde l?rt om de ulike presentasjonene som graf, tabel, funksjon og situasjon, og at det var viktig ? kjenne til ale i undervisningen for ? kunne se samenhengene melom funksjon og virkelighet. Like eterp? sa han at han ikke l?rte noe rent matematisk. Han mente at grunnskolekunnskap og lit interese og forst?else for matematikkfaget, var nok forkunnskaper for ? forst? det som ble gjennomg?t i timen. I seminargruppearbeidet valgte han ? jobbe i gruppe og mente selv han var aktiv i det arbeidet. Han trivdes med gruppearbeid fordi han f?lte at han fikk brukt seg selv og sine kunnskaper i denne samenhengen. Slik han beskrev sin rolle kunne det tyde p? at han pr?vde ? f? sine medstudenter til ? forst? matematikken som noe mer enn et set regler, og at han var bevist p? hvordan han stilte men, jeg oplevde ho p? melomtrinet eler videre i ungdomskolen. Ho oplevde jeg? eler n?r jeg stilte sp?rsm?l, s? oplevde jeg at ho svarte ordentlig. Og det virket som ho klarte det med de andre og. Men jeg hade n?r jeg tok (?), s? vet jeg at han matel?reren, han l? h?yt for de som ike skj?nte det. Og han pr?vde p? nyt igjen og p? nyt igjen p? same m?te og han kom aldri gjenom. T-I: Man m? jo for det f?rste kune matematik. Man m? jo kune det stofet som det er snak om at man m? kune l?se en opgave p? flere m?ter, at man har den breden. At ?det er ike sikert at en elev skj?ner den ene metoden. Og man m? v?re obs p? hva de egentlig gj?r feil, hvorfor de gj?r de feilene de gj?r s? at man kan g? in og hjelpe dem. Matematikstudenten og matematikl?rerstudenten T-I: Maten m? man nesten jobe lit med for ? f? den in. T-MT: N?r man finer svaret p? en slik opgave f?r man en f?lelse av mestring og at man har klart noe stort T-I: N?r vi hade i dag om prosent?kning der vi har g?t gjenom det flere ganger at n?r vi skal ?ke s? skriver vi en koma nul og det vi skal ?ke med, og s? er det noen som sp?r hvorfor har du skrevet det. Og da har han sagt det flere ganger og da blir det veldig kjedelig for de som tar det med en gang. T-I: Jeg f?ler i ale fal at man m? jobe lit med det for ? f? formler og metoder til ? site. T-F: Jeg mener at man ike trenger s? mye forkunskap for ? delta p? dene fore- lesningen. Jeg tror det holder 105 sp?rsm?l og hvordan han besvarte sine medstudenter. Han f?lte ogs? at han l?rte mye selv i denne samenhengen, b?de i forhold til at han fikk tilbakemelding fra de andre p? sit eget arbeid og at han m?te beskrive det han selv gjorde, noe han sa han hadde v?rt d?rlig til tidligere. I sine refleksjoner beskrev han dete som en l?rerik proses. Det ? beskrive matematikk og hvordan en oppgave l?ses, var ogs? en utfordring han tok opp i forhold til matematikkutviklingsdagboka. Han fant det vanskelig ? beskrive sin egen tankegang i forhold til oppgavene fordi han tidligere ?bare hadde l?st? dem og ikke reflektert noe mer over hva han hadde gjort. I intervjuet senere p? ?ret kom han igjen tilbake til dete med ? skulle forklare hva som foregikk matematisk n?r man l?ste en oppgave og hvor vanskelig han fant denne type utfordringer. Han fortalte om en oppgave som ble gjennomg?t p? en forelesning, og som han mente han s? svaret p? med en gang, men der han ikke kunne forklare ?rsaken til at svaret ble som det ble. Han beskrev svaret som at vi skulle ikke regne, men forklare hva som var forskjelen p? sidene, at den ene var st?rre enn den andre. Siden han ikke forteler noe om hva oppgaven gikk ut p?, er det vanskelig ? f?lge tankene hans her, men det var tydeligvis en utfordring for ham ? ikke bare kunne bruke en kjent algoritme. N?r han ble spurt om sin deltakelse p? forelesninger og i seminargrupper, svarte han at han ikke hadde v?rt p? s? mange forelesninger fordi han hadde sovet eler jobbet. Han mente det hadde blit slik fordi han hadde opplevd de forelesningene han hadde v?rt p? som kjedelige p? grunn av de andre studentenes mangel p? kunnskap, og at man ? ha gjenomf?rt grunskola, men det er viktig at du da forsto og hade lit interese for matematikfaget. T-F: Det jeg l?rte i dene forelesningen var at vi skal bruke de fleste delene under funksjonene. (Graf, tabel, funksjon, situasjonen). Dete gj?r at elevene m? tenke mer p? flere m?ter p? same opgave og ser dermed ?kanskje? letere samen- hengen melom de ulike delene. Rent matematisk l?rte jeg ike noe s?rlig. Man kan bruke dise (?) for ? vise at ale verdiene har samen egenskap. Eks ml. T-S: Min role i dene arbeids?kta har v?rt en deltaker i ei grupe som har jobet med opgaver. Jeg vil selv si at jeg har hat en aktiv role i dene grupa og diskutert rundt de forskjelige opgavene om hvorfor det blir slik, er du siker, den m? v?re slik p? grun av, osv. Det er en arbeidsm?te som jeg liker. Jeg komer til rete, mye komer sikert av at jeg altid har likt matematik, og f?t til det meste av opgaver som jeg har f?t i min skolegang. T-S: Jeg har l?rt at jeg l?rer mye mer n?r noen m? forklare meg hva de tenker eler n?r jeg selv m? gj?re det. Det krever mer av de som l?ser opgaven, de m? kune forsvare det de har gjort. Noe som ike altid er s? let. T-MUD: Det som har v?rt vanskeligst med dise opgavene er ? skrive hva jeg gj?r. Til tider har jeg bare l?st en opgave uten ? helt vite hva jeg har tenkt og gjort. T-I: (om matematik og forklaring). Ja, det synes jeg er kjempevanskelig fordi at vi hade en opgave i dag, 106 derfor hadde m?tet g? gjennom stoffet mange ganger. Han hadde deltat p? de fleste seminargruppene, men det var fordi de var obligatoriske. Han mente han hadde f?t med seg pensum p? den m?ten. I det hele tat ga han flere ganger uttrykk for at undervisningen var kjedelig hovedsakelig p? grunn av de andre studentenes d?rlige matematikkunnskaper og at dete var ?rsaken til at matematikkforelesningene blir lite utfordrende for ham. Han p?pekte ogs? at mange i klasen hadde en tendens til ? komme med innlegg for ? vise at de kunne stoffet eler at de hadde en eler annen lur l?sning som de skulle vise seg med. Det kunne se ut som at han s? p? dete som utidig inblanding i undervisningen, og ikke som innlegg til en diskusjon rundt et tema eler som nyttig kunnskap som han kunne bruke i sin egen undervisning. Alfa hadde ingen forventninger til forelesningen om funksjoner fordi han ikke hadde unders?kt i semesterplanen hva som skulle skje. Han sa at han fant denne forelesningen veldig lik andre forelesninger han hadde v?rt p?. Han ble ogs? spurt om hvordan han hadde opplevd de andre studentenes presentasjoner av undervisningsopplegg som skulle gjennomf?res i seminartimene. Dise mener han at han ikke hadde l?rt noe av selv, han synes tvert i mot at de hadde v?rt kjedelige. Han mente ogs? at det hadde blit for slitsomt i forhold til tiden p? dagen (eter kl. 14.00), og at det hadde blit for mange grupper p? en dag. I intervjuet trakk han likevel fram to presentasjoner som han synes hadde v?rt ok. Kanskje ikke mest for sin egen del, ?, som da fik primtal p? bege sidene. Det var det som var forklaringa. Vi skule ike regne, men vi skule forklare hva som var forskjel p? sidene. Og s? den ene sida var st?re en den andre, og det s? jeg bare, men det var vanskelig ? si hvorfor. T-I: (sp?rsm?l om han har v?rt p? forelesning). Noen ganger har jeg joba og noen ganger har jeg sovet. Men jeg har stort set v?rt p? ale seminargrupene, men det er jo obligatorisk og da. Og s? har jeg f?t med meg alt pensum p? den m?ten. T-F: Det kan jeg ike si jeg har gjort. Jeg viste ike engang hva vi skule ha i forelesningen. T-S: Vi har hat to forelesninger om temaet f?r dene seminargrupa, men jeg har kun v?rt p? ei av dise. Elers har jeg ike forberedt meg p? noe m?te. T-F: Jeg mener at min oplevelse av forelesningen ble slik p? grun av at jeg kjedet meg til tider, n?r foreleser m?te forklare en eler to studenter noe som bare de ike hade forst?t. ? dete er tidkrevende og kjedelig for os som har forst?t det som blir gjenomg?t. T-S: Noe som en del i klasen har en tendens til ? gj?re. De m? altid kome med ret svar eler et lurt sp?rsm?l, bare for ? vise at de kan det vi holder p? med. T-I: Og p? grun av det s? f?ler jeg at undervisningen generelt har v?rt lavere en hva det burde ha v?rt. S? det synes jeg har blit lit feil. T-I: Jeg har joba lite. T-S: (Om presentasjonene i seminargrupene). Jeg personlig har ike l?rt noe som helst. Bare kjedet meg. Men her liger nok mye av feilen hos andre studenter, 107 men han mente ? ha observert at andre hadde hat utbytte av dem. For sin egen del hadde han funnet det nytig ? l?re metodiske knep som det ? bruke en ?kaviarenhet? og andre ting som m?lenhet. Som beskrevet over, mente Alfa at en matematikkl?rer skulle v?re faglig dyktig. I intervjuet ble han spurt om han mente han i sin l?rerutdannelse hadde f?t noe hjelp til ? bli en faglig dyktig matematikkl?rer slik han ?nsket i forventningsloggen. P? dete svarte han at han ikke viste, og han viste heler ikke hvordan han tenkte seg sin egen rolle som matematikkl?rer. Han ble ogs? spurt om han var blit flinkere til ? forklare siden han selv i flere tekster hadde vist til dete problemet tidligere. Her svarte han at han trodde nok han tenkte lit annerledes n? mot slutten av kurset enn tidligere, og at han for eksempel gjennom arbeidet med ? sete seg inn i andre talsystemer hadde f?t st?rre kunnskap om hva elevene sliter med. Han nevnte ogs? dete med tilpaset oppl?ring og at de flinke elevene burde f? andre typer utfordringer enn bare flere oppgaver av same sort. Til slutt i intervjuet ble Alfa spurt om han hadde noen komentarer til matematikkurset, og om han kunne fortele lit om hvordan han hadde opplevd det. Han svarte at det kunne gjerne v?rt mer metodikk, men at han f?lte at f?rst n? p? slutten av ?ret, hadde man knyttet teori til stoffet. Det var derfor f?rst da han hadde opplevd ? se samenhenger melom didaktisk teori og matematikken. Som han hadde fortalt tidligere, var han overgit over sine medstudenters d?rlige matematikkunnskaper. Han kom tilbake til det her ved ? si at det burde v?rt et vist krav til hade vi tat p? os rolen og deltat, s? hade vi kanskje f?t noe ut av det. ? Et anet problem har v?rt at det har v?rt flere gruper p? same dag. Og for min del som har seminargrupe p? ? dag eter kl 14, har f?lt at dete har v?rt tungt, det har v?rt vanskelig ? motivere seg til dise og dete har nok igjen f?rt til at vi ike har deltat p? den m?ten som studentene vil. Men det er jo generelt vanskelig ? motivere seg til timer s? sent p? dagen. T-I: Det er to som jeg vet har v?rt ok, n? har jeg ike kasta bort tid p? mer ? Den ene var om trekantal, og da s? jeg at det gik op lys for mange som ike hade skj?nt det f?r. Og det andre var metodik der vi hade forskjelige m?lenhet som du kan bruke. Kaviarenhet og s?ne ting. At du kan bruke forskjelige ting. Matematikl?rerolen T-I: Intervjuer sp?r: F?ler du at utdanelsen har git deg noe mer hjelp i s? m?te, noen flere verkt?y ? bruke der. Alfa: Jeg vet ike T-I: Intervjuer sp?r: Hvordan har du tenkt deg din role som matematik- l?rer da, i matematik- undervisningen eter hvert. Hva har du ? har du lagt deg op noen formening ? har dete kurset git deg noen tips, ider, tanker ? ? Alfa: Det er jeg ike helt siker p?, jeg har ? nei det vet jeg ike. Alfa: Nei, det f?ler jeg ike. Men jeg har jo ? jeg tenker sikert anerledes en da jeg begynte. S? f?r jeg en elev som sliter, s? kan jeg jo sikert se det p? ? det er sikert letere for meg ? hjelpe n? en ? ja s?n som 108 forkunnskaper. I neste komentar kom det fram at han hadde en negativ opplevelse av kurset. P? sp?rsm?l fra intervjuer om ? forklare det n?rmere, svarte han igjen at det hadde v?rt kjedelig p? grunn av ale gjentakelsene. Men, legger han til, jeg er framdeles glad i matematikk. Den negative opplevelsen av kurset hadde ikke endret hans holdning til matematikk. Siden han ikke hadde besvart sp?rreskjema 2, ble han spurt i intervjuet om han f?lte at han har endret seg noe i forhold til sine oppfatninger om matematikk og matematikkundervisning. Her svarte han at han stort set ikke hadde det. Det eneste m?te v?re at han hadde endra lit oppfatning om innl?ring av matematikk. Han avsluttet med at han synes niv?et p? matematikkundervisningen hadde v?rt lavere enn det burde v?rt. Til tross for at Alfa mente matematikkundervisningen hadde v?rt for let, og at han hadde fint kunne f?lge med p? matematikken i forelesningene og seminargruppene, gjorde han det ikke s? bra karaktermesig. Hjemeksamen i didaktikk ga en D og praksisoppgaven en E. Selv p? den skriftlige eksamen som inneholdt mange rene matematikkoppgaver og forholdsvis lite didaktikk, klarte han ikke bedre enn en C, og totalt ble det en D, noe som var mye d?rligere enn han forventet. I et for-di perspektiv kan man se karakterene i forhold til Alfas forventninger og tekster. Han hadde en positiv holdning til matematikk og klarte seg altid selv n?r han l?ste oppgaver. Likevel f?r han C p? den rene matematikkeksamen. En C beskriver en jevnt god n?r du regner i andre talsystemer, der er det mange i klasen som sliter med bare overgangen. T-I: Ja det er n? det som er at, det med tilpaset opl?ring. At de som er sterk? at de bare f?r same opgave, v?r s? god ? l?s dete her. Det m? g? an ? fine andre opgaver som er vanskeligere og at ike l?sningen liger i opgaveteksten og at de m? tenke selv. Om matematikurset p? l?rerutdaningen: T-I: ? og vi kune gjerne hat mer metodik og vi har joba ? n? i det siste har vi hat mer opgaver, og det har v?rt veldig fint. Der har vi knytet teorien til stofet. Men det har vi f?t n? i det siste. Men metodik og det at det skal stiles krav til forkunskaper T-I: Jeg har egentlig et negativt, men det er mer p? grun av at det er stort skile i klasen T-I: Da blir jeg nysgjerig p?, hva har v?rt negativt? N?r du reserverer deg lit. * Det g?r jo p? gjentakelsene * Ja, akurat * Alts? at det blir ret og slet for kjedelig T-I: Jeg er framdeles glad i matematik, s? ? Eh ? jeg vet egentlig ike om jeg har forandret meg s? mye som ? det var ike s? stor forskjel p? maten som p? det var p? norsken p? en m?te. For jeg har joba s? mye med opgaver som jeg har gjort f?r, s? det har ike ? s? det var ike det skilet som det var p? norsken. T-I: (Alfa hade ike besvart S2). Opfatninger av matematik, der har jeg ike? Jeg er fremdeles glad i matematik, s?? (om endring av matematik- opfatning) Jeg f?ler i hvert 109 prestasjon som er tilfredsstilende p? de fleste omr?der. Ut fra teksten tolket jeg hans oppfatning av matematikk som mer instrumentel enn relasjonel, og at han derfor hadde et instrumentelt fornuftsgrunnlag for l?ring. I dete legger jeg at n?r han forsto hvordan han skulle l?se en oppgave og fikk ret svar, var han forn?yd. Det var hans erfaring at han da vile f? h?y karakter. I l?rerutdanningen ?nsker man ? teste en students forst?else av faget (rameplanens form?l) ut over det ? kunne beherske bruk av formler og algoritmer, derfor var Alfas instrumentele forst?else ikke nok til ? oppn? en A eler B som krever selvstendighet ut over det ? reprodusere kunnskap. fal at den f?rste gjelder ike meg. (om endring i mate- matikbegrepet). Nei det tror jeg heler ike. At det er i det meste. (om inl?ring av matematik) Det tror jeg at jeg har forandra lit. T-I: Og p? grun av det s? f?ler jeg at undervisningen generelt har v?rt lavere en hva det burde ha v?rt. S? det synes jeg at har blit lit feil. Karakterer fra det obli- gatoriske kurset p? l?rer- utdaningen: D p? hjeme- eksamen i didaktik, E p? praksisopgaven og C i skriftlig matematik (6t skoleksamen). Slutkarakter ble D Det kan ogs? v?re relevant ? anta at den instrumentele forst?elsen l? til grunn for at han ikke fikk bedre enn D p? didaktikken og E p? praksisoppgaven fordi en relasjonel forst?else for matematikken kan v?re en fordel i forhold til ? knytte didaktiske teorier til metodiske presentasjoner. Det vil v?re rimelig ? anta at studentene ble testet i dete i de to oppgavene. At Alfa totalt endte p? en D, fant jeg lite i samsvar med hans egne forventninger. Siden jeg hadde tolket hans forst?else av matematikk som instrumentel, og at han selv ga uttrykk for at han fikk med seg pensum ved ? m?te p? de obligatoriske seminargruppetimene og sjelden var p? forelesninger, kan det likevel vurderes som et rimelig resultat. 110 5.3.2 Beta: Jeg tror jeg har et godt mattehode, s? hvor bra jeg gj?r det er bare avhengig av meg selv Selv om student Beta vurderte sine tidligere prestasjoner i matematikk som d?rlige, forventet han karakter C-D og krysset av p? f?rste sp?rreskjema at han syntes matematikk var greit. I intervjuet p? slutten av ?ret begrunnet han dete med at han ikke hadde grua seg til matematikken, selv om han hadde h?rt at matematikkurset i l?rerutdanninga skulle v?re vanskelig. Ut fra dise uttalelsene tolket jeg det slik at han hadde en holdning til matematikk som ikke var udelt positiv fordi han reserverte seg lit i forhold til det han kalte ?h?yere? regning, men at totalt set var han mer positiv enn negativ. Han sa at det var en stund siden han hadde brukt matematikk, men at opplevelsene i GLSM ?ret f?r ga ham tro p? at han hadde en god forst?else av matematikken n?r han samenliknet seg med de andre, og at han hadde gode muligheter til en god karakter hvis han jobbet med faget. Den pedagogiske delen, som han sa, trodde han skulle g? greit. Om han her mente sin egen undervisning eler den teoretiske delen av matematikkurset, matematikk- didaktikken, var ikke mulig ? vite, men jeg tolket det som det siste. Han fikk B p? hjemeksamen i matematikk- didaktikk, og man m? vel si at han oppn?dde m?let sit p? det punktet. Om sin oppfatning om matematikk svarte Beta i sp?rreskjemaet at matematikken var utfordrende og n?dvendig. Dete utdypet han i sine matematikktanker ved ? si at det var et fag som krevde kunnskap om det ? finne ret svar, kunnskap om bruk av formler og om bruk av kalkulator. Han mente ogs? at det var viktig ? finne ret svar, og at dete med ret eler galt svar preget faget. Han S1: Synes matematik er greit. Forventer karakter C-D. Vurderer sine tidligere prestasjoner som d?rlige. T-I: Jeg har jo ike hat s? negative asosiasjoner mot matematiken at jeg liksom har grua meg til matematiken n?r jeg skule begyne her da. T-MT: F?rst var jeg lit skeptisk til matematiken. Jeg har h?rt at det skal v?re det vanskeligste p? l?rerutdan- ningen. Eter ? ha hat GLSM har jeg blit lit mer positiv, blant anet fordi jeg ins? at jeg har en bedre matematisk forst?else en mange andre (selv om det h?res lit f?lt ut). Samtidig har jeg hat en revansje lyst ovenfor faget. Jeg har lyst ? vise meg selv at jeg egentlig er ganske flink i faget og tror det kan bli et flot fag, hvis jeg jober nok med det. T-FL: Jeg er ganske usiker hvilket utgangspunkt jeg har for faget, siden det er s? lenge siden jeg har hat ?mate?. Jeg tror og h?per jeg skal f? en karakter som er lit over snitet. Jeg mener at jeg i utgangspunktet har et ?godt? matehode, s? hvor bra jeg gj?r det avhenger bare av meg selv. Den pedagogiske delen av faget tror jeg er skal g? ganske greit. Speningen st?r mer i hvordan jeg vil takle ?h?yere? regning. T-FL: Jeg h?per mate kurset vil inspirere meg og gi meg flere ider til hvordan man kan l?re mate p? forskjelige m?ter S1: (Hva er matematik for deg?) Utfordrende og n?dvendig. T-MT: Det jeg mente matematik var. Ale forskjelige m?ter man kan regne seg fram til et svar, ved hjelp av formler. Et fag som 111 p?pekte ogs? at det var et fag der mengden av oppgaver var stor, men han sa ikke noe om dete var positivt eler negativt. Betas tidlige erfaringer med matematikk var positive. Han forsto systemet og bestemte seg for ? regne oppgaver i stedet for ? f?lge l?reren og de andre i klasen. I en lang periode fungerte dete bra, og han fikk status som flink i matematikk. Beta oppdaget ogs? matematikken utenom skolen da han fant forskjeler i poenggiving i italiensk og norsk fotbal. Han beskrev sin egen opplevelse av dete som en handling motivert av interesen for sporten kombinert med en forst?else av matematikken som ga noe mer enn rene algoritmer, og som ikke var knyttet til en test. I sjete klase opplevde han at han ikke umiddelbart forsto geometrien, s? han hoppet over den, fortsat langt foran de andre i antal gjennomf?rte regneoppgaver. Da resten av klasen hadde hat geometrioppgaver som lekse, hadde ikke Beta gjort dem, noe som f?rte til iretesetelse fra l?reren foran hele klasen. Beta sier at han mista statusen, han ble skamfull og han mista gleden over det ? beherske matematikken. Dete var f?lelser som var mest retet mot ham selv, ikke i forhold til resten av klasen. Matematikken var ikke lenger et lystbetont fag, og innsatsen var heler ikke lenger s? stor som tidligere. Beta hadde hat en positiv holdning til matematikk helt til geometriepisoden, men da han ble utsat for kritikk utl?ste det negative f?lelser. Dete endret hans holdning og motivasjon, og han fikk en mer pasiv tiln?rming til matematikken. At den aktuele episoden handlet om geometri, hadde ingen betydning, for Beta endret sit b?r prioriteres av dem som skal jobe med penger eler bli arkitekt. De opgavene som kan l?ses ved hjelp av en kalkulator. Et fag som er veldig ret/galt, svart/hvit. Et fag som gutene hade et fortrin fordi pen skrift ike var s? n?dvendig. Utrolig mye opgaver. Matematikoplevelser f?r l?rerutdaningen. T-MT: Jeg syntes faget var let forst?elig, det som var iriterende med faget var l?rerens uendelige gjentak- elser av noe s? enkelt. Jeg husker at jeg slutet ? f?lge med og sat heler bare i gang med ? jobe. T-I: Jeg kune se liksom ? jeg husker at jeg var fascinert av at i Italia fik de to poeng for en seier, men alts? i Norge fik de 3 poeng for seier. Og lit s?n der ting n?r jeg var liten jeg var s?n 9-10 ?r s? var jeg s? fascinert av tabeler og s?n?og ?og ut av det s? fik jeg en veldig s?n dere?det var veldig let ??det ble s?n trening, men det var ike noe bevist. Det var ike noe s?n, eh ? som omgivelsene dyta p? meg heler, men det var liksom en s?n, s?n slags egenstudering som du skal kale det ? T-MT/T-I: Jeg husker i sjete klasen da, vi kom over noe geometri. Det skj?nte jeg ingenting av og hopet over opgavene. En stund senere hade vi de opgavene i lekse, noe som f?rte til skjen av l?reren foran ale mine medelever. Jeg var ike lenger flink i mate noe som jeg skamet meg over. T-MT: Faget var ike lenger lystbetont og insatsen var laber T-I: S? n?r jeg mista den statusen, alts? n?r jeg ? Ike for andre egentlig, men det var for meg mest, s? fik jeg en, fik jeg en s?n dere, s?n 112 forhold til matematikk generelt. Dete bekreftet han i sin videre forteling fra videreg?ende skole, der han ikke gjorde noen st?rre innsats enn n?dvendig. Endringen skjedde f?rst da han opplevde ? f? en forst?else av matematikken i l?rerutdanningen. Da fikk han igjen noe av den mestringsf?lelsen han hadde opplevd i grunnskolen. I intervjuet ga han uttrykk for en oppfatning om at matematikk var arbeidskrevende ved at han viste til at matematikk krevde en innsats fra studenten eler eleven hvis man skulle l?re noe. I de delene av Betas tekst der han fortalte fra kurset p? l?rerutdanninga, beskrev han hendelsene, men forklarte ikke matematikken. I sine refleksjoner fra matematikkutviklingsdagboka mente han at l?rerutdanningensns m?l med denne oppgaven var ? se om studentene forsto at en oppgave kunne l?ses p? ulike m?ter. Det vil si at studentene skulle f? en vis forst?else av bruk av ulike metoder eler fant de rete formler/algoritmer. Da han skulle beskrive sine egne l?sninger av oppgavene i MUD, var det vanskelig ? se om han i det hele tat hadde forst?t oppgavene. Dete fordi han i sine korte tekster fortalte mest hvordan han h?ndterte l?sningsmetoden, ikke hvorfor han hadde valgt netopp den metoden han beskrev, eler hvordan den fungerte i forhold til oppgaven. Han hadde hat problemer med ? tolke oppgaven, men sa ikke noe om hvordan han l?ste den. Blant annet fortalte han at klokkeoppgaven ble l?st raskt fordi han s? svaret med en gang, men ikke hvorfor hans l?sning skulle v?re riktig (den var feil). At han arbeidet raskt kom han tilbake til i forhold til seminargruppearbeidet, men her hadde han ogs? erfart at skamf?lelse for hele faget, s? mista jeg hele gleden. T-MT: ? p? videreg?ende, hade jeg bare et ?r matematik. Dete ?ret gjorde jeg ike mer insats en at jeg fik en st?ende karakter. T-I: Nei. Alts?. Nei. Jeg ? eter hvert som faget ble vanskeligere og vanskeligere, uanset hvor smart du er s? m? du, s? m? du studere. Du kan ike bare f? det automatisk, og motivasjonen til ? gj?re ting ble jo betraktelig d?rligere. T-I: Ja, det jeg har skrevet er at jeg fik, jeg fik s?n en veldig positiv f?lelse for matematiken da vi starta nu i h?st fordi at jeg oplevde at ting som f?r var vanskelig det var plutselig veldig mye enklere. T-MUD: M?let deres (tror jeg) er ? vise os at elevene kan tolke opgaven forskjelig. Liten tvil om at dise opgavene er valgt med omhu. M?let deres (tror jeg) er ? vise os at elevene kan tolke opgaven forskjelig. Opgaven i seg selv var ike s? vanskelige, men heler usikerheten om jeg har tolket opgaven ret. Hva er egentlig jeg pr?ver ? fine ut? Opgave 1 B: F?ltes ganske grei, fant f?rst ut de ordin?re (har tegnet to figurer) som fulgte rutene, opgaven ble mer utfordrende da jeg br?t rutene. 1D: Var den morsomste opgaven. Jeg ble sitende en stund ? tenke fordi jeg skj?nte ike hvordan jeg skule tolke opgaven. Selve utregningen var let. Kolonihagen: Det var den minst givende opgaven. Den f?ltes noe repeterende. Samtidig tror jeg opgave 1B ga meg en forst?else i probleml?sing. Kloka: Var opgaven som jeg l?ste raskest. Tenkte +/-15 min. med en gang. T-S: Jeg jobet individuelt og 113 det ? v?re alene og bli fort ferdig kanskje ikke altid l?nnet seg fordi han i gjennomgangen av oppgavene s? at han hadde f?t feil svar p? noen av dem. Fra referatet fra forelesningen beskrev han forelesers presentasjon av funksjoner, og at det var uklart i begynnelsen. Beta forsto eter en stund hensikten med presentasjonen, men forklarte ingenting om hvorfor han forsto det, eler hva han mente han forsto. Han beskrev tavle som undervisningsmetode som en situasjon der han slet med ? l?re noe, han sa han foretrakk ? l?re i gruppe samen med 1-2 andre. Som beskrevet over, s? valgte han ? arbeide alene i seminargruppa, selv om han hadde muligheten til ? jobbe i gruppe, og erfarte at han muligens burde samarbeidet fordi han da kunne unng?t de feilene han gjorde. Det er vanskelig ? si om han opplevde kurset p? l?rerutdanninga som noe annet enn det han forventet seg. I teksten fantes det ingen steder hvor han eksplisit hadde uttrykt konkrete ?nsker om endring av undervisning eler praksis. At han beskrev seg som en person med et godt matematikhode, og s? er resten opp til meg selv, kan tyde p? at han tok ansvar for egen l?ring. I starten av studie?ret beskrev Beta en god matematikkl?rer som tydelig, t?lmodig og kreativ og la til i sin forventningslogg at han s?kte kunnskaper om undervisningsmetoder i de ulike trinn i grunnskolen. Han omtalte i denne samenheng didaktiske og metodiske kunnskaper, de matematikkfaglige kunnskapene ble ikke nevnt. Halvveis ut i studie?ret skrev han i en det gik ganske kjapt jeg var ferdig f?r opsumeringen. Men jeg tapte kanskje noe med det ? jobe alene. Jeg fik noen feil p? opgavene som jeg kanskje hade ung?t hvis jeg hade jobet samen med noen andre. T-F: Temaet ble presentert p? tavla. Foreleser ga en slags introduksjon med ? lage tabel over situasjon/tabel/graf/ formel. I starten skj?nte jeg ike helt hva hensikten med den tabelen var. Men eter hvert skj?nte jeg det. T-F: Tavle er heler ike den beste m?ten for meg ? l?re noe. Jeg l?rer ike noe s?rlig bra visuelt jeg liker best ? l?re samen med 1-2 andre eler med ? pr?ve ? lese meg til informasjonen. T-I: Jeg synes ike at man skal g? til et lavere niv? ? noen studenter synes ting er vanskelig, og jeg synes ogs? ting er vanskelig, men hvis de synes matematiken er vanskelig, s? er det jo lit deres ansvar og ? kome til det niv?et. L?rerolen S1: (En god matematikl?rer) tydelig, t?lmodig, kreativ og systematisk T-FL: Kunskapen vil gi meg selvtilit til ? kune m?te elevene p? skolen. Det andre form?let er ? gi en forst?else og bevisthet p? hvordan faget kan l?res, og forskjelene p? opl?ringen i ulike deler av grunskolen T-FL: Jeg tror matematik- kurset p? l?rerutdaninga har to form?l. Dete tror jeg ogs? gjelder de andre fagene som norsk, krl osv. Den ene delen er ? gi et faglig grunlag og forst?else av faget. Kunskapen vil gi meg selvtilit til ? kune m?te elevene p? skolen. Det andre form?let er ? gi en forst?else og bevisthet p? hvordan fagstofet kan l?res, og 114 tilbakemelding fra en forelesning at han hadde l?rt noen nye matematikkuttrykk, og at det hadde v?rt ?grei l?rdom?. Han konstaterte ogs? at matematikk var kjedelig n?r det gikk sakte og vanskelig hvis det gikk for fort. I intervjuet p? slutten av studie?ret kom Beta tilbake til matematikkl?rerollen, denne gangen i forhold til sin egen rolle som l?rer, ogs? i matematikk, eter det obligatoriske matematikkurset. Han mente han hadde f?t en rimelig god forst?else av matematikkundervisning i grunnskolen. Spesielt nevnte han et av sine egne m?l, som ikke var dokumentert tidligere, nemlig det ? l?re mer om hvorfor elevene blir lei av matematikken. Han mente at det ble for mye repetisjon og gjentakelse i matematikken og at han som l?rer vil finne kreative metoder for innl?ring i matematikk, slik at elevene kan fate interese for faget og beholde den interesen. Ut fra Pehkonens tabel p? side 31, er han p? niv? 1. Han eksemplifiserte sine tanker ved ? fortele fra en praksisperiode hvor han fikk elevene til ? beregne m?lene p? et hundehus ut fra st?rrelsen p? hunden. P? sp?rsm?l om han trodde elevene hadde oppfatet dete som matematikk, svarte han lit n?lende at det var mulig fordi de hadde brukt m?leb?nd. Han hadde gjort seg gode tanker om hvordan matematikk kunne brukes i praktiske oppgaver, men trengte kanskje lit mer erfaring for ? f? elevene ogs? til ? se dete. Det kan ogs? v?re mangel p? tid, eler at han av andre ?rsaker ikke hadde mulighet til ? g? tilbake til dete i sin praksisperiode. N?r vi snakket om l?rerutdanningens obligatoriske matematikkurs, mente han selv at det ikke hadde p?virket ham s? mye, men at han forskjelene p? opl?ringen i ulike deler av grunskola. T-F: Noen mateutryk har v?rt nye for meg. Og det har v?rt grei l?rdom. Matematik er sv?rt kjedelig n?r det g?r for sakte, og sv?rt vanskelig n?r det g?r for fort. T-I: Jeg f?ler at jeg har en ganske s?n eh ? h?velig stor forst?else av matematiken og matematikens problem i grunskolen. Det har ogs? v?rt m?let ? jeg har kanskje ike skrevet det her, men det har ogs? v?rt m?let ? ? eh ? hvorfor blir man s? skolelei, matelei, som jeg ble? T-I: Men jeg har veldig mange tanker om det ? tanker om hvordan mate- matikundervisningen blir lagt til ? T-I: (viser til teori vs praksis) ? men du blander det og s? f?r du en ide og s? byger du p? det og s? pr?ver du det i klaseromet og s? ? ser hva som skjer. Pr?ve ut nye ting, det er det som er g?y. T-I: Men de f?r s?n repetisjons, repetisjonsop- gaver som ret og slet dreper interesen for dem. Det er, og det er liksom noe jeg har lyst til ? g? in og f?lge og jeg tror det er veldig, jeg tror man kan v?re veldig kreativ i matematik, men jeg f?ler ike at man, i hvert fal ike i de praksisene jeg har v?rt, at det er s? veldig mange som er flinke til det. T-I: (fra en praksisforteling) Intervjuer sp?r: Tror du de opfata det som mate- matik? - eh. Kaanskje fordi vi brukte m?leb?nd. T-I: Det som har p?virka meg ? eh ? selve undervisningen tror jeg ike har p?virka meg s? mye direkte, men n?r du har undervisningen og s? g?r du i praksis og s? bruker du den kunskapen som ? alts? tar den lit videre og s? leker du lit i klasen og s? finer du ut 115 hadde kunnet bruke kunnskapen i praksis og at han hadde l?rt av det. Han uttrykte ogs? at han s? muligheter i undervisningen for ? v?re kreativ til fagets fordel, men nevnte ikke noen eksempler. Fortelingen om Beta ga inntrykk av en student som hadde forst?else av elevers holdninger til og oppfatninger om matematikk, noe som kanskje kunne v?re grunnen til at han fikk en B p? hjemeksamen i didaktikk og en C i praksis- oppgaven der han skulle knyte samen teori og at ? DER oplever jeg utvikling som l?rer. T-I: Da tror jeg egentlig at mulighetene er uendelig i faget. Og at det er et fag som, som ofte, som veldig f? l?rere klarer helt ? n? potensialet til. Karakterer fra det obligatoriske kurset p? l?rerutdaningen: B p? hjemeksamen i didaktik, C p? praksisopgaven og C i skriftlig matematik (6t skoleksamen). Slutkarakter ble C praksis. Med en C p? skriftlig matematikkeksamen viste han ogs? at han hadde rimelig kontroll p? matematikken. Sluttkarakter ble C, og Beta hadde dermed truffet rimelig bra med sin egen forventning til karakter i matematikk. Betas forteling ga inntrykk av en student som var usikker p? egne kunnskaper i utgangspunktet fordi han hadde hat d?rlige resultater tidligere. Han valgte ? jobbe alene i seminargruppertimen som er referert til her. Dete kan ha v?rt et fornuftig valgt netopp p? grunn av denne usikkerheten og hans erfaring med ? bli fratat sin posisjon i klasen. Beta opplevde muligens at han fikk tilbake noe av den posisjonen da han i GLSM-kurset fikk opplevelsen av ? forst? matematikken bedre enn mange i klasen, men kanskje det ikke var nok til ? ta bort al usikkerheten. Hans matematikkforst?else tolket jeg til ? v?re instrumentel fordi han ikke ga noe klart uttrykk for ? se samenhenger i matematikken (han har flere gale argumenter i MUD). Hans karakter kan derfor tolkes som rimelig. B p? hjemeksamen i didaktikk og C p? praksisoppgaven ga ogs? en rimelig samenheng. C-en p? matematikkeksamen kan nok ogs? ses p? som en f?lge av at han i utgangspunktet ikke hadde gode resultater i matematikk fra f?r og derfor fortsat hadde noen ?hull? i kunnskapen som han ikke hadde klart ? fylle i l?pet av ?ret. 116 5.3.3 Gamma: Jeg har tenkt p? matematikk som en interessant og morsom lek med tall Gama sa han altid hadde likt matematikk og uttrykte en positiv holdning til faget. Han hadde derfor sat seg som m?l ? gj?re det bra i dete kurset. I f?rste sp?rreskjema skrev han at han forventet en karakter melom B og C, i forventningsloggen sa han at han h?pet p? en B. I siste sp?rreskjema, som kom eter at han hadde hat didaktikkeksamen og levert praksisoppgave, s? justerte han sine forventninger til en C. Han gjorde ogs? en annen justering i siste sp?rreskjema, nemlig at han vurderte sine tidligere matematikkprestasjoner som sv?rt gode, mot at han f?rst hadde beskrevet dem som gode. Matematikk var for Gama en interesant lek med tal, en utfordring gjennom probleml?sing og noe han hadde hat nytte av i sin hverdag. For ham var det en positiv opplevelse n?r han fikk en utfordring og m?te tenke lit ekstra for ? l?se en matematisk n?tt. Han tenkte ogs? at kunnskap og forst?else var viktig for ? utvikle seg som menneske og i denne samenheng tolket jeg det som at han s? matematikken som en del av dete. I intervjuet fortalte han om sine erfaringer fra barneskolen der han opplevde ? ikke f? gode nok utfordringer da han gikk i femte og sjete klase. Derimot fikk han oppgaver og oppl?ring b?de av sin far og bestefar gjennom oppgaver og andre utfordringer. Han sa selv at han kjente til det grunnleggende med Pytagoras alerede i fjerdeklase. At han i tilegg opplevde at han ikke kom overens med barneskolel?reren gjorde ikke saken bedre, og han mente at det gjorde utslag i ale fag, ikke bare matematikk. Slik S1: Liker matematik sv?rt godt. Forventer karakter B-C. Vurderer sine tidligere matematikprestasjoner som gode. Matematik er for meg en interesant lek med tal. Matematikl?reren: Gode basiskunskaper. B?r kune gj?re stofet interesant. Underholdende. Konkret. T-FL: Jeg har ogs? sat meg et m?l om ? gj?re det rimelig bra rent karaktermesig, og jeg h?per slutkarakteren skal liger rundt en B. T-FL: Jeg er nemlig av den opfatning at man kun gjenom stadig utvidelse av kunskap og forst?else kan utvikle seg som meneske. En siste forh?pning om faget er h?pet om at algoritmene ike altid blir servert os p? s?lvfat, men at vi blir n?dt til ? tenke en del selv f?r vi f?r hjelp til ? kneke dem. S2: Liker matematik sv?rt godt. Forventer karakter C. Vurderer sine tidligere matematikprestasjoner som sv?rt gode. Matematik er morsom lek med tal, probleml?sing og intrikate tankereker. T-FL: Jeg har helt siden ungdomskolen tenkt p? matematik som en intresang og morsom lek med tal, og jeg f?ler at jeg altid har hat mye nyte av mine kunskaper i faget. T-I: Der er n?r de har ordentlig matematiske n?ter i de her tankegreiene s? synes jeg det er kjempeartig. T-I: ? jeg har bestandig v?rt veldig flink i matematik. Jeg har hat veldig let for ? ta det, og jeg opdaga at n?r jeg begynte ? sp?re om ting n?r jeg gik i femte-sjete klase, 117 han omtalte sin fars og bestefars rolle i forhold til matematikk og matematikkunnskaper, kunne det tyde p? at dete har hat betydning for at han fikk b?de et positivt forhold til matematikken og gode kunnskaper i faget til tross for at han ikke kom overens med l?reren. P? ungdomskolen fikk han en l?rer som han opplevde som mer kreativ, og som han komuniserte godt med. Han beskrev det slik at l?reren var glad i kreativ matematikk og ga ham utfordringer s? han m?te tenke selv. I sit svar om hva en god l?rer er, sa Gama at l?reren m? ha gode basiskunnskaper for ? kunne gj?re stoffet interesant. Forelesningen om funksjoner opplevde Gama som en kjedelig gjennomgang siden han ikke fikk noen utfordringer. Han hadde ikke forberedt seg til timen, men fikk ingen problemer av den grunn, det viste seg at han hadde nok forkunnskaper til ? f?lge med p? det faglige stoffet. Til tross for at han p? mange m?ter f?lte at det ikke ga ham noe mer enn en oppfriskning av kunnskaper, klarte han ? se at foreleser ga forslag til didaktiske grep gjennom sin egen presentasjon av stoffet. Gama viste med andre ord at han ikke bare gikk p? forelesninger for ? l?re matematikk, men ogs? for ? l?re ? undervise matematikk og at han var i stand til ? se slike opplegg uten at det sto didaktikk med store bokstaver p? tavla. Eter seminargruppa som var knyttet same forelesning som over, fortalte han at han hadde deltat p? den andre forelesningen om dete emnet, og at han synes han hadde mye nytte av ? v?re tilstede fordi han f?lte han l?rte best p? den m?ten. Det at han var trygg p? sine matematikkunnskaper, gjorde at han f?lte at han ikke s? kune ike ho (l?rer) hjelpe meg? S? jeg f?lte at jeg ble ike utfordret p? det jeg kune T-I: Og han papa kune site ? lage til mateopgaver p? et ark s? jeg kune site og regne. N?r jeg var p? bes?k p? firmaet T-I: ? jeg har en far og en bestefar som ogs? er veldig, eler bestefaren min er d?d nu men, som er veldig glad i matematik T-I: Og n?r jeg gik i fjerdeklasen s? kune jeg alerede det grunlegende med Pytagoras T-I: Vi hade en l?rerine som hovedl?rer fra f?rste klase til jeg gik i sjete klase. Ho hade vi i ale fal, som jeg absolut ike gik overens med. Intervjuer: Nei Gama: Det fungerte ike i det hele tat og det gjorde utslag i ale fag. T-I: N?r jeg kom p? ungdomskolen s? fik jeg en l?rer som er utfordret os til ? ??? han var veldig glad i det same som meg s?n lit kreativ matematik der man tenkte lit sj?l om hvordan man skule l?se opgaven, du fik ike s?n utdelt en ferdig algoritme T-F: For min del overgik forkunskapene den delen av dete emnet som forelesningen gjenomgik. T-F: Jeg hade ike lest noe pensum f?r dene forelesningen T-F: Jeg f?ler at forelesningen svarte til de forventningene jeg hade. En positiv del av forelesningen var dete med at jeg fik opleve en ny eksempelbruk jeg har lite forkunskaper om. T-F: I l?pet av timen f?ler jeg at dene ike hjalp (matematisk) til stort anen en en liten opfriskning av begreper. Didaktisk s? jeg en ny bruk av eksempler etersom 118 hadde noe s?rlig behov for ? forberede seg til timene. P? seminargruppetimen sat han i en gruppe med to andre studenter som han viste ikke hadde nok forkunnskaper til ? klare oppgavene alene. Gruppa ble utvidet med to studenter til ca halveis ut i ?kta. Gama var alts? veileder for de andre, men s? dete som en positiv erfaring siden han b?de fikk en mulighet til ? hjelpe samtidig som han selv l?rte om problemene andre kunne ha innenfor temaet man arbeidet med. Gama syntes at de andre studentenes presentasjoner av undervisningsopplegg hadde v?rt interesante og relatert til det han forventet av matematikkurset. Han framhevet en gruppe som demonstrerte matematikkverksted som en veldig nyttig erfaring for ham. Igjen viste han at han var ?pen for noe mer enn bare det ? regne oppgaver, og at han hadde evne til ? se mer enn matematikkfaget i den undervisningen som foregikk. Til tross for at Gama flere steder nevnte at han likte ? knekke matematiske n?tter, hadde han valgt en enkel l?sning i matematikkutviklingsdagboka. Han sa at han fant dise oppgavene enkle og at det var vanskelig for ham ? skrive ned noe om framgangsm?ten han brukte fordi han alerede hadde diskutert dise oppgavene med medstudenter. Derfor husket han ikke sine umiddelbare tanker i forhold til l?sningen n?r han skulle skrive det inn i boka. Hele MUD-oppgaven hans bar preg av hans egen kommentar om at han fant det interesant ? pr?ve ? tenke ut andre l?sninger p? oppgavene. Noen steder kom han med forslag til andre l?sninger enn dem han selv presenterte. I intervjuet tok jeg opp igjen hans komentar jeg tidligere kun har set eksempelbruk som en type fasitaktig forklaring T-F: For min egen del fant jeg timen lit kjedelig etersom jeg ike fik nok utfordring. T-S: F?r dene seminargrupe?kten hade jeg forberedt meg ved ? v?re tilstede p? forelesning fredag og mandag. Dete f?ler jeg for min del var god nok forberedelse etersom mine forkunskaper inenfor emnene er forholdsvis gode. S2: (hvorfor m?ter du p? ike- obligatoriske forelesninger). Fordi jeg l?rer best n?r stofet blir gjenomg?t av l?rer. T-S: Min role under dene ?kta ble som en form for st?te eler veileder for to andre studenter som ike hade ale de forkunskapene som ?kten forutsate. Dete er en role som jeg f?ler er viktig b?de for egen og for medstudenters l?ring. T-S: Dise presentasjonene har v?rt interesante etersom de i de fleste tilfeler gjenomg?r stof som har v?rt relatert til aktuelt stof for os studenter. T-S: Spesielt syntes jeg en grupe som brukte mate- matikverksted im?tekom det andre intereseomr?det, og gjenom deres opleg fik jeg se en undervisningsform jeg ike tidligere har hat erfaring med. T-MUD: Didaktisk har jeg f?t mange tanker i forbindelse med dene opgaven, og da spesielt dem som er nevnt over og i de didaktiske kolonene mine T-MUD: Opgaven i seg selv var interesant og mange av dem ga et inblik i hvordan elever kan opleve en panik ved f?rste m?te med en matematisk opgave. T-MUD: Selv syntes jeg opgavene var forholdsvis enkle, men det har likevel v?rt morsomt ? jobe med dem 119 om at han fant oppgavene forholdsvis enkle og spurte hvorfor han hadde stoppet ved et enkelt svar og ikke pr?vd seg videre med ? generalisere svaret. Han svarte da at han hadde nok egentlig valgt leteste utvei der. Gamas forventninger til det obligatoriske kurset i matematikk var veldig retet mot den didaktiske delen. Han begrunnet dete selv med at det var vanskelig for ham ? forst? dete fordi han selv ikke hadde opplevd ? ha problemer i matematikk, og fordi det var lenge siden han l?rte de fire regningsartene selv. I intervjuet p? slutten av ?ret fortalte han om episoder med medstudenter der han hadde erfart deres manglende kunnskaper p? flere m?ter. De manglet ikke bare matematikkunnskaper, alts? de rene algoritmiske utf?ringene, men de manglet ogs? et begreps- apparat som vile gjort det enklere for dem ? forklare om sin forst?else av matematikk. Gamas l?sning p? dete var at man burde bruke et mer folkelig spr?k i matematikkundervisningen samtidig som han s? faren i at hvis man fikk for mange ulike utrykk for same begrep, vile det bli vanskelig ? f? noen feles forst?else uanset om man brukte hverdagsspr?k eler fagspr?k. Han hadde ogs? gjort noen erfaringer med at de som ikke klarte matematikken mens de gikk p? skolen, likevel kunne utf?re matematiske beregninger i en praktisk yrkesamenheng. Faktisk mente han at de gjorde det nesten uten ? forst? at det var matematikk de holdt p? med. Gama hadde skrevet i notatboka flere ganger i h?stsemesteret. Han hadde gjort seg flere refleksjoner rundt matematiske problemstilinger som for eksempel at hans eget arbeid med ? jobbe i andre talsystemer ikke b?d etersom jeg fik ?brynt? meg lit p? medstudenter i forbindelse med l?sning av opgavene. T-I: (om MUD)? Nei, jeg valgte nok leteste utvei p? den der. T-FL: Gjenom det obligatoriske kurset i matematik h?per jeg ? f? en dypere forst?else for de problemer elevene st?ter p? i faget. Jeg har nemlig pr n? lit vansker med ? se enkelte av dise problemene, og det komer nok av at der er s?pas lenge siden jeg knak koden for tieroverganger, adisjon, subtraksjon osv. selv. T-I: Jeg ser veldig mange ganger n?r jeg har hjulpet, s? har jeg sat meg ned og sagt at, jamen du skal bare gj?re s?n og s?n og s?n og da siter de der og sier, hvorfor sier de ike det? Alts? dete med ? ordlege seg er veldig viktig hvis du skal f? flest mulig med. T-I: ? n?r han begynte ? forklare og brukte sine matematiske begrep s? var det mange som falt helt av laset. T-I: Hvis man bruker et mer folkelig spr?k, s? tror jeg kanskje at flere hade greid det. T-I: Men samtidig er jeg lit red for hvis man ? alts? uanset hvordan begrep man ?ver in, s? g?r det p? bekostning av andre begrep, og n?r man komer ut i ? i arbeidslivet og noen skal forklare noe for deg i ful fart, s? tror jeg at man vil opdage at mange bruker sine egne begrep. T-I: Det er enkelte som g?r gjenom hele skole?ret uten ? ? eler hele skolelivet, uten ? f? til matematiken, men s? komer de og begyner i et praktisk yrke, s? regner de matematik s? det st?r eter, men det er ingen som forteler dem at det er matematik 120 p? noe s?rlig problemer fordi han hadde s? god kontroll p? titalsystemet. Han fortalte ogs? om en observasjon av en medstudent som underviste i praksis, og reflekterte over denne studentens usikkerhet og at det muligens kunne ha p?virket elevene s? de ble usikre. I tilegg hadde han tat en Karakterer fra det obligatoriske kurset p? l?rerutdaningen: C p? hjemeksamen i didaktik, D p? praksisopgaven og B i skriftlig matematik (6t skoleksamen). Slutkarakter ble C utfordring i ? l?re seg ? bruke regnestav. Han hadde ogs? hat en undervisnings?kt i skolen med Excel regneark, en aktivitet som var ukjent for ham, og som han m?te sete seg inn i p? egenh?nd i forkant av undervisningen. Gama fikk C p? hjemeksamen i matematikk, D p? praksisoppgaven og B p? skriftlig eksamen, totalt ble det C. Til tross for gode didaktiske refleksjoner i teksten og gode matematikkunnskaper, noe som en B p? skriftlig eksamen skulle bekrefte, s? endte Beta opp med en C totalt, noe som var i underkant av hva han forventet i ale fal da han startet. Karakterene i didaktikk og p? praksisoppgaven kan tyde p? at til tross for veldig gode intensjoner i forhold til ? bruke en praktisk matematikk i undervisningen, hadde han ikke klart ? knytte samen teorien i didaktikken til den praktiske undervisningssituasjonen i matematikk. Jeg fant ikke noe i teksten som ga en rimelig forklaring p? dete annet enn at han sa det var vanskelig ? forklare hvordan han hadde kommet fram til svarene i MUD fordi han hadde l?st oppgavene samen med andre studenter f?r han selv skulle f?re dem inn i boka. Ut fra dete kan man anta at han, selv om han var flink til ? se flere l?sninger, hadde en instrumentel forst?else av matematikken. 5.3.4 Delta: S? matematikk ble et ikke-fag for meg Delta besvarte begge sp?rreskjemaene og svarene var tiln?rmet identiske p? de feles sp?rsm?lene, det var alts? liten endring i l?pet av ?ret. Han likte matematikk d?rlig og trengte som oftest hjelp for ? l?se oppgavene. Matematikken f?ltes tung og h?pl?s, kjedelig og t?rr f?r studie?ret startet. Mye av dete gjentok han i svarene p? slutten av ?ret. Han bekreftet sin negative holdning til S1: Liker matematik d?rlig. Pr?ver selv f?rst, men m? som oftest be om hjelp. Matematik er tungt, komplisert, noen ganger veldig uforst?ende. Kjedelig og t?rt. En matematikl?rer er en som f?r til ? forklare det p? en morsom m?te, kan knyte det op mot dagliglivet. Kan vise svaret p? mange m?ter om det fines. Forventer karakter D 121 matematikk da han forklarte at han oppfatet matematikk som noe tungt, komplisert og veldig ?uforst?ende?. Eneste positive kommentar var at det kunne v?re morsomt hvis man fikk det til. Studenten forventet en D som sluttkarakter p? begynnelsen av ?ret, og bekrefter sin egen vurdering i det siste sp?rreskjemaet. I begynnelsen av studie?ret sa Delta at en god matematikkl?rer var en som fikk til ? forklare ting p? en morsom m?te og samtidig knyttet matematikken til dagliglivet. Mot slutten av studie?ret la han til at matematikkl?reren ogs? m?te v?re faglig dyktig, kunne presentere faget p? flere m?ter og variere sine undervisningsmetoder. Delta sa f?rst at han ikke hadde s? mange forventninger til kurset fordi han pr?vde ? v?re ?pen til faget. Dete var en innstiling som var viktig for ham i forhold til at han hadde d?rlige erfaringer fra tidligere. Selv om han ikke hadde store forventninger, laget han to lister over punkter som han tenkte kurset skulle inneholde. Den f?rste var om forventningene til l?rerutdanningen og tok for seg b?de forventningen til forelesernes/l?rernes roller, til det teoretiske stofet og til den praktiske gjennomf?ringen av kurset. Dise forventningene inneholdt b?de matematikkfaglig stoff og didaktisk teori som han forventet ble knytet til en l?rers hverdagspraksis. Delta hadde ogs? forventninger til sin egen rolle og stilte krav til seg selv om ikke ? gi opp selv om det ble vanskelig. Delta sa b?de eksplisit og implisit i den innledende teksten at han hadde en negativ holdning til matematikk, S2: Liker matematik d?rlig. Pr?ver selv f?rst, men m? som oftest be om hjelp. Matematik er tungt pug, morsomt hvis man f?r det til. En matematikl?rer er dyktig faglig, kan vise ulike l?sninger, underviser p? flere metoder, gj?re faget mer morsomt. Forventer D. Begruner sin egen opfatning av matematik: D?rlig erfaring fra barne- og ungdomskolen. Har altid f?lt at jeg har ike har mestret faget noe som har f?rt til en negativ holdning. T-FL: N?r jeg h?rer ordet matematik f?r jeg blandede f?lelser, men mest negative T-FL: Jeg har ike s? mange forventninger fordi jeg stiler meg ganske ?pent til faget og h?per egentlig mest at det skal g? bra til eksamen T-FL: Fra kurset i matematik forventer jeg: Gode forelesere som er dyktige i matematik og kan gi vise flere l?sninger om mulig - At vi f?r opgaver relatert til forelesningene - At det blir tid for repetisjoner om n?dvendig - At l?rerne er til stedet i seminargrupene - At jeg f?r mer kjenskap til algebra, statistik, gjenom- snitsregning, geometri - At jeg f?r kunskap i ? l?re bort matematik Forventninger til meg selv: - At jeg er til stedet p? forelesninger og seminar- gruper - At jeg ike gir op hvis det blir for vanskelig - At eter kurset er jeg blit mer kompetent i faget - At jeg skal gj?re mit beste og st? p? ale eksamenene T-FL: Matematik var et morsomt fag helt til omtrent p? sluten av barneskolen. De f?rste ?rene husker jeg at det var sk?y ? l?re om plus og minus, gangetabel osv. Eter 122 men det kom fram av forventningsloggen hans at det hadde ikke altid v?rt slik. De f?rste skole?rene gikk bra, og selv om l?reren en gang krevde at han m?te viske ut et par sider i boka fordi han hadde regnet for lang, s? det ikke ut til ? ha v?rt det som utl?ste en negativ holdning, for da vile han sannsynligvis ha sagt det selv om han nevnte denne episoden igjen i intervjuet ved slutten av studie?ret. Hjeme opplevde Delta ? komme i konflikt med foreldrene n?r de skulle hjelpe til med matematikken. Han begrunnet det selv med at de gjorde matematikken p? en annen m?te enn den han hadde l?rt p? skolen, s? derfor ble det mer diskusjon om hvem som hadde ret metode, l?reren eler mor. Delta opplevde at faren ikke kunne sete seg inn i hva som var Deltas problem. Ut fra dise uttalelsene, kan man anta at det oppsto et ?kommunikasjonsproblem? n?r foreldrene skulle hjelpe med leksene. P? sp?rsm?l om n?r Delta selv tenkte at den negative holdningen oppsto, svarte han at det var p? ungdoms- skolen for da ble matematikken vanskeligere og vanskeligere. Han f?lte at han hele tiden hang eter i timene, aldri fikk den hjelpa han skulle hat og at n?r han f?lte at han fikk det til, s? viste det seg p? pr?vene at han ikke hadde forst?t det likevel. Dete oppga han som ?rsak til at matematikk ble det som han kaler et ?ikke-fag? for ham. Det var heler ingen tr?st at han ble vippet opp en karakter p? videreg?ende fordi han vippet melom to karakterer i to fag. Jeg tolket hans uttalelser som at det da ble gjort den vurderingen at det ene faget skulle vippes opp og det andre ned for ? f? et akseptabelt gjennomsnit p? hvert p? barneskolen fik vi en ny l?rer i matematik og da var det ike s? morsomt lenger. Det jeg husker best fra de f?rste ?rene er at vi ike fik lov til ? regne videre i matematikboka - vi kune bare regne dit hvor l?reren ga os lekse. En gang husker jeg at jeg m?te viske ut noen sider fordi jeg hade regnet for langt T-I: ? det var vel heler at jeg krangla med ho mama og sa at det l?reren sier er ret og det du sier er feil. At det var heler den veien. Men jeg husker n? bare fra f?rste og andre klasen n?r vi fik de her regneb?kene, ike sant. Vi fik jo? vi fik jo ike lov til ? regne videre en det som var s? det er klart ? jeg husker jeg sat og visket ut et par sider. T-I: ? vet du det som var mit problem var vel det at jeg l?rte noe helt anen mate en det som foreldrene mine hade l?rt. T-I: ? i krangel med ho mama for det at ho hade ?.(tlf) ? ho hade l?rt andre m?ter p? opstiling og s?n der ting og ho var heler ike noe flink i mate s? jeg kan huske at vi kranglet .. han papa, han var heler ike noe, han var flink i mate, men det var liksom det han joba med at han kune. Og det ble for let det jeg hade. S? at han klarte ike ? sete seg ned ? se det fra mit niv? liksom. .. de pr?vde jo hele tiden ? hjelpe meg. T-FL: P? ungdomskolen ble det vanskeligere og vanske- ligere, jeg f?lte aldri at jeg fik den hjelpa jeg skule hat og dermed ble det et fag man bare var til stedet i. T-I: (Sp?rsm?l: Hva tror du p?virket din holdning?) Jeg tror det som p?virket min holdning det var vel det at, jeg tror det m? ha v?rt p? ungdomskolen at jeg liksom 123 karakterene totalt. Delta vile heler hat en bedre karakter i det andre faget, enn den han fikk i matematikk. Forelesningen om funksjoner ble gjennomf?rt n?r kurset var omtrent halvg?t. I tilbakemeldingen fra Delta ga han n? uttrykk for at det gikk mye bedre med matematikkfaget enn han hadde tenkt i begynnelsen av studie?ret. Han hadde valgt ? v?re tilstede p? forelesningene og p? seminargruppene fordi han f?lte han fikk mer utbytte av det enn ? lese pensum alene. At han slet med ? holde styr p? ale begrepene, f?lte han var en ulempe og begrenset ham noe. Til tross for begrensninger i kunnskaper, hadde han erfart at han hadde f?t det til innimelom. Det hadde git ham en god erfaring. N?r det gikk greit, kunne han site og regne mye. Men han mistet fort motet og ble sint n?r han ikke fikk det til. Likevel ga han ikke opp, men pr?vde igjen senere og henviste til at han opplevde at det foregikk noe i forhold til oppgaven selv om han ikke aktivt tenkte p? den. Det ble derimot tungt hvis han gikk tilbake til oppgaven, og den fortsat virket like ul?selig. Delta fortalte mye om det ? gj?re matematikk, hvordan han opplevde at selv om han trodde han har forst?t, s? ble det ikke riktig. Det var vanskelig ? forst? at det ble slik for i arbeidslivet hadde han erfart at han hadde behersket den matematikken han trengte der. Han trakk fram temaer som statistikk, likninger og algebra som problemomr?der i matematikken. N?r det kom til slike problemer, meldte han seg ut f?r han begynte p? l?rerutdanninga, og det gjorde han fortsat. Hans erfaringer fra matematikktimene var at klarte ike ? henge med. At jeg klarte ike ? f?lge med p? det som l?reren gjorde. T-I: Jeg f?lte at jeg ike forsto. Og s? viste jeg ? trode jeg at jeg hade forst?t det. Og s? viste det seg p? pr?vene at jeg ike hade gjort det, og da ble det enda vere. S? det ble et ike-fag for meg. T-MT: Det virket som om hver gang jeg trode jeg hade forst?t det ble bare karakterene d?rligere og d?rligere. Det var spesielt algebra og statistik jeg ike fik til da. T-I: ?, men det l? ? vipa melom to karakterer p? to fag, s? de dro meg op i mate og s? ned i et anet fag. Det var jeg ike like forn?yd med. Jeg vile heler ha en fem-er i et anet fag. Opfatninger eter halvg?t kurs T-F: Selve opfatningen totalt for matematikfaget er at det g?r mye bedre. For meg er det viktig ? v?re tilstede i forelesningen for den forst?r jeg mer av en ? lese pensum. T-F: Jeg kan se vise samenheng, men jeg har inset jeg har noen begrensinger i forhold til mange av begrepene. Det kan se ut til at jeg blander dem samen. For eksempel funksjonen f(x)=4 og f(3) det skj?nte jeg ike helt? Jeg hade ike forberedt meg noe til timene, men har v?rt til stedet p? forelesningene og i seminargrupene. T-I: ? n?r jeg f?r det til. Da er ? da er det? da syns jeg det er veldig artig ? regne, og jeg kan godt site og regne veldig mye, men med en gang jeg ike f?r det til s? blir jeg lit sint og s? g?r jeg bort i fra det og s? m? jeg vente lit f?r jeg kan sete meg ned med det igjen. T-I: Jeg vet i hvert fal at hvis 124 de besto av ? regne i en bok. I l?rerutdanningen hadde han set at det fantes andre undervisningsmetoder for matematikk, og opplevde det som veldig positivt selv om han tenkte at det ? regne selv ogs? var god trening. Delta fortalte i sine tekster mye om sine tanker rundt det ? l?se oppgaver i matematikk. Ikke bare det at det var slitsomt ? ikke f? det til, men ogs? i forhold til dete ? se flere mulige l?sninger. I intervjuet svarte han at matematikkutviklingsdagboka var en ny erfaring, ikke bare fordi den rent praktisk var en ny metode for skriftlige l?sninger av matematikk, men ogs? det at det fantes flere l?sningsmetoder for ? finne svaret p? en oppgave. Deltas erfaring med matematikk var at man l?rte en metode, og s? skulle man helst bruke den. Gjennom kurset i l?rerutdanninga hadde han erfart at dete ikke var sant, og at dete faktisk hadde hjulpet ham til ? finne sin tiln?rming til matematikken. I seminargruppetimen valgte Delta ? arbeide i gruppe og funnet dete veldig l?rerikt. Han mente likevel at han ikke hadde f?t noe mer forst?else av temaet, som var funksjoner. Tvert i mot syntes han at det var alt for mange begreper som han ikke forsto vitsen med. Han likte seminargruppearbeidet, men mente oppgavene var for lite konkrete og at de oppgavene som ble git, ikke var med p? ? freme st?rre forst?else av temaet. I det store og det hele ?nsket Delta flere oppgaver b?de i seminargruppetimene og p? forelesningene, og at ale dise oppgavene ble gjennomg?t p? tavle. For da forsto han mer hvor han hadde gjort feil og hvorfor han hadde gjort feil. jeg leger dem bort s? tenker jeg veldig p? det, b?de bevist og ubevist. S? ? og s?nt. Men s? er det det at hvis jeg da pr?ver meg igjen og ike f?r det til s?n, s? det blir ? hvis jeg ike f?r det til s? blir det bare vere. Men s? tror jeg at hvis jeg ? at ok? jeg ser hva det kan v?re feil?eler at jeg ser at det er en anen l?sning, men hvis jeg ike ser at det er en anen l?sning s? blir jeg frustrert. ? Da blir jeg bare sint og frustrert og s? tror jeg at jeg nesten bare glemer hele opgaven. T-I: Men jeg tror ike jeg har noe?. Det er ike noe?.jeg har joba p? et (?) og jeg har brukt matematik mye der ike sant. S?, men det er jo den ?eh?statistik?alts? det med likninger og algebra og alt det der, det er ?.nei? der melder jeg meg ut? det gj?r jeg enda? T-S: Jeg har altid tenkt at mate best?r bare av opgaver, og det ? regne og regne. S? f?r man se at man kan gj?re andre ting i timene en ? regne i ei bok og det har v?rt veldig ok. T-I: Intervjuer: ? I matematikdagboka di s? skriver du mye om at du har set p? flere m?ter ? l?se opgavene p?. Delta: Mm. Ja det har jeg gjort. For det hade jeg ike l?rt f?r. ? Ike sant. For i hvert fal s?n som jeg husker s? er det s?n at du l?rte en metode. Og du skule helst bruke den. Men det er klart hvis jeg ike skj?nte den s? var det ike noen mening for seg. S? det som har v?rt bra med dete kurset det er at vi har f?t liksom set det fra flere sider og set andre m?ter ? l?se p? s?n at ?. Jeg tror jeg har funet en m?te som fungerer for meg og det var ike s?n som jeg hade l?rt til ? begyne med. 125 Delta mente han hadde f?t mange gode ideer om undervisning n?r de andre studentene hadde presentert undervisningsopplegg i seminargruppetimene. Han mente at n?r det ble fortalt om undervisningsmetoder p? en forelesning, hadde det veldig liten efekt fordi det var vanskelig ? forst? praktiske oppgaver uten ? teste dem ut selv. Han sa at det var bare et par ganger han hadde opplevd selv ? utforske konkreter eler jobbe laborativt og ?nsket mer av dete. Selv om Delta hadde opplevd at selve didaktisk metode hadde v?rt tat lite vare p? i undervisningen, hadde han en gode opplevelse i forhold til praksisperioden. Praksisl?rer hadde matematikk som et av sine undervisningsfag, s? Delta m?te undervise i matematikk i sin praksisperiode. Selv om matematikk var en utfordring som han gjerne kunne v?rt foruten, bestemte han seg for ? ta utfordringen og beskrev det selv som en positiv erfaring da han klarte ? gjennomf?re det p? en god m?te. Han sa ogs? at han l?rte mye ved selv ? regne oppgavene i forberedelsen til undervisningen og at det var ikke noe problem hvis han ikke klarte ? svare p? ale sp?rsm?lene til elevene. Da spurte han bare en medstudent, som forklarte det for ham. S? kunne han forklare det til eleven eterp?. Dete oppfatet han som en grei m?te ? l?se problemet p?. Delta har jobbet mer med matematikken enn han har gjort p? andre kurs med same antal studiepoeng. I tilegg til ? f?lge med p? forelesninger og delta i seminargruppene, hadde han i v?rsemesteret jobbet med ? l?se oppgaver han hadde funnet p? internet. Han hadde blit mer positiv til egne matematikkunnskaper og alts? f?t en mer positiv T-S: Jeg har f?t hjelp av de jeg sat samen med og for s? vidt l?rt mest av dem. Men jeg synes ike at selve emnet om funksjoner er blit mer oplysende for meg. Eter min mening er det alt for mange begreper som jeg ike skj?ner vitsen med. Totalt synes jeg iden om seminargrupen er fin, men jeg savner enda mer konkrete opgaver som kanskje gj?r det enda mer forst?elig. Vi kune i det minste f?t tips om hvor man kune fine flere opgaver. Jeg er av den opfatelsen at man m? regne mate for ? bli bedre i det. Det kune og v?rt mer opgaver i forelesningen og mindre gjenomgang. ? Det var og veldig greit at han gjenomgik opgavene p? tavla, da skj?nte jeg mer om hva jeg hade gjort feil og hvorfor. Tror de beste idene er de jeg har f?t med ? se p? n?r de andre studentene har hat de her undervisnings- oplegene. Det har faktisk v?rt?. For vi f?r jo ike noe intryk av en foreleser som bare st?r og forteler om hvordan du kan undervise. For det ? det g?r in og det g?r ut, s? det synes jeg har v?rt veldig lite av. Alts? vi blir fortalt hele tiden om hvor? ja at dere m? huske ? se eleven, fine p? andre ting, bruke hjelpemidler, og ?s?ne ting. Men s? har vi kanskje bare hat en eler to s?n seminargruper der vi har f?t bruke hjelpemidler selv L?rerolen T-I: S? det har endret seg, og det har ogs? endra seg for jeg hade praksis n? i vinter og da var jeg i en tiende klase og ho ?vingsl?reren min ho hade kun mate, og KRL og natur og milj?fag. Og det er de verste fagene mine, men jeg valgte ? v?re hos ho. For da m?te jeg regne mate for ? 126 holdning til matematikk enn han hadde f?r kurset startet. Fordi han ikke hadde best?t praksisoppgaven, fikk han ikke en samlet karakter for kurset. Han klarte en C i hjemeksamen i didaktikk og en E p? skoleksamen i matematikk. Ser man p? de to karakterene han har f?t, er det rimelig ? tolke det slik at han hadde en forholdsvis god kontroll p? egne muligheter da han forventet en D totalt. Ser man p? Deltas karakterer i et for-di perspektiv til teksten, s? hadde Delta matematikk i praksisperioden sin, noe som kan ha hat en medvirkende ?rsak til at didaktikken gikk rimelig bra til tross for d?rlige matematikkunnskaper. I andre semester arbeidet Delta mye med ? l?se oppgaver, og dete var nok medvirkende til at han sto p? eksamen. En E vil si at man tilfredsstiler minimumskravene. Det er rimelig ? anta at Delta klarte ? tilegne seg nok kunnskaper til ? l?se de enkleste oppgavene med kjente algoritmer. I forhold til forkunnskaper gjennomf?rte Delta rasjonele handlinger for ? komme til m?let sit, nemlig st? p? eksamen. En rasjonel handling ble definert som klar forst?else av m?l, midler og sekund?re f?lger. Dete mener jeg Delta viste ved ? ta initiativ til ? forbedre sine matematikkunnskaper ved ? regne oppgaver han fant p? Internet. Han hadde ogs? sat inn ekstra innsats for ? n? m?let ved at han jobbet mer enn han vanligvis gjorde i andre fag med same omfang. Uten denne ekstra innsatsen kan man anta at han ikke hadde klart matematikkeksamen. Grunnen til at han ikke hadde best?t praksisoppgaven, er ikke oppgit i de opplysningene jeg hadde tilgang til. Det kan ha v?rt enten p? grunn av sykdom, at han ikke hadde kune klare og kune undervise i det. Og det hjalp faktisk veldig. Jeg regnet jo opgaver med ?eh? ja det var jo s?n hverdagsmatematik fra hverdagslivet, men jeg l?rte jo veldig mye da. Bare ved ? regne for meg selv. T-I: Intervjuer: Men du m?te jo forklare for elevene. Hvordan synes du det gik? Delta: Noen ganger gik det veldig bra. Og s? var det noen plaser jeg skj?nte ike det sj?l, men vi var to styker studenter plus ho l?reren da, og ho ene, hvis det var noe, s? var det ? sp?re ho for ho var flink i mate liksom, s? m?te jeg sp?re ho og s? m?te ho forklare det til meg og s? kune jeg g? ? forklare det til elevene. (later) Intervjuer: F?lte du det som var en grei m?te ? l?se det p?? Delta: Ja T-I: S?,? neida. S? jeg tror faktisk at jeg har opn?d ganske mye av forventningene, b?de til meg sj?lv og ? Ja jeg ser jo at jeg har endra lit holdning og at jeg ike ? at jeg gir ike op s?n like let som jeg gjorde f?r? Eem ? s? f?r jeg n? bare se, det vil n? vise seg p? eksamen om at jeg har forst?t det eler ike. Da kan det jo hende at jeg endrer det tilbake igjen. T-I: Ja ogs? fant jeg det her netstedet som hade 60 opgaver fra ungdomskolen, s? har jeg sitet og regnet p? dem. Og s? har jeg komet meg gjenom 8. og 9. klase. T-I: Ja, jeg ser jo at jeg har endra lit holdning og at jeg ike ? at jeg gir ike op s?n like let som jeg gjorde f?r ? S2: Har joba mer med matematik en med andre fag med same antal stp. L?rer best n?r stofet blir gjenomg?t av l?rer. Er blit mer positiv til egne 127 levert eler at han ikke hadde best?t. Det er p? grunn av denne han ikke har f?t en endelig karakter for matematikk 1-kurset. matematikunskaper. Karakterer fra det obligatoriske kurset p? l?rerutdaningen: C p? hjemeksamen i didaktik, IKE BEST?T p? praksisopgaven og E i skriftlig matematik (6t skoleksamen). Slutkarakter ble IKE BEST?T 5.3.5 Epsilon: Det hadde v?rt en stor personlig seier ? f? C, s? da jobber jeg mot det Epsilon likte matematikk d?rlig og vurderte sine prestasjoner f?r l?rerutdanningen som sv?rt d?rlige. Han hadde en oppfatning av at matematikk var vanskelig og umulig, men at han var n?dt til ? kunne noe i forhold til behov i dagliglivet. Mot slutten av studie?ret endret han sin holdning til at matematikk var ?greit? (jf. S2) og vurderte tidligere prestasjoner fra sv?rt d?rlige til d?rlige. Hans oppfatning av matematikk var da endret til at det var for det meste vanskelig, men at noe til og med kunne v?re g?y ? holde p? med. Han endret sine forventninger til karakter mot slutten av kurset. F?rst hadde han svart at han kunne klare C-D, men mot slutten av kurset forventet han ikke bedre enn D-E. Den gode matematikkl?reren tenkte han seg som en som var flink til ? motivere elevene og til ? regne oppgaver og som kunne forklare flere l?sningsmetoder. Mot slutten av studie?ret la han til at l?reren ogs? m?te kunne konkretisere matematikken, v?re t?lmodig og faglig dyktig. Han tok i tilegg med tilpaset undervisning og engasjement. S1: Liker matematik d?rlig. Pr?ver selv f?rst, men m? som oftest be om hjelp. Vurderer sine tidligere prestasjoner som sv?rt d?rlige. Matematik er vanskelig/umulig. Noe jeg har bruk for p? vise omr?der i dagliglivet. Noe jeg skule ?nsket jeg kune mer av. Mentale sperer. Den gode matematikl?reren er en som motiverer deg til og fors?ke ? klare de ulike stykene. En som kan fine alternative l?sningsmetoder. En som ike gir intryk av at du er dum fordi du ike greier det. Forventer karakter C-D S2: Jeg synes matematik er greit. Pr?ver selv, men m? som oftest be om hjelp. Vurderer tidligere prestasjoner som d?rlige. Matematik er for det meste vanskelig, men noe er faktisk g?y ? holde p? med. Den gode matematikl?reren er en som kan se flere l?sninger, kan konkretisere, t?lmodig, faglig dyktig, engasjert, m?l ? f? med ale, kan tilpase. Forventer karakter D-E. T-MT: Matematik har frem til jeg bestemte meg for ? g? l?rerskolen, bestandig v?rt noe jeg har tenkt p? som ?heldigvis skal jeg ike plages med det der n?r jeg er ferdig 128 Epsilon ga uttrykk for en negativ holdning til matematikk. Han beskrev det som noe han ikke forsto, og noe han aldri skulle plages med mer n?r han var ferdig med skolen. Det hadde v?rt et ork s? lenge han kunne huske og han hadde bare gjort det han m?te for ? f? sine eksamener. I forventningsloggen tok han tak i sin egen holdning og sa at det n? var en endring fordi han denne gangen var innstilt p? ? l?re noe, og at han hadde et klart ?nske om ? mestre matematikken. Epsilon s? p? det som en personlig seier ? klare en C i matematikk p? l?rerutdanningen og vile jobbe mot det. Alerede i andre klase sakket Epsilon akterut i matematikken. Han sa selv at moren hadde en negativ holdning til faget, og at han hadde muligens arvet den holdningen. Han gikk faktisk s? lagt at han lurte p? om han var for dum for dete fordi han opplevde at ?ale? s? ut til ? like det s? godt. I hvert fal da han gikk i andre klase. Hva han mente med ? v?re for dum, sa han ikke noe mer om. At han gjennom hele ungdomskolen ble tat ut av klasen og likevel ikke opplevde at han l?rte noe mer, styrket heler ikke interesen for faget. Han mente ogs? ? huske at andregradslikninger og trigonometri var obligatorisk i grunnskolen og bruker dete argumentet for ? understreke hvor ?h?pl?s? matematikkundervisningen var. Epsilon valgte ? delta p? forkurset i matematikk og opplevde der at alt han tidligere hadde erfart bare ble forsterket da algebraen ble gjennomg?t. For ham opplevdes dete som et virvar av tal og tegn som ikke ga noen mening i det hele tat. Denne opplevelsen f?yde seg bare til tidligere erfaringer om at han tenkte feil eler for med skolen?. T-MT: Min instiling i forhold til matematik er mer eler mindre fastgrod i ?dete forst?r jeg ike? T-I: alts? jeg trode aldri at jeg skule f? bruk for mate, ?.(utydelig) ? tenkte jeg at ja, ja, ???.og for s? vidt same tanken, et n?dvendig onde for at jeg m? ha eksamen. Men ? likevel p? en anen m?te T-FL: I mine ?yne har det v?rt et ork av et fag s? lenge jeg kan huske. T-FL: Forskjelen fra da til n?, er at dene gangen er jeg selv instilt p? at jeg faktisk skal l?re noe. T-FL: Jeg har bestandig slit med dete faget, og har muligens ike den mest positive instilingen. T-MT: Det hade v?rt en stor personlig seier ? f? C, s? da jober jeg mot det. T-I: ? selvf?lgelig det er jo ogs? et ?nske om ? ?om ? ?mestre maten da T-MT: N?r det er snak om negative tanker til faget, s? g?r det lit i retning av at jeg selv lurer p? om jeg er for dum for dete. Jeg lurer ogs? p? hvorfor jeg plagdes alerede i 2. klase, n?r ?ale? s? ut til ? like det s? godt? T-I: Mens jeg alerede saket av da, og s? vet jeg jo ho mama sin holdning nu da, s? jeg tenkte at jeg da m?te arva henes holdning til det da. T-MT: Jeg var tat ut av klasen i matetimene gjenom hele ungdoms- skolen, uten at det hade noe s?rlig betydning for verken min forst?else -, eler interese for faget. T-MT: N?r det s? igjen blir snak om sinus og cosinus, algebra, 2. grads ligninger osv. s? flyter alt samen til en eneste r?re. For ? v?re helt ?rlig s? skj?ner jeg ike hvorfor slikt er obligatorisk i grunskolen. 129 vanskelig og at han helt klart ikke kunne matematikk. Heldigvis hadde han ogs? noen erfaringer av mestring. Han tenkte at hvis han kan klarte ? f? flere s?nne, kunne det hende at han endret innstiling til matematikkfaget. Epsilons f?rste kommentar i forhold til forelesningen om funksjoner, var at han burde ha forberedt seg for han hadde alt for d?rlige forkunnskaper. Han hadde faktisk ikke f?t med seg at det var nytt tema og ikke lenger geometri som skulle foreleses. At forkunnskapene var d?rlige, ble bekreftet han da han innr?met at han ikke viste hvilken retning x- og y-aksen hadde i et kartesisk aksekors, og at han slet med ? overf?re kunnskapen han tilegnet seg i en oppgave til den neste. Han var ogs? veldig forviret over at enhetene p? aksene ikke var konstante, men avhengige av den mengden som skulle presenteres. Til tross for dete fikk han til noen oppgaver og bestemte seg for ? g? hjem for ? ?ve mer p? denne typen oppgaver. Epsilon var pliktoppfyllende og m?tte p? ale forelesninger og seminargrupper, men f?lte ikke at det ga utteling i forhold til egen matematikkunnskap. Han f?lte at han forsto det, men n?r han testet seg selv fikk han det ikke til. Slik han s? det var en fasit ikke god nok hjelp for ham fordi en fasit bare viste svaret. Derfor vile det hjelpe lite med en fasit n?r man ikke forsto hvordan man skulle gjennomf?re utregningen. Han samenliknet det med andre fag der han mente man kunne lese seg til forst?else, og beskrev matematikken som noe helt annet som krevde at man hadde en forst?else av det grunnleggende f?r man kunne bygge videre. T-MT: Da vi hade det inledende matematikurset i v?r, og vi holdt p? med algebra, gik det helt i sur for meg. Jeg s? bare ?pluser, minuser og parenteser? i et virvar p? arket, som jeg ike greide ? holde oversikten p? T-MT: Det jeg siter igjen med da er: at jeg tenker feil, jeg tenker for vanskelig og mest av alt tenker jeg, b?de bevist og ubevist, at dete kan jeg ike! T-MT: Jeg kan for?vrig huske at mestringsf?lelsen var stor de gangene jeg faktisk fik til noe i faget. Klarer jeg ? f? flere s?ne, kan det hende at jeg endrer instilingen min en smule. Forelesningen og seminar- grupearbeidet T-F: M? vel si at jeg ike hade f?t gjort dete, jeg hade faktisk ike f?t med meg at vi var ferdige med forige bolk om geometri og trode dermed at vi skule fortsete p? dene. Med mine elendige forkunskaper, burde jeg sat meg in i det p? egen h?nd f?rst for ? f? maksimalt ut av forelesningen. T-F: Det l? i kortene at jeg burde hat forst?else av hva funksjonsl?ren g?r ut p?. Jeg burde sikert ogs? ha vist hvilken retning x-, og y aksen skule v?re, samt hva som skal f?res p? dise to. Dete viste jeg alts? ike. T-F: Grunene er vel som nevnt tidligere, ike var jeg forberedt. Og ike greier jeg ? ta med meg kunskapen fra en opgave og over til den neste, jeg blir ofte sat ut av x og y formuleringen. T-S: Jeg har l?rt at en ike trenger ? ha noen bestemte mengder eler tal langs x-, og y aksen. Dete forviret meg, og jeg tror ike jeg har v?rt borti lignende tidligere. Jeg har f?t en vis formening om hvordan de ulike grafene kan 130 Epsilon mente ogs? at det var andre som slet med de same problemene. De hadde bestemt seg for at de bare m? jobbe for ? klare kurset slik at de kunne studere videre for ? bli l?rere. Selv om det var frustrerende ? ikke f? det til, s? han ikke p? det som noe nederlag. Han mente det er s? vanlig ? ikke v?re flink i matematikk at det var greit ? innr?mme at man h?rte til den gruppen. Epsilon n?lte i forhold til det ? selv skulle ha ansvar for en matematikklase. Han f?lte at det var vanskelig ? vite hvordan man skulle gripe fat i de ulike kunnskapsniv?ene som fantes i en klasen og mente at man m?te jo f?lge pensum for det var man forpliktet til. I praksis hadde Epsilon opplevd ? observere en svak elev som ikke klarte den oppgaven hun var sat til. For Epsilon s? det ut som at hvis eleven hadde f?t en oppgave p? et lavere niv?, s? vile hun kanskje klart det og opplevd ? beherske noe. Slik situasjonen var, beskrev Epsilon det som at eleven i stedet m?te gjennom pensum, noe som hun ikke var klar for, og dermed heler ikke fikk til. Denne episoden tydeligjorde for Epsilon hvor vanskelig det kan v?re ? v?re l?rer. P? slutten av ?ret oppsummerte Epsilon sine erfaringer og samenliknet dem med forventningene. Han hadde f?t mange aha-opplevelser og hadde l?rt mye matematikk. Dete medf?rte at han hadde f?t et mer positivt syn p? matematikk og var blit mer positiv til egne matematikkunnskaper. Han var fortsat negativ til matematikkundervisning, s?rlig hvis han skulle undervise i ungdomskolen. tegnes, men tror ike dete holder overfor en ny lignende opgave. Derfor m? jeg hjem ? ?ve meg p? dete. Skal ike svartmale det hele fordi noen av opgavene gik faktisk h?velig greit, n?r vi f?rst var komet in p? sporet. Jeg blir bare s? frustrert n?r jeg ike finer ut hvilken verdi som fortrinsvis burde skrives p? hvordan graf. T-I: Ja det er jo f?rst ? pr?ve ? forst? det og s? tester du deg selv for ? se om du har skj?nt med andre typer opgaver. S? det er vel egentlig same type prinsipet men. Og likevel er det ike det for s?ne lesefag kan du lese mer s?n og huske det. Mens i maten s? m? du mer forst? for ? kune pute det in i en anen samenheng. Det er jo det som er forskjelen. ? for mit vedkomende T-F: Dete er utrolig frustrerende. Jeg er p? ale forelesningene, og jeg jober s? godt jeg kan, men n?r dete tilsynelatende ike f?rer noen vei s? gir det lite p?gangsmot T-I: S? p? den m?ten kanskje, men vi er stort set, ?alts?? s??ja?vi er fire av fem som mener det er et n?dvendig onde for ? kome os gjenom .. for ? kune g? videre liksom? T-I: ? At det er s? vanlig ? ike kune det (matematik) at det egentlig ike er s? veldig mye nederlag ? inr?me ? ike kune det. T-I: (Intervjuer viser til forberedelse i forhold til forelesning og seminar og sp?r om l?reboka var noen st?te) Jeg synes ike at den (boka) gir meg s? mye?. Alts?? for eksempel det er vanskelig ? fine fasiten p? opgaven, og fasiten er jo ike utregninga, det er jo bare svaret, men det er klart det hjelper jo lit i forhold til hvis du vet s?n h?velig hvordan du skal g? fram for ? fine det 131 Karaktermesig hadde han som klart m?l ? klare en C (jf. MT), og det gjorde han. P? hjemeksamen i matematikk og p? praksisoppgaven fikk han B. At han klarte en D p? skriftlig eksamen viste at han hadde klart ? tilegne seg noe mer matematikkunnskap enn det som trengtes for ? f? st?karakter. Epsilon ga i sin tekst uttrykk for at han hadde et relasjonelt (jf. Skemp) syn p? undervisning av matematikk. Dete kan man anta ble vist ved at han fikk meget god karakter p? b?de didaktikken og praksisoppgaven. Det kan ogs? v?re rimelig ? anta at dete er medvirkende ?rsak til at han ikke ?nsker ? undervise i matematikk. Dete kan beskrives som en rasjonel handling begrunnet med at han hadde som m?l ? undervise relasjonelt, men f?lte at han hadde for svake matematikkunnskaper til ? gj?re det. I teksten ga han flere ganger uttrykk for at n?r han trodde han hadde forst?t, s? viste det seg at han ikke hadde det likevel. Det oppdaget han n?r han skulle kontrolere sit arbeid mot fasit, eler n?r l?reren gjennomgikk oppgavene. Epsilon hadde i starten av studie?ret et ?nske om ? klare en C, likevel var han forsiktig og krysset av for C-D p? S1. Til tross for B p? b?de didaktikkeksamen og praksisoppgave, justerte han forventet karakter til D-E p? S2. Det kan v?re at han forsto det som at sp?rsm?let viste til karakteren p? siste eksamen siden det i snit vile v?rt vanskeligere ? komme lavere enn D med s? godt utgangspunkt som han hadde. Epsilon klarte alts? ? n? m?let sit, en C, som var i overkant av hans forventning p? h?sten og en karakter bedre enn han forventet p? v?ren. L?rerolen T-I: Men ? ha eneansvar for det faget. Det synes jeg er vanskelig ? jeg synes jo at det m? bli mer nyansert i forhold til hvem som ? T-I: Intervjuer: hva tenker du selv som l?rer da hvis du f?r elever som har det vanskelig ? har du en anen opfatning av hvordan du vil g? l?s p? det? Epsilon: Jaa. I: F? de gjenom pensun eler ? E: Ja, det er akurat det. Man er forpliktet til ? gj?re det. I: Mm E: en det er jo lit med det her, da, som ho jenta i 7.klase her som ike? ja som skj?nte utrolig lite. Jeg er siker p? at hade vi git ho 4.klase pensumet s? kanskje ho hade klart det alene. I: Ja. E: S? da blir det s? h?pl?st, alts? dete var jo p? tampen av 7. klasen ret f?r 8. og begyne p? enda mer avansert da, jeg kan ike forst? hva godt det skule gj?re hene, T-I: Ja, ? at jeg h?pet ? f? mange aha-oplevelser, og det har jeg f?t. T-I: S? du har f?t en sjanse til ? utvikle matematik- kunskapen din * Ja, ja, ja mase S2: Svar p? sp?rsm?l om endring i matematik- opfatning: Ja. Han er blit mer positiv til egne matematikunskaper, men sier at han har ike endret opfatning av matematik- undervisning. Der har han altid hat en negativ holdning. Karakterer fra det obligatoriske kurset p? l?rer- utdaningen: B p? hjeme- eksamen i didaktik, B p? praksisopgaven og D i skriftlig matematik (6t skoleksamen). Slutkarakter ble C. 132 5.3.6 Sigma: Det var jo for meg bare ? regne, ferdig med det! Sigma hadde en positiv holdning til matematikken og ?nsket ? bli matematikkl?rer. Forventningene om karakteren A-B viste at han hadde erfart at tidligere matematikkprestasjoner hadde v?rt sv?rt gode og han hadde bare positive erfaringer med matematikk. I forventningsloggen understreket han at han forventet ikke noen karakter som var lavere enn B, netopp fordi matematikk hadde v?rt et av hans sterkeste fag. Derfor forventet han bedre resultater her enn i andre fag. N?r han beskrev en god matematikkl?rer, trakk han fram egenskaper som kreativ, retferdig, kunne forklare enkelt og forst?elig og at han var engasjert i faget. I tilbakeblikk p? sine tidligere erfaringer i matematikk mente han at han altid hadde brukt matematikk, ogs? hjeme. Han hadde en mor som laget regnestykker til ham n?r han vile ha mer lekse. Han forsto tidlig at han likte matematikk bedre enn de fleste andre fag, men i en forteling fra fjerde/femte- klase beskriver han en episode hvor han blir sl?t i poengsum p? en pr?ve fordi han overs? et regnestykke. De som slo ham, omtaler han som klasens enere. Han kunne med andre ord ikke se p? seg selv som en av dem. En av ?rsakene til at han likevel samenliknet seg med dem kan v?re at han husket ? ha forst?t br?kregning veldig tidlig. Det var det denne testen handlet om. Han sa ogs? at matematikk var naturlig og logisk, og at det ?bare var ? regne, ferdig med det!? Innleveringer i matematikk skulle leveres i tide og skulle v?re pene og oversiktlige. For ? f? studiekompetanse tok Sigma videreg?ende skole i S1: Jeg liker matematik sv?rt godt. Klarer meg altid selv. Egen vurdering av tidligere matematik- prestasjoner: Sv?rt gode. Matematik er for meg: Min fremtidige job. ?nsker ? jobe med tal, ? En god matematikl?rer er en som er kreativ, livlig, retferdig, forklarer enkelt/let forst?elig, opfinsom, engasjert i faget. Forventer ? f? A-B. T- FL: Ike under B T-MT: Av oplevelser i matematik, tror jeg bare at jeg har positive tilbake- meldinger ? gi. T- FL: Inenfor skolefag er mate en av mine sterkeste sider, derfor forventer jeg mer her en i andre fag. S?n er det bare! T-I: ? vi har altid brukt mate?det var liksom det n?r jeg var liten og hade akurat begynt p? skole og hade lyst p? lekse, s? sat bestandig mama og laga s?ne ark til meg med regnestyker. T-MT: Alerede som liten (?.) ble jeg klar over at jeg likte mate mye bedre en de fleste andre fag p? skolen. T-MT: En eler anen gang i fjerde eler femte klase hade vi matepr?ve i br?kregning. Som en av de f?rste i klasen til ? forst? regnemetoden, regnet jeg med ? sk?re h?yt. Men slik ble det ike! Klasens ?enere? og ?overhoder? slo meg i poengsumen fordi jeg hade overset et eneste regnestyke. T-MT: Som sagt opfater jeg mate som naturlig og logisk T-MT: Det var jo for meg bare ? regne, ferdig med det! T-MT: Mateinleveringene var for meg sv?rt viktige ? levere i tide, og de m?te se pene og oversiktlige ut. T-MT: Min f?rste optur kom sv?rt tidlig i skole?ret. Ike helt uventet i matematiken. 133 voksen alder og opplevde da at matematikken ikke var glemt og at han forsto det meste som ble undervist. Han fortalte ogs? at han ble en resurs i klasen og l?rte mye av ? hjelpe andre. I sit tilbakeblikk p? grunnskolen husket han at matematikk stort set dreide seg om ? regne i boka. Han sa det var synd, noe som klart hang samen med hans tidligere uttalelse om at han beskrev en matematikkl?rer som en kreativ og engasjert person. Dete bekreftet han igjen da han sa at han ?nsket ? gj?re sin egen undervisning mer artig enn han selv opplevde. Han hadde likevel set for seg at han i utdannelsen skulle f? utfordringer med ? regne oppgaver. Det kan derfor oppfates som motstridende, og at han som voksen likevel syntes oppgaveregning var greit. For Sigma var matematikkutviklingsdagboka en positiv opplevelse som han gjerne skulle gjennomf?rt flere ganger i l?pet av studie?ret. Dete kan kanskje ses i samenheng med at han tidligere har omtalt matematikkinnleveringer som en viktig del av sine erfaringer i matematikk. I sine refleksjoner over oppgavene i MUD, sa han at han fant dem nyttige fordi han fikk repetert nyttig kunnskap, og fordi han ble oppmerksom p? det didaktiske i matematikkundervisningen. Dete var en viktig erfaring i forhold til sin kommende jobb som l?rer. Han begrunnet sine erfaringer med at n?r han m?te skrive ned hva han tenkte mens han regnet, s? ble han mer bevist p? spr?ket han brukte, og hvordan han brukte det. Det ble viktig ? beskrive sine tanker p? en m?te som ga mening b?de for ham selv og for leseren. I denne prosesen ble det veldig viktig ? reflektere over hva didaktikk virkelig var i forhold Det var lite jeg ike forsto T-MT: Bare synd at mate kun dreide seg om ? regne i boka da jeg gik i grunskolen. T-I: Jeg hade vel et bilde n?r jeg starta om ? gj?re det mer artig en da jeg gik p? skolen, ?og ? den tanken er vel bare enda sterkere n?. T-FL: Eter ? ha set lit i matematikb?kene, som er pensum for os, har jeg opfatet at det blir mye mer teori og ?bokstavlesing? en jeg p? forh?nd hade trod. T-FL: Det jeg f?rst og fremst har set for meg, er at vi f?r regne en del og bryne os p? opgaver i forskjelige varianter. Matematikdagboka T-UD: Det har v?rt b?de morsomt og l?rerikt ? jobe p? dene m?ten. Dete synes jeg vi skule gj?re flere ganger gjenom ?ret. T-MUD: En slik opgave har for meg to forskjelige funksjoner. Den enkleste f?rst: Jeg f?r frisket op matematikunskapene. Den andre og den viktigste: Jeg opdager/blir klar over det didaktiske i mateundervis- ningen n?r jeg skal ut i arbeidslivet T-MUD: N?r jeg skriver ned hvordan jeg har regnet et styke, m? jeg skjerpe spr?ket slik at den som leser det forst?r hva jeg faktisk har ment. N?r jeg skriver ned de didaktiske tankene mine, blir jeg med en gang mer bevist over hele situasjonen. Til ? begyne med var det lit vanskelig ? skrive ned noe som ?h?rtes? didaktisk ut. Og jeg ble n?dt til ? set meg ned og tenke: ?Hva er egentlig det didaktiske i forhold til matematikfaget?? T-I: Intervjuer: ?, kune du tenke deg ? bruke det som en metode i skolen? Sigma: Ja, jeg synes det var veldig 134 til matematikkfaget. I intervjuet p? slutten av ?ret kom vi tilbake til MUD og metoden som ble brukt i denne oppgaven. Samtalen viste at Sigma fortsat var begeistret for denne typen oppgave og ble spurt om han kunne tenke seg ? bruke ideen i forhold til egen undervisning. Han sa at det kunne v?rt spennende ? pr?ve ut fordi han mente han vil f?t vite s? mye mer om elevenes kunnskaper gjennom denne typen oppgaver enn han vile f?t p? en pr?ve der elevene ikke forklarte sin egen tankegang. Sigma hadde stor forst?else for dem som slet med ? f?lge med p? forelesninger fordi de hadde for liten forkunnskap. Selv slet han ikke med det, men mente han fint klarte ? sete seg inn i de andres situasjon. Av erfaring s? mente han at det var en samenheng melom kunnskapsniv?et til foreleser og forelesers forst?else for andres problemer. Sigma sa at jo mer kunnskap l?reren hadde, des mindre forst?else hadde han for hva som var problemet for dem som slet. Dete var en veldig generalisering, men Sigma mente ? ha opplevd dete en del ganger. Om seminargruppetimene hadde han to veldig motstridende uttalelser. Den ene var at dise timene kunne virke lit ?slappe? av og til, og den andre at gruppearbeidet i seminargruppetimene var helt topp fordi han her fikk b?de matematiske og didaktiske utfordringer som hjelper for studenter som slet med matematikken. Han tok det ogs? som en positiv utfordring ? motivere dem som ikke klarte ? engasjere seg i matematikken fordi de slet med faget. spenende. Ja, ogs? i forhold til vanlige matepr?ver i skolen der man bare er ute eter svaret, alts? at 2+2 =4. Alts? s?n at elevene f?r forklare hvordan de har tenkt. Forelesning og seminar T-F: Jeg syns det er en stor fordel ? kune en del mate fra f?r p? ale forelesningene, og jeg kan godt forst? de som ike har det og som f?ler seg motl?se. Selv om jeg forst?r det meste har jeg likevel ingen problemer med ? sete meg in i hva andre studenter sliter med i forhold til matematik- en. Jeg har en opfatelse av at uanset tema/fagomr?de s? er det lit for ofte en samenheng melom kunskapsniv? og forst?else for andres opfatning og forst?else p? en negativ m?te. Jo mer kunskap og h?yere niv? l?reren er p?, jo mindre forst?else har han for hva som er problemet hos elevene. Det har jeg oplevd en del ganger. T-I: Men seminargrupene er kanskje lit?eh? de virker lit slap av og til. T-S: Dete synes jeg er helt top. Det gir meg mer utfordring og det er l?rerikt, men f?rst og fremst er det en god f?lelse ? hjelpe med studenter som s? gjerne vil, men som ike helt forst?r. T-I: Det er vanskelig ? forklare for en l?rer konkrete situasjoner og hvor du m?ter det i praksis. S? har jeg jo set det sj?l at?.eh? ting som jeg har l?rt p? barneskole, ungdomskole og gymnaset, det komer igjen n?r jeg er voksen liksom: ?ja, s?n set?? og rent s?n praktisk i gj?rem?l, s? kan jeg bruke de tingene som mange stiler sp?rsm?l om hvorfor man skal l?re. T-I: Og s? er det jo en ting, s? er det jo at det blir jo ike enklere for at man siter og sier at ?? jeg skj?ner ike 135 Sigma var hele tiden inne p? metoder og didaktiske tanker i sine tekster, noe som klart var et resultat av at han alerede i starten av ?ret uttalte at han s? seg selv som matematikkl?rer i sin framtidige jobb. Han hadde gjort seg en del erfaringer gjennom egen praksis og gjennom andres uttalelser om at matematikkundervisningen var i dag slik den altid hadde v?rt, preget av tavleundervisning og regneoppgaver, og ikke mer kreativ slik Sigma hevdet at mange p?sto. I sine matematikktanker tidlig p? ?ret fortalte han om en medelev (i barneskolen) som ikke forsto at man m?te l?re al den matematikken, et sp?rsm?l Sigma aldri stilte fordi han syntes det bare var artig ? jobbe med den. I intervjuet kom vi tilbake til denne fortelingen og om han som student hadde opplevd og funnet noe svar p? denne typen uttalelser. Han bekreftet at han hadde det, men ogs? at han fant det vanskelig som l?rer ? forklare hvorfor man m?te l?re matematikk selv om det ikke altid var s? forst?elig i forhold til v?r hverdag. Selv hadde han faktisk opplevd at ting han l?rte p? skolen, hadde vist seg ? v?re nyttig senere i livet. Slik Sigma presenterte sin filosofi, mente han at det ble jo ikke noe bedre av ? klage og syte over ting man ikke umiddelbart forsto. Han s? ogs? store utfordringer i ? sete seg inn i teorien ved ? lese selv og s? f? en s? god forst?else av den at han kunne formidle den videre eler bruke den selv. Hvis han fikk teorien presentert ved hjelp av praktiske eksempler, ble det enklere ? forst?. Sigma generaliserte i tilbakemeldingen fra forelesningen om funksjoner da han sa at den som holdt forelesningen hvorfor vi skal l?re det her (siterer det med en steme som om han misliker det)?. Man skj?ner det jo ike noe bedre ved ? stile tusen sp?rsm?l om hvorfor. T-I: Ja, for det at jeg ser jo for min egen del at det ? bare site ? lese og det ? mota teori, og skj?ne det, og kune formidle teorien videre, det er fryktelig vanskelig. Men har man noe som an kan forbinde det, som an kan knyte det op i mot, s? blir det mye enklere. T-S: Jeg l?rer noe nyt for hver time jeg er i. N?r det gjelder ? si dete med ord og forklare det didaktiske synes jeg det er lit vanskelig. Jeg vet hva jeg gj?r og hvorfor, men ? forklare dete er ike like enkelt. Det jeg har erfart i forhold til det ? hjelpe andre studenter er at jeg m? v?re klar i det jeg forklarer, og gjerne fors?ke ? forklare p? lit forskjelige m?ter om de st?r fast. ? hjelpe med- studenter som s? gjerne vil, men som ike helt forst?r. Det er ogs? en utfordring ? hjelpe de som ike er like engasjerte og som ike vil like mye, og det ? f? dise motiverte. L?rerolen T-MUD: Jeg har hele tiden iritert meg over at mange skoler og l?rere pr?ver ? overbevise ?omverden? om at mate i dag er mye mer praktisk relatert og kreativt en hva det var da jeg gik p? grunskolen. En slik opfatelse har ike jeg! T-I: Du sier ogs? at du hade en medelev som ike skj?nte at dere m?te l?re al den matematiken, mens du da ike stilte det sp?rsm?let, bare synes det var artig ? jobe med det. Ja. Jeg pr?ver jo ? forklare de det at?.eh? alts? den enkleste forklaringa er jo det at, ja, faktisk s? m?ter de p? s?ne ting. Om?. Det er vanskelig ? for-klare for en l?rer T-F: ? Jeg syns (foreleser) leger frem stofet p? en grei og forst?elig m?te. Det at jeg liker hans timer kan forklares med at jeg i utgangspunktet er sv?rt interesert i matematik 136 hadde en m?te ? presentere faget p? som paset ham. At han brukte ordet l?ringsstil, tolket jeg som m?ten han underviste p?. Han kommenterte ogs? igjen dete med at han selv hadde gode forkunnskaper og f?lte at faget var logisk for ham. I et tilbakeblikk p? skole?ret trakk Sigma fram at han ikke helt hadde taket p? den didaktiske biten, at han ikke f?lte at det hadde v?rt undervist i didaktikk. Dete til tross for at han uttalte seg veldig positivt om dete i sin kommentar til matematikkutviklingsdagboka. Ved starten av studie?ret sa Sigma at han forventet ? klare minst en B fordi han f?lte matematikk var hans fag. B?de og har en del forkunskaper og logisk forst?else for faget. I tileg ?snaker han et spr?k som jeg forst?r?. Hans l?ringstil paser for meg, og jeg forst?r hva han mener og til dels tenker ved mange av hans faglige forklaringer. T-I: Det er det der med didaktiken som ike? eh ? alts?? den didaktiske biten av undervisninga, jeg ser den ike? jeg klarer ike ? se at vi har hat noe didaktik og jeg klarer ike ? sete ord p? hva det er for noe. Karakterer fra det obligator- iske kurset p? l?rerutdan- ningen: C p? hjemeksamen i didaktik, C p? praksis- opgaven og D i skriftlig matematik (6t skole- eksamen). Slutkarakter ble D praksisoppgaven og hjemeksamen i didaktikk ble vurdert til C, men p? den skriftlige eksamen ble det en D og totalt endte det med en D. Sigma viste gjennom hele teksten en positiv holdning til matematikk og ga inntrykk av ? ha kunnskap nok til ? beherske det ? l?se matematikkoppgaver. Han sa at han klarte seg selv og i MUD-oppgaven beskrev han ?pne oppgaver som veldig bra fordi de ga muligheter for matematiske diskusjoner. Dise argumentene kan ses p? som en rimelig begrunnelse for karakterene i didaktikk og praksis. De burde ogs? v?rt rimelige som en begrunnelse for en god karakter til den skriftlige matematikkeksamen, men det var det ikke. Sigma fikk en D og det stemer d?rlig med b?de forventningene hans og tekstene hans. Jeg kan ikke finne noen rasjonel forklaring p? at han skulle f? en s? d?rlig karakter, s? det kan se ut som Sigma tar feil av sine egne ferdigheter. 137 5.4 Fortelende analyse: Caseniv? 2 Caseniv? 2 presenterer sosiale hendelser. Det vil si at selv om jeg noen steder presenterer respondentenes tilbakemeldinger enkeltvis, s? er fokus p? den feles opplevelsen og ikke enkeltindividet som p? caseniv? 1. I forarbeidet til datainnsamlingen plaserte jeg matematikkdagboka, felesforelesningen og seminar- gruppetimen som innhold i caseniv? 2. Men i den f?rste gjennomlesingen av tekstene, fant jeg at spr?ket som ble brukt var interesant fordi studentene beskrev sine opplevelser om matematikk nesten uten ? bruke matematiske begrep. De gjorde i stedet egne omskrivninger, gjerne ved hjelp av bilder. P? grunn av dise observasjonene valgte jeg ? ta med et kort kapitel der jeg presenterer de tre spr?klige presentasjonene: bildebruk, niv? og matematisk spr?k. Jeg har for lite materiale til ? si noe om respondentene har tilegnet seg et godt eler d?rlig profesjonelt spr?k som kommende l?rere, men anser det som en egnet tileggsinformasjon i beskrivelsen av deres opplevelser. 5.4.1 Matematikkspr?k og bildespr?k. Om det ? beskrive matematikk I analysens trinn 1 var det deler av tekstene som skilte seg ut fordi studentene brukte bilder som ikke var direkte knyttet til matematikken for ? forklare sine kunnskaper om matematikk og om matematikkundervisning og sine opplevelser om matematikkl?ring. Dete tolket jeg som at de manglet begreper for ? beskrive matematikken. Jeg ?nsket derfor ? se n?rmere p? hva slags spr?k studentene brukte for ? uttrykke matematikkrelaterte opplevelser. I f?lge Sch?tz (2005, s.40-42) har vi ulike muligheter for typifisering av sosiale handlinger alt eter som vi tilh?rer inngruppa eler ikke. I denne samenheng kunne det da v?re rimelig ? tenke seg den muligheten at l?rerutdanningens undervisningsspr?k i matematikk er s? forskjelig fra studentenes forkunnskaper om matematikk, b?de spr?klig og symbolsk, at det ikke vil oppst? en feles forst?else av faget. Det er ikke mulig ut fra mine funn ? vise at det er slik, men Grevholm (2004) har blant svenske l?rerstudenter funnet at de mangler et profesjonelt spr?k for ? bruke i klaserommet. 138 Det var heler ikke mulig ? se ut fra de tidlige tekstene og det sene intervjuet om m?ten de uttrykte seg p? endret seg gjennom kurset. Jeg fant ingen tekster som viste at de hadde tilegnet seg et bedre ordforr?d i forhold til matematiske begreper i l?pet av kurset. De som brukte matematiske begrep, gjorde det hele tiden selv om det var i begrenset omfang. I Grevholms (ibid.) unders?kelse kunne noen studenter tilegne seg et godt profesjonelt spr?k, mens andre som deltok p? same kurs, ikke gjorde det. Samenliknet med min unders?kelse om opplevelser, var Grevholms arbeid retet mot begrepsforst?else. Det er derfor viktig ? se mit videre arbeid i forhold til mit utgangspunkt og min analyse. Jeg ble f?rst i tekstanalysen oppmerksom p? og fatet interese for studentenes spr?k. Det m? ogs? tas hensyn til at studentene av den grunn ikke var oppmerksomme p? at jeg skulle vurdere deres spr?kbruk, noe som kunne ha p?virket deres tekster. Jeg valgte ? s?ke eter tekster der studentene uttrykte seg ved hjelp av et matematisk eler matematikkdidaktisk fagspr?k, og tekster der de uttrykte seg ved hjelp av bilder og andre asosierte uttrykk. Jeg definerte fagspr?k som b?de det matematiske symbolspr?k (sifer og tegn), og som ord og uttrykk brukt i en matematisk samenheng (eks: addisjon, funksjon, er lik). Definisjonen p? bilder 13 og asosierte uttrykk var n?r det ble brukt beskrivelser i teksten som var overf?rt fra andre situasjoner enn en som h?rte direkte til matematikkundervisningen. I tilegg fant jeg bruken av ordet niv? interesant fordi studentene brukte det subjektivt. Det vil si at det kunne se ut som de plaserte seg selv et sted p? en egendefinert stige, og s? plaserte de sine medstudenter i forhold til seg selv ut fra referanser som de fant relevante. Ordet ble ogs? brukt som en generel betegnelse, slik som h?yt niv? eler lavt niv?, uten at det ble n?rmere definert. Det var noen steder jeg hadde forventet ? finne mer matematisk spr?k enn andre steder, for eksempel n?r jeg i sp?rreskjemaet spurte studentene: Hva er matematik for deg? Likeledes ans? jeg det som naturlig at matematikkdagboka burde synliggjort studentenes kunnskaper p? dete omr?det, siden en del av den oppgaven netopp var ? forklare hvordan de tenkte seg gjennom matematikken. Det siste stedet jeg mente det var mulighet for at jeg kunne finne matematisk spr?k, var i referatene fra forelesningen 13 Jeg har brukt begrepet bildeutryk og ike metafor fordi det ga meg st?re mulighet i valg av utryk. 139 og seminargruppetimen fordi jeg der hadde stilt sp?rsm?l om hvilke forkunnskaper de hadde i forhold til temaet som skulle undervises, og om hva de hadde l?rt. Bildene som ble brukt kunne se ut som om de var mer eler mindre tilfeldig valgt av respondentene. Det vil si, noen er forholdsvis vanlig ? bruke (jeg tror jeg har et ganske godt mattehode), mens andre sannsynligvis ble laget i ?yeblikket for ? dekke det studenten ?nsket ? beskrive (jeg mer eler mindre sklei gjennom matematikkundervisningen i barneskolen). Jeg har valgt ? se p? hvordan uttrykkene ble brukt ut fra kategoriene jeg valgte for analysen: ? oppfatninger om matematik ? oppfatninger av seg selv som bruker av matematik ? oppfatninger om matematikundervisning ? oppfatninger av hvordan l?ring av matematik foreg?r Ut av totalt 26 referanser som jeg tolket som bildeuttrykk, fant jeg ingen som beskrev oppfatninger om matematikk, men det var 15 om oppfatninger respondentene hadde om seg selv som bruker av matematikk, 8 om matematikkundervisning og 2 om hvordan innl?ring av matematikk foreg?r. Begrepet ?niv?? ble brukt i 12 referanser totalt. De ble brukt i ulike samenhenger: 3 om oppfatning av matematikk, 1 om seg selv som elev og bruker av matematikk og 8 om matematikkundervisning. Det ble ikke brukt noen uttrykk i forhold til den fjerde kategorien om hvordan innl?ring av matematikk foreg?r. Alfa brukte bildeuttrykk 1 gang og niv? 4 ganger. Beta hadde 5 forskjelig bildeuttrykk, hovedsaklig om matematikkundervisning, og 2 om niv?. Gama hadde bare 2 bildeuttrykk og ingen om niv?. Delta hadde ogs? 2 bildeuttrykk, men fire referanser til niv?. Epsilon var den som bruker bildeuttrykk mest, han hadde 13 ulike referanser og 2 om niv?. Sigma hadde bare et bildeutrykk om hvordan innl?ring av matematikk foreg?r og ingen henvisinger til niv?. 140 De ulike bildeutrykkene Studentens opfatninger av seg selv som bruker av matematik Alfa svarte i sp?rreskjemaet at han likte matematikk godt, klarte seg altid selv og vurderte sine tidligere matematikprestasjoner som sv?rt gode. Likevel sa han i intervjuet p? slutten av studie?ret, at han l?ste seg til en l?sning n?r andre s? forskjelige muligheter. Det at han brukte ordet l?ser, tolket jeg som at han heler ikke vurderte ? pr?ve andre l?sningsmetoder i f?rste omgang. Beta hadde tidligere (i S1) beskrevet sit forhold til matematikk som greit. Han vurderte sine tidligere matematikkprestasjoner som d?rlige, men klarte seg som oftest selv. Opplevelsene i l?rerutdanningen hadde f?t ham til ? reflektere over tidligere matematikkerfaringer. I forventningsloggen (FL) trakk han fram at han hadde flere positive erfaringer fra GLSM-kurset. Da hadde han opplevd at han behersket kravet til matematikkunnskap, s? han var spent p? om han ogs? vile klare den h?yere regningen som han forventet i det obligatoriske kurset. I intervjuet p? slutten av ?ret sa han at han trodde han hadde et ganske godt mattehode. Det kan tyde p? at hans tidligere erfaringer muligens ikke var relatert kun til matematikk-kunnskaper, men kanskje ogs? til egeninnsats eler andre hendelser. Gama likte matematikk sv?rt godt, klarte seg altid selv og beskrev sine tidligere kunnskaper som gode. Hans forventning til studie?ret slik han beskriver det i forventningsloggen (F), var at algoritmene ikke skulle bli servert p? s?lvfat. Dete tolket jeg slik at han ?nsket en utfordring i forhold til matematikken. For Delta hadde det v?rt vanskelig ? forst? matematikken. Han beskrev det som at han ikke klarte ? T-I ? : ?, at jeg fort l?ser meg til en l?sning og at andre kan se? T-FL ? : Speningen st?r mer i hvordan jeg vil takle ?h?yere? regning. T-I ? : ? jeg tror jeg hade et ganske godt matehode? T-F ? : ?h?per at algoritmene ike altid blir servert os p? et s?lvfat ? T-I ? : ? at jeg ike klarte ? henge med. ? og s? dat jeg helt ut. T-MT ? : Jeg er nok ganske fastgrod i at dete forst?r jeg ike? - Jeg skj?ner at jeg m? ha, og kune matematik p? l?rerskolen, men like fult henger det faktumet over meg, og skyger for skoletilv?relsen. T-F ? : Jeg var ike siker p? hvordan jeg skule g? l?s p? opgavene, men jeg kiket lit p? naboen og da kom jeg p? sporet. ? n?r vi s? gjenomgik opgaven s? jeg at jeg hade v?rt ine p? ret spor, men alts? ike greid ? gj?re siste regnepro- sesen for ? kome helt i m?l. - Jeg var derimot mer eler mindre helt blank. (forsto ike) - ?og da liger det i kortene at man skal ha en vis balast med seg. T-S ? : Skal ike svartmale det hele, for noen av opgavene gik faktisk h?velig greit n?r vi f?rst var komet in p? sporet. - Men selv n? som jeg 141 henge med og derfor til slutt dat helt ut. Epsilon brukte bildeuttrykk b?de i skriftlig og muntlig representasjon. Han ga uttrykk for at han strevde med matematikken og brukte ord som skygge for, v?re helt blank, svartmale, vanskelig ? henge med i svingene og at det er helt svart. Sin egen h?ndtering av utfordringene beskrev han som fastgrodd fordi han ikke forsto, trengte hjelp for ? kome p? sporet. Han hadde ike nok ballast, pr?vde ? henge med i svingene og hadde arvet sin mors innstiling. Sigma beskrev en motsat erfaring og brukte bildet at han sklei gjennom matematikundervisningen i grunnskolen og havna midt p? tret i forhold til karakter. Studentenes oppfatninger om matematikundervisning I intervjuet beskrev Beta ved hjelp av bilder flere ulike situasjoner som henviste til undervisning set fra forskjelige st?sted. Det f?rste bildet viste til egen erfaring der han opplevde at l?reren ikke tok nok hensyn til at han ikke forsto og derfor ramla han (Beta) ut. De neste to bildene var mer generele betraktninger om elevers erfaringer fra matematikkundervisning slik Beta oppfatet det. Det siste bildet viste til undervisningen p? l?rerutdanningen der han ?nsket seg verkt?y til ? gj?re noe med i forhold til undervisning. Delta sa i sit referat fra forelesningen om funksjoner at foreleser ga konkrete forklaringer som han kunne fatte. Epsilons bildeuttrykk om undervisning var ogs? i teksten fra forelesningen og der beskrev han sine medelever som sp?rsm?lstegn fordi foreleser ikke ga gode nok forklaringer p? matematikken han foreleste. N?r han presenterte algoritmer p? tavla, kunne han finne p? ? hoppe over et ledd og dermed greide ikke noen av studentene ? f?lge pr?ver ? henge med i svingene s? sliter jeg. - Noen ganger ser det ganske lyst ut, men andre ganger er det helt svart. T-I ? og S2 ? : ? jeg tror jeg ?arvet? mamas instiling ? T-I ? : ?men det er vanskelig ? ?pne sinet for andre en de metodene om jeg alerede har spikra. T-MT ? : ?jeg mer eler mindre sklei gjenom matematikundervisningen i grunskolen og s? havna jeg midt p? tret p? karakterskalaen. T-I ? : ? ho (l?reren) burde tenkt at? hvorfor er han ramla ut n?? - repetisjonsopgaver som ret og slet dreper interesen for dem. - Og det er veldig mange som har s?n spere for matematik. -?at den (studenten) f?r noe verkt?y til ? gj?re noe med (undervise) T-F ? : Han kan gi konkrete forklaringer som jeg kan fate. T-F ? : ? at mange av de som siter rundt meg ogs? siter ?som sp?rsm?lstegn? ofte. - Det skal ike mer til en at han hoper over et led T-I ? : Og det s? jeg at det var veldig mange som n?r han begynte ? forklare og brukte sine matematiske begreper s? var det mange som falt helt av laset. 142 prosesen. Gama beskrev forelesers bruk av matematiske uttrykk som et problem i undervisningen fordi mange av studentene ikke kjente til dem, og dermed falt de av lasset. Opfatninger av hvordan inl?ring av matematik foreg?r Gama beskrev sine medstudenters forventninger til undervisningen p? l?rerutdanningen slik han trodde de forventet at den skulle v?re. Det vil si at foreleser skulle gjennomg? alt til minste detalj slik at ale fikk det med seg ogs? forventede forkunnskaper. Slik han s? det for seg, hadde dise studentene opplevd at l?reren i grunnskolen har dytet kunnskapen inn i hodet p? dem. Hvis de ikke hadde forst?t det, var det bare blit dytet hardere. P? den m?ten hadde de ikke l?rt ? ta ansvar for egen l?ring. Epsilon hadde en annen oppfatning. Han mente at man i undervisningen gikk for fort fram, og da ble det for liten tid til refleksjon. Sigma hadde forventet f?r studie?ret startet at han skulle f? anledning til ? f? vite noe mer om matematikk. Han brukte bildet se bak matematiken. T-I ? : De forventer at det skal v?re s?n som det var p? grunskolen, at noen st?r og dyter kunskapen in i hodet p? dem, og hvis du ike skj?ner s? dyter de hardere. T-F ? : Spiralen (inl?ringstempo/metode) er for br? i svingene, p? en m?te. T-MT ? : ?at vi i l?pet av dete ?ret skal se lit mer ?bak? matematiken. Niv? Ordet niv? gikk igjen i flere av samtalene, sannsynligvis fordi det er vanlig ? snakke om niv? i samenheng med undervisning, derfor omtalte jeg de utsagnene i et eget avsnit. Opfatninger om matematik Beta mener at matematikkniv?et i klasen er veldig lavt p? bakgrunn av at han selv har opplevd ? f? til matematikken, og at han ikke i utgangspunktet vurderte seg selv som spesielt flink i matematikk. Delta brukte niv?begrepet i forhold til en voksens evne til ? formidle matematikken til et barn. Epsilon opplevde at de andre klarte ? f?lge med p? matematikken, men for ham s? var det uforst?elig. Derfor ble det sagt i en T-I ? : Generelt s? synes jeg matematikniv?et i klasen er veldig lavt. T-I ? : Papa ? klarte ike ? sete seg ned p? mit niv?? T-F ? : ?s? jeg vil nok tipe at niv?et ike var s? altfor h?yt. 143 samenheng der Epsilon n?rmest viste tegn til ? gi opp i forhold til egne evner. Opfatninger av seg selv som bruker av matematik Beta var den eneste som plaserer seg selv i forhold til resten av studentgruppa ved ? bruke begrepet niv?. Han sa dete i forbindelse med at han fant forelesningene kjedelige og lite utfordrende fordi det ble s? mye sp?rsm?l om det som for ham syntes ? v?re triviele ting. Derfor vile han ha oppgaver som var mer utfordrende for dem som ikke trenge en detaljert gjennomgang av hvert eneste emne. Opfatninger om matematikundervisning Alfa har brukt begrepet niv? flere ganger og beskrev f?rst undervisningen p? l?rerutdanningen som ? v?re p? et lavere niv? enn hva han forventet p? grunn av at flere studenter i klasen trengte det. P? grunnskolen erfarte han at l?rerne underviste slik at elevene forsto, de kunne sete seg ned p? niv? med elevene, mens p? videreg?ende var det et niv? som l? h?yt for dem som ike skj?nte det. Delta opplevde at foreleser holdt seg p? et niv? som paset for ham p? forelesningen, men han ga oppgaver i seminargruppetimen som ikke stemte med niv?et fra forelesningen slik Delta tolket det. Epsilon mente at matematikkl?rere underviser p? en annen m?te enn medstudentene. Dermed ble det letere ? forst? matematikken n?r medstudentene presenterte den, for deres niv? var lavere enn foreleser/matematikkl?rer. Opfatninger av hvordan inl?ring av matematik foreg?r Jeg fant ingen uttalelser der studentene knyttet niv? til innl?ring av matematikk. Men siden de henviste til det n?r T-F ? : ? de som ike f?ler de trenger hjelp kune jobet p? v?rt niv?. T-F ? : Det jeg synes blir det st?rste problemet med matematikforelesningene er at det er s? store niv? forskjeler i klasen, ? - Det st?rste problemet med matematikfaget er niv?forskjelene. ?(henviser til forkurs)? Slik at n?r matematik- undervisningen starter er studentene p? et mer likt niv?. T-I ? : ?f?ler at undervisningen generelt har v?rt lavere en hva det burde ha v?rt. - Jeg har oplevd dem (tidligere l?rere) ? kune sete seg ned p? niv? med ?eh?elevene ? (videreg?ende)? l? h?yt for de som ike skj?nte det. T-F ? : Han som foreleser synes jeg er flink, han er kort og presis og jeg syns han klarer ? senke seg til det niv?et som jeg er p?. T-I ? : Da kom det p? et helt anet niv?? - Forelesningene var p? et niv?, og s? kom opgaver som p? en m?te var mye vanskeligere igjen. T-S ? : Medstudentene 144 man skulle undervise matematikk, er det rimelig ? anta at respondentene mente at det hadde en samenheng med hvordan man l?rte matematikk. Teoretisk kan man knytte det til et konstruktivistisk l?ringssyn der man knytter ny kunnskap til kjente skjema. leger som oftest lista lit lavere en det matel?rerne gj?r n?r de gjenomg?r, derfor blir det enklere ? f?lge med. Niv?et deres liger p? ca 7.-8. klase og det er vist mer en h?yt nok for meg. Matematikspr?ket Alfa brukte matematiske uttrykk tre ganger i intervjuet. Det f?rste var da han refererte til en hendelse der foreleser ba om forklaring p? hvorfor resultatet ble som det ble (oppgaven ble ikke presentert i intervjuet, bare referert til). Alfa mente han hadde forst?t oppgaven og svaret, men han var ikke i stand til ? gi den matematiske forklaringen. I sin forklaring under intervjuet ga han heler ingen n?rmere matematisk beskrivelse for hva som hendte eler beskrev oppgaven p? en m?te som viste at han hadde forst?t matematikken i oppgaven. Ogs? da han senere i intervjuet fortalte om en forelesning der de hadde hat om prosent?kning, ga han bare en deskriptiv forklaring p? den matematiske operasjonen. Selv om han mente han forsto det, ga ikke teksten noen bekreftelse p? dete. Den tredje gangen han brukte et matematisk uttrykk, var da han beskrev innholdet av forkurset slik det var fortalt til ham. Han hadde ikke selv deltat, men han hadde oppfatet det slik at det var mest algebra som ble gjennomg?t p? kurset. Beta brukte ogs? matematiske uttrykk 3 ganger. F?rste gang var i forbindelse med refleksjonene til matematikkdagboka der han viste til hvordan han hadde tenkt da han l?ste oppgaven. De to andre gangene var i forbindelse med forelesningen om funksjoner. Ogs? Beta brukte matematiske uttrykk kun i deskriptive forklaringer til matematiske T-I ? : Ja, det synes jeg er kjempevanskelig for det at vi hade en opgave i dag som han viste os han foreleseren, som da fik primtal p? bege sidene. Det var det som var forklaringa, men vi skule ike regne, ? men vi skule forklare hva som var forskjel p? sidene. Og s? den ene sida var st?re en den andre, og det s? jeg bare, men det var vanskelig ? si hvorfor. Men det var jo for jeg bare hade tenkt det og jeg er ike obs p? sj?l ? T-I ? : N?r vi hade i dag om prosent?kning der vi har g?t gjenom det flere ganger at n?r vi skal ?ke s? skriver vi en koma nul og det vi skal ?ke med, og s? er det noen som sp?r hvorfor har du skrevet det. Og da har han sagt det flere ganger og da blir det veldig kjedelig for de som tar det med en gang T-I ? : De mente at det mest var algebra at ? de gjenomgik p? ? T-MD ? : Var opgaven som jeg l?ste raskest. Tenkte +/-15 min. med en gang. T-F ? : Temaet var grafer/funksjoner T-F ? : Foreleser ga en slags introduksjon med ? lage en tabel over situasjon/tabel/ graf/formel. I starten 145 operasjoner og ga ingen tilbakemelding p? hva han forsto, eler hvordan han forsto det. Gama var den som klart behersket bruken av et matematisk spr?k best. Han brukte det hele seks ganger i sine tilbakemeldinger. Alerede i forventningsloggen og i sine tanker om matematikk viste han at han kjente ordet algoritme og han brukte det p? en korrekt m?te. Min erfaring er at dete er et uttrykk som sv?rt f? studenter er famili?re med f?r de komer til l?rerutdanningen. I forbindelse med forelesningen om funksjoner mente han at studentene burde ha grunnleggende kunnskaper om funksjoner. Han forklarte ikke hva han la i dete, bare beskrev det som ? huske en del ting om enkel funksjonsregning fra tidligere gjennomganger i grunnskole eler videreg?ende skole. Eter seminargruppetimen mente han at man for ? l?se oppgavene trengte forholdsvis gode kunnskaper om grafer, graftegning og noe kunnskap om funksjoner. Siden temaet ogs? for seminargruppearbeidet var funksjoner, kan det se ut som han her pr?vde ? beskrive matematikken lit mer detaljert, men det er fortsat vanskelig ? tolke hva han mente matematisk. I intervjuet kom han selv inn p? det ? bruke matematiske begreper og mente det ikke var almennkunnskap eler vanlig dagligtale ? bruke ord som multiplikasjon for det ? gange to tall. Delta brukte matematiske begreper tre ganger i forbindelse med tilbakemeldingen p? forelesningen om funksjoner. Inledningsvis beskrev han forkunnskaper som algebra og forst?else av bokstavregning. Han trakk ogs? inn forst?else av talinja og positive og negative verdier. Teksten viste at han ikke helt hadde forst?t notasjon og symbolbruk i forhold til skj?nte jeg ike helt hva hensikten med den tabelen var. Men eter hvert skj?nte jeg det. Han startet for ?vrig med ? sp?re hva funksjoner er?. Ale vet hva graf er, men han brukte en mer ukjent infalsvinkel. T-FL ? : En siste forh?pning om faget er h?pet om at algoritmene ike altid blir servert os p? s?lvfat, men at vi blir n?dt til ? tenke en del selv f?r vi f?r hjelp til ? kneke dem. T-MT ? : Eter en slik s?ken eter en god algoritme f?ler jeg at dete nye seter seg vesentlig bedre en hvis jeg skule f?t servert en l?sning. T-F ? : Grunlaget som hver enkel student burde ha f?r dene forelesningen var grunlegende kunskaper om matematiske funksjoner. Med dete mener jeg at man b?r huske en del ting om enkel funksjonsregning fra tidligere gjenomganger i grunskole eler videreg?ende skole. T-S ? : For ? kune gjenomf?re de opgavene som var git trengte man slik jeg ser det forholdsvis gode kunskaper om grafer, graf tegning og noe kunskap om funksjoner. T-I ? : Og ?i ale fal i min omgangskrets og med de jeg har joba i lag med, s? tror jeg ike det er noen som har multiplikasjon som sit begrep for ? gange to tal? T-F ? : Andre forkunskaper er algebra og forst?else for 146 funksjoner. I tilegg kom han inn p? ordet tekstoppgave i intervjuet. Dete var vel ikke egentlig et matematisk utrykk, men i denne samenhengen var det brukt som en m?te ? beskrive en matematisk oppgavetype p?. Epsilon beskrev matematikk ved hjelp av matematiske utrykk flere ganger, men viste ogs? flere ganger at han ikke forsto utrykkene fullt ut. I sine tanker om matematikk slik han beskrev dem f?r selve kurset i l?rerutdanningen begynte, virket det som om han bare fant noen ord som han mente hadde med matematikk ? gj?re. Han sa helt ?rlig at det var alt samen en eneste r?re for ham. At han ikke helt hadde kontroll p? hva han beskrev, viste han ved ? si at trigonometri og andregradslikninger ikke burde v?rt obligatorisk i grunnskolen. De to temaene har aldri v?rt ungdomskolepensum, men det var ikke han klar over. Da han videre beskrev forkurset i matematikk og algebraen som ble gjennomg?t der, beskrev han det som et virvar av pluser, minuser og parenteser. Her brukte han ordet algebra riktig. Han viste til egenskaper som h?rte hjeme i denne typen matematikk, men han sa at han ikke forsto logikken i det. Epsilon brukte ogs? matematiske uttrykk i sit referat fra forelesningen om funksjoner. Her beskrev han mest symboler som ble brukt i denne delen av matematikken. Beskrivelsene hans viste at han sannsynligvis ikke helt hadde noen forst?else av denne matematikken. Han blandet retning p? x- og y-aksen. Siden han ikke utdypet eler forklarte noe mer, kan det ha v?rt en skrivefeil fordi dete ble gjort raskt eter forelesningen og det var liten tid til ? lese gjennom. I Epsilons siste kommentar fra forelesningen beskrev han det bokstavregning. P? et lavere niv? b?r man ? kune talinja ganske godt for ? se p? plus og minustal. T-F ? : For eksempel funksjonen f(x) = 4 og f(3) det skj?nte jeg ike helt. T-F ? : Jeg l?rte at man skal begyne med tabelen f?r man begyner p? grafen. Jeg tror jeg har f?t med meg forskjelen p? f(x) og x og y og s? videre, jeg kan ike forklare det, men jeg tror jeg kan se det. Det vil nok tiden vise. T-I ? : Ja, spesielt n?r det er en tekstopgave s? m? jeg ha noen til ? si at du kan begyne der, elers blir jeg sitende lenge f?r jeg kan gj?re noe i det hele tat. matematiksprak 10 T-MT ? : N?r det s? igjen blir snak om sinus og cosinus, algebra, 2. grads ligninger osv. s? flyter alt samen til en eneste r?re. For ? v?re helt ?rlig s? skj?ner jeg ike hvorfor slikt er obligatorisk i grunskolen. T-MT ? : ? l?re 2. gradsligninger i 8. klase, n?r du ike er i n?rheten av ? forst? 1. grad, virker lit h?pl?st. T-MT ? : Da vi hade det inledende matematik kurset i v?r, og vi holdt p? med algebra, gik det helt i sur for meg. Jeg s? bare ?pluser, minuser og parenteser? i et virvar p? arket, som jeg ike greide ? holde oversikten p?. Jeg s? overhodet ike noen form for logik i det. T-F ? : Det l? i kortene at jeg burde hat forst?else av hva funksjonsl?ren g?r ut p?. Jeg burde sikert ogs? ha vist hvilken retning x-, og y 147 som ble gjennomg?t i timen. Han forklarte hvordan han hadde l?rt ? bruke tabeler for ? f? til den grafiske framstilingen, om definisjonsmengde og verdimengde som han ikke forsto, og om to ulike typer grafer som han beskrev selv om han ikke husket navnet p? den ene. I studentens tekst sto det definisjonslengde, men dete kan ha v?rt en tastefeil. Eter seminargruppetimen beskrev han enda en gang sin oppfatning av det grafiske aksesystemet, og at det var ny kunnskap for ham at st?rrelsen av enheter p? aksene var valgfrit. Selv om Epsilon var en av dem som ga uttrykk for ? slite med matematikken, noe som ogs? ble vist i denne delen av teksten, var det ham som forklarte mest om matematikk i sine tekster. I intervjuet brukte han uttrykk som pluss, minus, gange og dele, og ikke de matematiske uttrykkene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Han hadde l?rt nye utregningsmetoder, men han brukte ikke ordet algoritme. Han hadde ogs? opplevd ? f? en forst?else av hva en annengradslikning var, selv om han ikke forklarte det eksplisit, siden han kopler begrepet annengradslikning til begrepet andregradsformler. Sigmas bruk av matematiske begreper fant jeg uttrykt f?rste gang i hans beskrivelser av matematikk f?r l?rerutdanningen, en gang i forelesningsreferatet og to ganger i seminargruppereferatet. Kommentaren som var knyttet til forelesningen, viste til Janvier-tabelen (Breiteig & Venheim, 2005, s.81) og bruken av den. Sigma ga her en forklaring b?de p? en didaktisk hendelse, ved ? vise til undervisningsbegrunnelse for bruk av tabelen, og en matematisk hendelse, ved beskrivelse av bruk av tabelen. Fra aksen skule v?re, samt hva som skal f?res p? dise to. Dete viste jeg alts? ike. T-F ? : jeg blir ofte sat ut av x og y formuleringen. N?r det atp?til blandes in f opi det hele, s? deter jeg ut. Dete er utrolig frustrerende. T-F ? : Jeg har l?rt at x aksen helst skal v?re lodret, og y aksen vanret. At dete ike er en regel, men at det er foretruket. T-F ? : Jeg har l?rt hvordan en kan plasere gite oplysninger in i en tabel og ut i fra dete lage en grafisk fremstiling. Jeg har l?rt at det er noe som heter definisjonslengde og verdimengde, men jeg har ike ful forst?else av hvordan en finer dise i opgaveteksten. Jeg har l?rt meg tegnet for uendelig:) Jeg har l?rt om to ulike typer grafer, den ene kaltes en linjer funksjon, dete var en ret linje, og den andre kaltes (husker ike), men der var linjen i ale fal slik at den steg etapevis. T-S ? : Jeg har l?rt at en ike trenger ? ha noen bestemte mengder eler tal langs x-, og y aksen. Dete forviret meg, og jeg tror ike jeg har v?rt borti lignende tidligere. T-I ? : Og s? har jeg plusa, minus, gange og deling p? papir som jeg har forst?t at elevene ofte gj?r anerledes i dag. T-I ? : Mens ? sete in i andregradsformler og s?n her, er jeg faktisk ganske stolt av ? ha funet ut hva en anengradslikning er s?n p? papiret. Det er ike lenge siden jeg 148 seminargruppearbeidet ga han en kort oversikt over hvordan han hadde oppfatet hensikten med oppgavene. I motsetning til Alfa, Beta og Gama, gikk han mer inn i hva slags matematikk oppgaven testet ut, slik som kunnskapen om forholdet melom funksjon og graf og x- og y-aksenes rolle. forsto det? T-F ? : Elevene skal f? utfordring i ? jobe fra og til situasjoner, tabeler, grafer og formler. Vi tegnet grafer ut fra tabeler og gite funksjoner, og vi leste funksjoner ut fra tegnede grafer. T-MT ? : Jeg hade grei forst?else for talene, symbolene og deres betydning i de forskjelige samenhengene. T-S ? : I forhold til tidligere arbeid inenfor dete temaet handlet det dene gangen ike om gite funksjoner, men om ? forst? og se hvordan, s?n ca. en graf blir i et kordinatsystem. T-S ? : En burde vite forholdet melom x-aksen og y-aksen, og hva dete faktisk viser. 5.4.2 Beskrivelser av en forelesning. Var vi p? samme forelesning? En del av unders?kelsen var at studentene skulle fortele om sin opplevelse av en p? forh?nd avtalt felesforelesning der ale respondentene og jeg var tilstede. Forelesningen var tilfeldig valgt i forhold til tema. Umiddelbart eter forelesningen gikk vi til en datalab der studentene skrev om sine opplevelser av forelesningen. Jeg noterte mine observasjoner underveis i forelesningen og renskrev dem eterp?. I dete kapitlet vil jeg f?rst beskrive forelesningen slik jeg opplevde den, og s? vil jeg se p? de ulike studentenes tilbakemeldinger. Som beskrevet tidligere ga jeg studentene noen veiledende sp?rsm?l, en veiledning ale seks valgte ? f?lge. Jeg har valgt ? ikke analysere den matematiske delen, for eksempel studentenes forst?else av hva en funksjon er fordi det ikke er relevant i forhold til mit forskningssp?rsm?l om opplevelsen av en forelesning uavhengig av matematisk tema, og fordi jeg ikke har nok opplysninger til ? kunne gi en fullstendig og retferdig beskrivelse. Forelesnings?kten var den f?rste studentene hadde om funksjonsl?re i l?rerutdanningen og hele ?kta var 149 til samen p? tre perioder ? 45 minutter. Jeg vil referere til hele ?kten som ?forelesningen? og til de tre periodene som f?rste, andre og tredje time. Mit referat: Foreleser innledet med ? sp?rre om studentene kunne forklare begrepet funksjon. Han fikk flere svar fra studentene som han noterte p? tavla. Tavlenotatene brukte han s? i neste omgang til ? diskutere de ulike innspilene i forhold til hva en funksjon kan v?re. For videre utdyping av dete presenterte foreleser Janviertabelen (Breiteig & Venheim, 2005, s.81) p? tavla som et utgangspunkt for hvor mange ulike muligheter man har for ? g? fra en m?te ? representere en funksjon p? til en annen. Denne modelen brukte han som referanse flere ganger i forelesningen slik at studentene fikk se konkrete eksempler p? bruken av tabelen. Formel SF TF GF Graf SG TG FG Tabel ST GT FT Situasjon TS GS FS T i l Situasjon Tabel Graf Formel Fra Tabel 14: Janviertabelen som ble brukt i forelesningen (Breiteig & Venheim, 2005, s.81) Eter den innledende samtalen om hva en funksjon var, ?nsket foreleser at studentene skulle pr?ve seg p? en oppgave som han hadde forberedt p? lysark. Uheldigvis var maskinen ?delagt, s? han m?te skrive oppgaven p? tavla. Dete gikk greit, selv om det tok lit tid b?de med ? dobbeltsjekke overheadprojektoren og med ? skrive teksten til oppgaven p? tavla. Jeg overh?rte et par studenter (ikke respondentene) som komenterte at dete var en tekstoppgave og det likte de ikke. Det ble git god tid til ? pr?ve seg p? oppgaven, og foreleser brukte tiden til ? forberede gjennomgang p? tavla ved ? tegne et koordinatsystem der han la inn de aktuele verdiene p? aksene. Eter en stund tegnet han ogs? inn den line?re funksjonen og ?pnet for gjennomgang ved ? vise til Janviertabelen og hvordan den kunne knytes til denne bestemte oppgaven. Dereter spurte han studentene om hva de kunne lese ut av funksjonsuttrykk og tabel, og om de 150 var enige i hans tegning av grafen. Studentene ?nsket mer tekst p? grafen for at den skulle bli letere ? forst?. Foreleser tok hele tiden i mot innspil fra studentene og svarte p? sp?rsm?l fra dem som ikke hadde forst?t eler som lurte p? noe annet i forhold til oppgaven. N?r han svarte, stilte han ogs? oppf?lgingssp?rsm?l for ? se om de hadde forst?t svaret hans. Oppgaven var veldig praktisk relatert slik at studenter som ikke hadde gode ferdigheter om funksjoner, kunne pr?ve ? forst? oppgaven visuelt ut fra diagramet. I diskusjonen ble det ogs? repetert at man m?ler volum i ml og vekt i mg. F?r pause trakk foreleser tr?dene tilbake til Janviertabelen og hvordan tabelen kunne knyttes til den oppgaven de netopp hadde gjennomg?t. Det ble ordnet med annen overheadprojektor, s? resten av forelesningen ble gjennomg?t med de planlagte lysarkene. I andre time ?pnet foreleser med ? vise et linjediagram der f?rsteaksen viste tid og andreaksen viste antal km og ba om forslag til hva en slik graf kunne bety. Studentene viste stort engasjement og kom med mange forslag. Foreleser lot studentene f? god tid til b?de ? tenke p? oppgaven hver for seg eler samen med sidemannen f?rst, og til ? argumentere for sine tanker i en feles gjennomgang eterp?. Same framgangsm?te ble brukt for neste oppgave, men da fikk studentene et funksjonsuttrykk for en line?r funksjon der de skulle beskrive den tilh?rende grafen. I denne samenheng presenterte foreleser begrepene definisjonsmengde og verdimengde. F?rst eter at han gjorde dete, skrev han definisjonen for en funksjon p? tavla og han fortsate med ? se n?rmere p? begrepene definisjonsmengde og verdimengde i forhold til en git oppgave om en line?r funksjon. Da foreleser spurte klasen om de kunne gi ham innspil p? hvordan man kunne l?se denne oppgaven, ble det veldig stile og ingen svarte. Foreleser ga da forklaringen i detalj p? tavla. Tredje time startet med en annengradsfunksjon med kun annengradsleddet, f(x) = x 2 . Studentene fikk beskjed om ? tegne grafen, angi definisjonsmengde og verdimengde og ? finne f(x) = 4, og f(3). Foreleser dobbeltsjekket at studentene hadde forst?t notasjonene p? de to siste sp?rsm?lene. Studentene spurte om de m?te lage tabel, og fikk bekreftende svar p? det. Neste oppgave ble presentert ved en git tabel og s? skulle studentene tegne grafen. I gjennomgangen av den f?rste oppgaven fikk foreleser bare 151 positive verdier for x, og eterlyste negative verdier uten ? f? noen respons fra studentene. Foreleser fortsate med ? starte en diskusjon om begrepet definisjonsmengde. F?rst i den samenheng kom de negative verdiene fram, og man fikk en parabel i koordinatsystemet. Et par studenter knyttet definisjonsmengde til verdimengde. Foreleser tok ikke dete opp med hele klasen, s? det er usikkert om ale hadde f?t dete med seg. Siste delen av oppgaven ble gjennomg?t og foreleser forklarte at m?let med ? ta med den delen (f(x) = 4 og f(3) var ? repetere hvordan man skulle tolke de ulike uttrykkene. Siste oppgaven som ble gjennomg?t var hvordan man grafisk kunne presentere porto med utgangspunkt i en tabel. Grafen ble vist, og foreleser fikk i gang en kort diskusjon rundt kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner. Timen ble avsluttet ved at foreleser oppsummerte innholdet i de tre timene, spurte studentene om de hadde forst?t det de hadde snakket om og til slutt gjentok han definisjonen p? en funksjon. Min oppfatning var at det var en tradisjonel matematikkforelesning med repetisjon av matematiske begreper knyttet til funksjoner. For de fleste ble det en innf?ring av noe nytt, slik som Janviertabelen, og repetisjon av kjent stoff. Foreleser fikk aktivisert studentene til en vis grad b?de i samtale og ved oppgavel?sing, men som vanlig i en klase var det noen som var aktive og andre som ikke deltok i det hele tat. Ut over det ? gi definisjonen av hva en funksjon er s? ble ikke matematikken diskutert p? andre m?ter enn at regler og formler ble beskrevet i prosesen. Ret eter forelesningen gikk respondentene og jeg til en datalab der jeg kort forklarte hva de skulle gj?re. De startet umiddelbart ? skrive. I den f?lgende teksten vil jeg presentere studentenes tilbakemelding p? forelesningen. Jeg gruppert svarene under f?lgende overskrifter. Overskriftene tilsvarer de veiledende punktene i teksten de fikk utlevert: ? Studentenes refleksjoner rundt det faglige i timen ? Studentenes vurdering av egne forkunnskaper ? Studentenes forberedelser til forelesningen ? Studentenes opplevelse av forelesningen ? Studentenes vurderinger av hva de hadde l?rt 152 Faglige refleksjoner Alfa mente matematikkforelesningen var helt grei og sa ikke noe mer om det. Beta m?tte en introduksjon til temaet som var ukjent for ham. Siden han i neste kommentar sa at han gjerne vile hat oppgaver ? l?se s? han kunne jobbet i eget tempo i stedet for ? f?lge med p? forelesningen n?r han mente den gikk for langsomt fram, tolket jeg det som at han ans? stoffet som kjent for sin egen del til tross for en lit usikker start. Han kommenterte at han mente diferensiering var viktig i matematikk. Delta mente at det kunne ha v?rt mer oppgaver i forelesningen og mindre gjennomgang. I intervjuet noen m?neder senere viste han igjen til forelesningen om funksjoner, og knyttet innholdet i forelesningen til oppgavene i en seminargruppetime der han ikke kunne finne samenheng melom forelesningens innhold og oppgavene de skulle l?se i seminargruppa. Epsilon beskrev introduksjonen til timen som at klasen hadde vanskelig for ? sete ord p? hva en funksjon var fordi det ikke var s? mange som svarte. Gama hadde en helt annen oppfatning. Han mente at ved hjelp av oppgaver som kunne relateres til praksis, slik som m?ling og veing, ga foreleser studentene muligheten til ? forst? matematikken. Han mente ogs? at foreleser presenterer god fagkunnskap p? en tydelig m?te samtidig som han brukte humor p? en positiv m?te i sin undervisning. Sigma la mer vekt p? ? beskrive undervisningsmetoden, alts? hvordan timen var lagt opp med tavle, lysark og samtale. Han beskrev dete som en vanlig forelesning. Faglige refleksjoner T-F ? : Dete er en helt grei m?te ? ha matematik- undervisning p? T-F ? : Temaet ble presentert p? tavla. Foreleser ga en slags introduksjon med ? lage en tabel over situasjon/tabel/ graf/formel. I starten skj?nte jeg ike helt hva hensikten med den tabelen var. Men eter hvert skj?nte jeg det. T-F ? : Hvis man kune jobet mer frit tror jeg det hade v?rt mer efektivt. En anen ting foreleser kune gjort var ? dele ut ark med opgavene og definisjonene og lat os jobe med dem. S? kune de som trengt hjelp f?t det. Slik at de som ike f?ler de trenger hjelp kune jobet p? v?rt niv?. Matematik er kanskje det faget der diferensiering er mest hensiktsmesig. T-F ? : Det kune og v?rt mer opgaver i forelesningen og mindre gjenomgang. T-I ? : Men det var kanskje spesielt n?r det gjaldt funksjoner. For da synes jeg at n?r de foreleste s? var det veldig p? et lavt,? jeg forsto det veldig godt, men s? kom de her opgavene med ale de her tekstene, ike sant, og da klarte ike jeg ? se at det var det vi hade hat forelesning om, s? da ble det liksom at jeg kune ?nske at de brukte mer eksempler i forelesningene sine. For eksempel at de sa at: okei, her har vi en opgave, n? skal vi se hvordan vi skal l?se den. T-F ? : Vi hade f?rst en ?brainstorming? p? hva dete er for noe. Responsen fra klasen var heler laber, og det tolker jeg slik at det ike bare var meg som hade problemer med ? sete ord p? det. 153 Alfas bemerkning kan tolkes p? to m?ter, enten at han tenker dete var greit, eler at han tenker at siden det var matematikk, s? var det greit. B?de Beta og Delta vile gjerne ha mer oppgaver i forelesningene, noe som kan tolkes til at med mer oppgaver s? vil det bli et opplegg for timen som kanskje mer likner p? en seminargruppe- time. Epsilons tolkning av klasens taushet var at flere slet med ? forst?. Det var hans opplevelse, og den paset ikke helt med de andres tanker om timen. B?de Gama og Sigma ga i sine tilbakemeldinger inntrykk av en positiv opplevelse av forelesningen. Forkunskaper. For Alfa, Beta, Gama og Sigma var det kjent stoff som ble gjennomg?t p? forelesningen om funksjoner. Beta knyttet det til ungdomskolekunnskaper, og sa at regneoperasjonene var enkle og at det var let ? f?lge med siden stoffet ble n?ye gjennomg?t. Sigma ga omtrent same tilbakemelding, og gjentok det senere i intervjuet, at forelesningene ga lite utfordringer. Han sa ogs? at det var vanskelig ? se samenhengen melom matematikken som ble gjennomg?t p? forelesningen og oppgavel?singen i seminargrupper. Alts? det same som Delta beskrev tidligere i dete kapitlet. Det var ingen av studentene som forklarte n?rmere hva de mente var tilstrekkelige kunnskaper for ? f?lge med i forelesningen. Det var heler ingen som reflekterer over om de hadde nok kunnskaper for selv ? undervise temaet. Delta og Epsilon innr?met begge ? ha for lite forkunnskaper. Delta begrunnet egne manglende forkunnskaper med at det var lenge siden han hadde g?t T-F ? : Mange av de eksemplene som ble git var praktisk relatert noe som for mange gj?r det letere ? se samenhengene og p? den m?ten forst? algoritmene. Det f?rste eksemplet som ble git tok utgangspunkt i m?ling ? veing. Dete er noe jeg vil tro ale studentene har et forhold til, og dete f?rer igjen til at situasjonen (som blir presentert) blir mer kjent. T-F ? : Den tydeligheten og den fagkunskapen som foreleser viste gir et positivt intryk av faget, og at lateren siter lit l?st er med p? ? myke op stemningen. T-F ? : Forelesningen var i vanlig foreleserstil der l?rer underviste fra tavla. Han brukte ogs? overhead til ? lege frem undervisnings- stofet. Det er ogs? mye plas til toveis komunikasjon i dene foreleserens sine forelesninger. Det synes jeg er sv?rt s? positivt fordi dete gir os muligheter til ? sp?re om hjelp n?r vi ike forst?r. Forkunskaper T-F ? : Dene forlesningen ble en slags repetisjon av det jeg kune fra f?r. T-F ? : Vil tro at jeg skule klart ? f?lge forelesningen greit da jeg gik p? ungdomskolen. Med en nogenlunde matematisk forst?else og da spesielt inenfor temaet, skule det ike v?re vanskelig ? f?lge med. Spesielt siden timen gik ganske sakte, og man gik n?ye igjenom stofet. T-F ? : Jeg hade nok forkun- skaper til ? f?lge med p? timen. Regneoperasjonene var sv?rt enkle. T-F ? : For min del overgik forkunskapene den delen av dete emnet som forelesningen gjenomgik T-F ? : N?r det gjelder grafer og funksjoner har jeg hat en god 154 p? videreg?ende og mente at ?man? burde hat bedre forkunnskaper om hva man kan bruke funksjoner til. Epsilon konstaterte kun at han hadde for lite kunskap. Heler ikke dise to ga noen forklaring p? hva slags kunnskap som burde v?rt krevd i forhold til de forventningene de hadde til forelesningen. Forberedelse til forelesningen Alfa viste ikke hva forelesningen inneholdt, Beta hadde ikke forberedt, seg og han viste heler ikke hvilket tema som skulle foreleses. Det at Beta i tilegg viste til at han kvelden f?r hadde f?t beskjed om at dete var en del av forskningsprogramet, kunne tyde p? at han ikke hadde tenkt ? g? p? forelesningen. Delta hadde heler ikke forberedt seg. Han sa at han hadde v?rt tilstede p? andre forelesninger og seminargrupper, men dise hadde ikke v?rt om funksjoner. Epsilon hadde heler ikke forberedt seg, men han hadde sannsynligvis deltat p? forelesningene i forkant fordi han viste hvilket tema som var gjennomg?t da, og trodde at det fortsat var geometri p? planen. Han sa at han burde forberedt seg fordi han hadde d?rlige forkunnskaper. Sigma var heler ikke forberedt, og han ga en begrunnelse p? et mer generelt grunnlag; at det var fordi han fant forelesningene for lite utfordrende til ? gj?re en egeninnsats. Gama var den eneste som sa at han viste hvilket tema som ble forelest, men hadde ikke lest pensum f?r forelesningen. Det var alts? ingen av studentene i respondentgruppa som hadde forberedt seg til forelesningen. del p? videreg?ende og det siter en?. T-I ? : S? jeg synes ike det er utfordringer i det hele tat (i forelesningene) for det er bare s?n ungdomskole og barne- skolematematik ? site og regne, og s? n?r vi skal regne opgaver s? er det noe helt anet. T-F ? : Jeg har sv?rt f? forkunskaper til dete emnet. Jeg har ike v?rt borti dene typen matematik siden videreg?ende noe som er ca 13 ?r siden. Eter min mening s? burde man hat flere forkunskaper i hva man kan bruke funksjoner til og hva slags hensikt de har. T-F ? : Det l? i kortene at jeg burde hat forst?else av hva funksjonsl?ren g?r ut p?. ? s? jeg vil tipe at niv?et ike var s? alt for h?yt. Sikert 8.klase eler liknende. Jeg var derimot mer eler mindre helt blank, jeg husker at jeg har v?rt borti dete, men derfra til ? huske hvordan det skal gj?res er det langt. Forberedelse til forelesning T-F ? : Jeg viste ike engang hva vi skule ha i forelesningen T-F ? : Hade ike forberedt meg p? noe som helst vis. Viste ike om hva temaet besto i. Fik vite kvelden f?r at vi skule skrive dete. T-F ? : Jeg hade ike forberedt meg noe til timene, men har v?rt til stedet p? forelesningene og i seminargrupene. T-F ? : M? vel si at jeg ike hade f?t gjort dete, jeg hade faktisk ike f?t med meg at vi var ferdige med forige bolk om geometri ? Med mine elendige forkun- skaper, burde jeg sat meg in i det p? egen h?nd f?rst for ? f? maksimalt ut av forelesningen. T-F ? : Til dene forelesningen hade jeg ike forberedt meg. Det er ike verdens smarteste valg, men jeg finer 155 Forventningen og opplevelsen. Som forventet ut fra tidligere kommentarer hadde ingen av studentene verken store forventninger eler noen spesielt positiv eler negativ opplevelse av forelesningen. Alfa, Epsilon og Beta sa at det var vanskelig ? beskrive noen forventninger siden de ikke viste hva forelesningen skulle inneholde. Alfa og Epsilon samenliknet med tidligere forelesninger og sa at denne forelesningen var slik de tidligere hadde v?rt. Epsilon la til at han fikk mest hjelp av sine medstudenter. Beta forklarte lit mer om at han opplevde at det til tider gikk veldig sakte framover i timen og da mistet han tr?den. Likevel mente han ? ha f?t med seg det han skule, slik han oppfatet det. At matematikken blir forklart n?ye for dem som ikke forsto, s? han som positivt, selv om han selv opplevde det som kjedelig. Delta synes oppgavene gikk greit ? l?se n?r det var bare ? sete opp tabel og tegne graf, men han syntes ikke han hadde ale begrepene p? plas. Han beskrev forelesningen som kjedelig, men at det var bra at tempoet var rolig s? han ikke ble streset opp n?r han ikke fikk til alt. Gama mente forelesningen ble som han hadde forventet. Han begrunnet sin opplevelse av at den var kjedelig med at han ikke fikk nok utfordringer slik forelesningen ble gjennomf?rt. Sigma sa at forelesningen var grei, men at det var f? studenter til stede, og stemningen var noe ?treg?. Han forklarte dete med at det var fredag og lit langt p? dag, men samenliknet ikke med andre forelesninger. Tre av de seks respondentene brukte ordet kjedelig om forelesningene lit for lite utfordrende til at jeg gider ? forberede meg. T-F ? : Jeg hade ike lest noe pensum f?r dene forelesningen, men jeg hade v?rt ine ? funet temaet og set at dete var kjent. Forventning og oplevelse T-F ? : Siden jeg ike viste hva forelesningen skule handle om hade jeg ike noen forventninger heler, men set fra ale forelesningene vi har hat i matematik i ?r vil jeg si at forelesningen sto til forventningene mine. T-F ? : Siden jeg ike hade f?t forberedt meg, hade jeg vel ike s? mange forventninger. Jeg kan si at den lignet p? dem vi har hat tidligere, og jeg f?r mest hjelp av medstudenter. T-F ? : Forelesningen var grei. Syns det gik lit sakte og man f?r da f?lelsen av ? site ? vente til det komer noe som er verd ? f?lge med p?. Opgavene var gode og forklaringene n?ye. Fik med meg alt selv om jeg ike fulgte med hele tiden. T-F ? : Temaet var kanskje lit let og fordi jeg er sv?rt ut?lmodig og det er kjedelig n?r timen g?r sakte. N?r jeg sliper ? konsentrere meg. Jeg syns dete g?r igjen i mange mate timer. At det hele g?r lit tregt. T-F ? : Det er vanskelig ? si om forelesningen svarte til mine forventninger fordi jeg hade egentlig ingen positive eler negative forventninger. Dete fordi det eneste jeg viste om forelesningen var at det var mate. T-F ? : Det er sv?rt positivt at han tar ale sp?rsm?l p? alvor T-F ? : Opgavene som ble git i undervisningen gik bra n?r det bare er ? sete op tabelen og tegne grafen. Selv om jeg ike forst?r n?r helt hvilke tal jeg skal bruke og hvorfor. Jeg kan se en vis samenheng, 156 forelesningen. En sa at stemningen var pasiv, og to samenliknet med andre forelesninger uten ? gi noe utrykk for om de var interesante, kjedelige eler noe annet. Studentens l?ring Alfa sa p? den ene siden at han ikke l?rte noe rent matematisk, men kommenterte senere at han l?rte noe om funksjoner. Beta har l?rt noen nye matematiske uttrykk, men ikke noe om undervisning. Det hadde derimot Gama l?rt, han opplevde forelesers undervisningsmetode som eksempel til eget (Gamas) bruk i undervisningen. Siden Sigma ikke sa noe om ny kunnskap, kan man ut fra andre uttalelser anta at han ikke selv f?lte han hadde l?rt noe nytt. De to siste, Delta og Epsilon, beskrev flere konkrete begrep og uttrykk de mente de hadde l?rt. Delta ga en kort beskrivelse av et par punkter (se i kildehenvisning p? h?yre side) og Epsilon beskrev flere punkter, b?de matematisk og om undervisning, som jeg har valgt ? gjengi her: Jeg har l?rt at x aksen helst skal v?re lodret, og y aksen vanret. At dete ike er en regel, men at det er foretruket. Jeg l?rte ogs? at en ike skal iretesete elever som gj?r motsat av (?konvensjonen?), det viktigste er at eleven har forst?t, ogs? f?r en heler ?lirke in? iretesetelsen lit eter lit. Hvis eleven stadig blir utsat for iretesetelser, vil han kune miste lysten til ? l?re mer i det store og hele. Jeg har l?rt hvordan en kan plasere gite oplysninger in i en tabel og ut i fra dete lage en grafisk fremstiling. Jeg har l?rt at det er noe som heter definisjonslengde og verdimengde, men jeg har ike ful forst?else av hvordan en finer dise i opgaveteksten. Jeg har l?rt meg tegnet for uendelig? Jeg har l?rt om to ulike typer grafer, den ene kaltes en linjer funksjon, dete var en ret linje, og den andre kaltes (husker ike), men der var linjen i ale fal slik at den steg etapevis. men jeg har inset jeg har noen begrensinger i forhold til mange av begrepene. Det kan se ut til at jeg blander dem samen. T-F ? : Forelesningen totalt synes jeg var veldig grei, lit kjedelig, men ok. Det g?r i et rolig tempo, jeg ble ike streset op selv om jeg ike skj?nte alt. T-F ? : Jeg f?ler at forelesningen svarte til de forventningene jeg hade. T-F ? : For min egen del fant jeg timen lit kjedelig etersom jeg ike fik nok utfordring T-F ? : Helhetlig synes jeg fore- lesningen var bra. Det var lit fredagspreg, med f? studenter tilstede, som var lit trege ? dra i gang, plus at foreleser var lit pasiv, antakeligvis av same ukeslutgrun. Hva har du l?rt i dene forelesningen? T-F ? : Rent matematisk l?rte jeg ike noe s?rlig T-F ? : Det jeg l?rte i dene forelesningen var at vi skal bruke de fleste delene under funksjonene. (Graf, tabel, funksjon, situasjonen). T-F ? : Noen mateutryk har v?rt nye for meg. Og det har v?rt grei l?rdom. ? Elers f?ler jeg ike at presentasjons- metodene, didaktiken, metodiken er noe spesielt nyt og revolusjonerende. T-F ? : En positiv del av forelesningen var dete med at jeg fik opleve en ny eksempelbruk jeg har lite forkunskaper om. T-F ? : Sier ingenting om hva han l?rte. T-F ? : Jeg l?rte at man skal begyne med tabelen f?r man begyner p? grafen. Jeg tror jeg har f?t med meg forskjelen p? f(x) og x og y og s? videre, jeg kan ike forklare det, men jeg tror jeg kan se det ? det vil nok tiden vise. T-F ? : Se hovedtekst. 157 Opsumering av den enkelte studentens opplevelser Alfa Alfa sa det var en grei forelesning, at han hadde tilstrekklig gode forkunnskaper og at han m?tte uforberedt til forelesningen. Han hadde heler ikke sjekket temaet for forelesningen og viste til at denne forelesningen var som tidligere forelesninger han hadde deltat p?. P? akkurat denne forelesningen sier han f?rst at han ikke hadde l?rt noe matematikk, men sa senere at det var noe av det som ble gjennomg?t om funksjoner som han ikke viste fra f?r. Han utdypet ikke n?rmere hva han mente han hadde l?rt. Beta. Beta syntes starten p? forelesningen var lit vanskelig, men kom snart inn i stoffet selv om han ikke hadde forberedt seg. Han mente ogs? at han hadde tilstrekkelige forkunnskaper, at han hadde l?rt noen nye uttrykk, men at han ikke hadde l?rt noe om undervisningsmetoder. Forelesningen opplevde han som kjedelig og vile gjerne hat lit flere oppgaver ? l?se slik at han slapp ? f?lge med n?r det ble gjennomg?t ting han kunne. Gama. Gama mente han hadde tilstrekkelig gode matematikkforkunnskaper for det som ble gjennomg?t. Han viste hvilket tema som det skulle foreleses om, men hadde ikke forberedt seg fordi han mente han hadde kontroll p? det faglige. Selve forelesningen opplevde han som kjedelig fordi han ikke fikk noen utfordringer, likevel mente han det var en god presentasjon av funksjoner for dem som ikke kunne s? mye om det fordi oppgavene som ble brukt kunne relateres til praktiske situasjoner. Undervisningsmetodene som foreleser brukte ble av Gama oppfatet som eksempler til eterf?lgelse. 158 Delta. Delta vurderte sine forkunnskaper som for d?rlige og han beskrev forelesningen som kjedelig, men at det var bra at tempoet var s? langsomt slik at det ble tid til ? tenke lit n?r man l?ste oppgaver. Han hadde ikke forberedt seg til forelesningen fordi han hadde f?t beskjed om forskningsprosjektet dagen f?r. Dete kan tolkes som at selv om Delta ikke ans? sine kunnskaper som gode nok, s? hadde han likevel ikke tenkt ? g? p? forelesningen. N?r han forklarte hva han hadde l?rt, ga han en deskriptiv beskrivelse av begreper og metoder, ikke en forklaring p? matematikken han hadde l?rt. Epsilon. Epsilon hadde ogs? d?rlige forkunnskaper, og hadde ikke forberedt seg. Han var den av respondentene som syntes klasen var pasiv i starten, noe han tolket som at det var flere som ikke forsto. At han trodde det var geometri, og ikke hadde sjekket dagens tema, tolket jeg som at han gikk p? ale forelesninger uanset, men at det ikke var noen fast rutine i ? forberede seg. Som Delta ga han en deskriptiv forklaring av begreper og metoder n?r han skulle forklare hva han hadde l?rt, og flere av forklaringene hans avsl?rte ogs? misoppfatninger eler var helt gale. Sigma. Sigma sa at det var en vanlig forelesning og beskrev metodisk forelesers bruk av tavle og andre hjelpemidler, og at det var vekslende samtale og oppgavel?sing. Han mente han selv hadde tilstrekkelig gode forkunnskaper, og at han m?tte uforberedt fordi han fant forelesningene for lite utfordrende til ? sete inn en egeninnsats. Denne forelesningen sa han hadde preg av at den var p? fredag etermiddag fordi tempoet var tregt. Han svarte ikke p? om han hadde l?rt noe. Forelesningen set i forhold til holdninger og oppfatninger. Studentenes holdning til det ? forberede seg til forelesningene s? ut til ? v?re preget av at de trengte ikke ? gj?re det fordi de regnet med at stoffet ble gjennomg?t for dem eler at de mente de kjente stoffet godt nok fra f?r. Fem av de seks sjekket ikke en gang planen for ? se hva som var tema for forelesningen. En annen feles oppfatning var at timene var kjedelige, og de begrunnet det med at det var kjedelig ? h?re p? at ting ble 159 gjennomg?t gang p? gang for dem som ikke forsto. Det ble ogs? nevnt en ikkefaglig ?rsak til at timen var kjedelig, nemlig at det var fredag. Dise oppfatningene som var feles for ale uanset positiv eler negativ holdning. S? den oppfatningen studentene ga som gruppe var at matematikkforelesningene ga for lite utfordringer til dem som hadde god forkunnskap, samtidig som det kunne v?re i vanskeligste laget for dem som ikke hadde like god forkunnskap, at timene var kjedelige og at det ble forventet at foreleser var ansvarlig for at ale studentene fikk en utfordring. Det kan tyde p? at de hadde en instrumentel forst?else (Skemp, 1986) av undervisning og l?ring, og et instrumentelt fornuftsgrunnlag for l?ring (Melin-Olsen, 1984). For de fleste var dete metoder de kjente, og da var det ikke noen grunn til ? stile sp?rsm?l ut over det som ble vist. Min oppfatning under forelesningen var at foreleser gjorde flere fors?k p? ? skape faglige diskusjoner. Han brukte presentasjonen av Janviertabelen og flere eksempler knyttet til denne. Ingen av studentene tok imot hans invitasjoner til matematikkfaglige diskusjoner, men svarte kun p? konkrete sp?rsm?l. Dete gjaldt b?de de seks respondentene og resten av dem som var tilstede i klasen. Ingen av studentene vil ut fra sine tekster fra forelesningen bevege seg utover niv? 0 i Pehkonens tabel (s. 31) verken om hva matematikk er, hva innl?ring og undervisning av matematikk er eler hva som er elevene og l?rernes roller. 5.4.3 Beskrivelser av en seminargruppetime. Hva er egentlig oppgaven her? Seminargruppetid var definert som arbeidstid der studentene skulle v?re aktive, for eksempel ved ? l?se oppgaver, ha presentasjoner for sine medstudenter eler gjennomf?re annet selvstendig arbeid. Dise arbeids?ktene var obligatoriske, s? studentene m?te ha minst 80% tilstedetilv?relse for ? f? g? opp til eksamen, det var derfor st?rre oppm?te p? dem enn p? forelesningene, som var frivilige. L?reren hadde i dise timene en rolle som veileder, og det var han som bestemte opplegget og sate i gang eler styrte arbeidet. I dise arbeids?ktene var temaet gjerne knyttet direkte til 160 temaet som ble gjennomg?t p? forelesningene i same periode. Den seminargruppetimen som blir beskrevet her varte i 1 time og 45 minutter, inklusiv pause. L?reren snakket til samlet klase i starten og slutten av perioden, og studentene bestemte selv n?r de vile ha pause. Seminargruppetimen som jeg hadde valgt ut til denne unders?kelsen, var knyttet til to forelesninger om funksjoner, den f?rste av dise er beskrevet i kap. 5.4.2. L?reren innledet timen med ? gi en kort oppsummering fra de to forelesningene: Dereter delte han ut oppgaveark og ba studentene prioritere ? arbeide med oppgave 1, 2 og 7 fordi det var dise han vile gjennomg? i slutten av timen. Jeg var tilstede og observerte studentene, b?de respondentene og de andre studentene i denne gruppa mens de arbeidet, men jeg valgte ? ikke delta i deres diskusjoner eler p? annen m?te v?re aktiv i timen. Ved direkte tiltale svarte jeg p? sp?rsm?l. Ansvarlig l?rer gjorde det same. Respondentene fikk selv velge arbeidsm?te og hvem de ?nsket ? samarbeide med. Jeg vil i mit referat fra timen kort beskrive oppgavene som l?rer prioriterte og hvordan jeg opplevde studentenes deltakelse da de ble gjennomg?t i slutten av timen. Den f?rste oppgaven besto i ? skisere en funksjon som kunne pase til en git tekst. Det var ogs? git hva slags verdi aksene i grafen skulle ha. For eksempel: a) Vektl?fteren hever stanga og holder den skjelvende over hodet i et par sekunder. S? kaster han den ned med et brak. Tid ? h?yden av stanga. b) Jo fortere du reiser, jo fortere kommer du fram. Fart ? Reisetid. Teksten opplyste bare om et hendelsesforl?p, og inneholdt ikke noen numeriske opplysninger, men oppgavetypen er avsl?rende for den enkelte students forst?else av et grafuttrykk. For mange av studentene ble dete veldig vanskelig, s? de aler fleste valgte seg noen tal som kunne pase til teksten f?r de tegnet funksjonen. En student som sat n?r meg, henvendte seg til meg for ? si at han ikke likte oppgaver som ikke er relatert til virkeligheten. Han syntes at matematikk var h?pl?st, men i forhold til ?konomi og sannsynlighet var det ok. Han utdypet ikke sine p?stander i forhold til oppgavene p? 161 arket, men som mange av de andre valgte han seg noen tal som kunne pase med teksten f?r han laget sin skise av funksjonene. En annen kommentar som jeg overh?rte i timen var at en student f?lte at han m?te lese mer (forberede seg bedre) f?r han kunne klare dete. Respondentene valgte ulike former for samarbeid n?r de l?ste oppgavene. Alfa valgte ? arbeide samen med en annen student, Beta jobbet alene. Epsilon og Delta arbeidet i hver sin trergruppe og Gama og Sigma var i same gruppe som f?rst hadde 4 deltakere og som senere ?kte til 6 deltakere. I den siste gruppa virket det som Gama hadde en ledende rolle, at det var ham de andre henvendte seg til n?r de trengte hjelp. Da oppgavene ble gjennomg?t, pr?vde l?rer ? f? studentene til ? foresl? og begrunne sine svar. Den f?rste oppgaven (se oppgave a) over) ble diskutert b?de i forhold til hvordan et l?ft skulle foreg? og hvordan dete vile framtre som en funksjon. Jeg oppfatet det slik at l?rer og studenter fort ble enige om l?sningen p? denne oppgaven. Oppgave b ble diskutert i forhold til hvilke verdier, fart og tid, som h?rte hjeme p? henholdsvis x-aksen og y-aksen. Ved hjelp av formelen for vei, fart og tid omskrevet p? generel form, y = k/x, ble det motbevist at det kunne bli en line?r funksjon. Bruken av uttrykk som omvendt proporsjonalitet og den algebraiske algoritmen s? ut til ? v?re vanskelig ? f?lge for mange av studentene. B?de denne oppgaven og de tre neste oppgavene ble styrt av l?rer da studentene tilsynelatende var lite vilige til ? ta et initiativ eler bidra p? andre m?ter. Oppgave 2 gikk ut p? ? tolke et punktdiagram der den vannrete aksen anga vekt og den loddrete anga pris for seks ulike sm?godtposer. Studentene s? her ut til ? forst? diagramet og svarte raskt og riktig p? sp?rsm?lene som varierte melom forst?else av tyngst, dyrest og dyrest pr hekto. I oppgave 7 var det tegnet seks ulike flasker, f.eks. en kule med tut p? eler en V-formet flaske med flat bunn, og ni ulike funksjoner som viste volum ved fyling av flaskene. Studentene skulle s? koble de seks flaskene til hver sin funksjon og s? tegne tre flasker som paset til de siste funksjonene. Alerede f?rste flaske skapte diskusjon ved at to av 162 funksjonene ble foresl?t. L?reren sa at han valgte ? vente med ? gi svaret, og gikk til neste flaske fordi han viste at del b av oppgaven, alts? n?r studentene skulle tegne flaske som h?rte til de gjenv?rende funksjonene, vile komme til ? tydeliggj?re studentenes valg. Mange av studentene var aktive i denne gjennomgangen, men det var ogs? noen som ga uttrykk for at de ikke forsto. Da del b ble gjennomg?t, var det b?de noen som fikk en bedre forst?else, og noen som ga helt opp. De seks respondentene var verken spesielt aktive eler meldte seg helt ut i diskusjonene ved gjennomgangen av oppgavene. P? same m?te som eter forelesningen gikk vi direkte til en datalab for ? skrive ned v?re erfaringer fra seminartimen. Jeg delte ut ark med veiledende sp?rsm?l, og ga respondentene valget melom ? svare p? dem et for et, eler ? skrive en mer samenhengende tekst. Det siste sp?rsm?let jeg hadde til dem, var retet mot presentasjoner som studentene hadde gjennomf?rt tidligere, men som ikke ble gjennomf?rt den gangen jeg var tilstede. Dise presentasjonene gikk ut p? at en gruppe studenter skulle ha forberedt et undervisningsopplegg over et git tema og retet mot et bestemt klasetrinn. Dereter presenterte de arbeidet sit for de andre studentene, enten som forelesning eler de gjennomf?rte undervisningsopplegget som l?rere for sine medstudenter. Studentene valgte ulike m?ter ? presentere sin opplevelse p?. Noen av dem fulgte mine forslag og andre skrev i en rekkef?lge som paset dem, eler hoppet over deler som de mente de hadde svart p? tidligere eler som de valgte ? ikke svare p?. Noen av svarene ble veldig like, slik som dem som beskrev temaet og planen for timen. I de tilfelene har jeg bare valgt ut en representant i kildeteksten. Alfa sa ikke noe om tema, men beskrev planen for timen og kommenterte at han syntes dete var en grei arbeidsform fordi han fikk brukt sine kunnskaper p? en konstruktiv m?te i samarbeid med andre. Som beskrevet over, valgte han ? arbeide i par samen med en annen student. Beta T-S ? : Vi fik utdelt opgaveark med til samen sju opgaver, vi fik beskjed om at vi m?te gj?re 1, 2 og 7. Dise ble gjenomg?t p? tavla p? sluten av timen. Noe som er en helt grei arbeidsform T-S ? : Dete er en arbeidsm?te som jeg liker. Jeg komer til rete, mye komer sikert av at jeg altid har likt matematik, og f?t til det meste av opgaver som jeg har f?t i min skolegang. I tileg tror jeg at jeg har vist for klasen at jeg kan en del mate og p? grun av dete stoler de andre p? meg og mine vurderinger av opgaver eler problem- stiling. Noe som er greit. T-S ? : Jeg valgte ? jobe individuelt dene ?kta. 163 valgte ? l?se oppgavene alene, men reflekterte i etertid over at det kanskje ikke hadde v?rt det lureste valget, siden han hadde en del feil som kunne ha v?rt oppdaget i et samarbeid. Delta syntes oppgavene var greie n?r han fikk site samen med noen som kunne matematikken. Han mente at selv om ikke ale svarene var riktige, hadde de l?st ale oppgavene. Gama plaserte seg selv i rollen som veileder og st?tte for to studenter som ikke hadde gode nok kunnskaper om emnet fra f?r. Slik Gama beskrev dete, tolket jeg det som at han mente dete kunne v?re en god erfaring i forhold til sin komende l?rerolle. Sigma beskrev sin rolle p? same m?te som Gama gjorde, alts? at han opplevde seg selv som veileder og at han gjorde seg erfaringer som han kunne ha nytte av i jobben som l?rer. De andre studentene valgte ? sete seg i hans gruppe, som om de hadde erfaring med at det var der de h?rte hjeme. S?rlig de to siste som kom, gjorde sine valg uavhengig av at gruppa da ble veldig stor og det var trangt om plasen. Respondentgruppa fordelte seg alts? ved at Alfa, Gama og Sigma tok veilederoller, Beta valgte ? jobbe alene, og Delta og Epsilon ga uttrykk for at de var avhengige av hjelp fra andre som kunne mer om dete matematiske emnet enn dem. Delta beskrev ogs? resultatet av samarbeidet var at de fikk det til (oppgavene) selv om de ikke fikk alt ret. Studentenes forkunnskaper og den enkeltes forberedelser for seminargruppearbeidet var stort set som beskrevet under forberedelser. Ingen hadde lest, men ale hadde v?rt T-S ? : Jeg jobet individuelt og det gik ganske kjapt, jeg var ferdig lenge f?r opsumeringen. Men jeg tapte kanskje noe med det ? jobe alene. Jeg fik noen feil p? opgavene som jeg kanskje hade ung?t hvis jeg hade jobet samen med noen andre. T-S ? : Opgavene var greie, med lit forskjelig vanskelighetsgrad. Det gik veldig greit n?r man f?r site ved siden av noen som kan det og vet hva man skal gj?re. For meg er det den beste l?ringen. Vi sat tre studenter og l?ste opgavene samen, det fik vi til selv om vi ike fik alt helt ret. T-S ? : Min role under dene ?kta ble som en form for st?te eler veileder for to andre studenter som ike hade ale de forkun- skapene som ?kten forutsate. Dete er en role som jeg f?ler er viktig b?de for egen og for medstudenters l?ring. T-S ? : Som student har jeg dene seminargrupe?kta sitet i ei grupe p? f?rst fire, s? seks. To til tre av dise medstudentene siter ofte samen med meg for ? f? lit ekstra hjelp. Ike for ? f? servert svarene, men for ? f? hjelp til ? forst? hva de skal gj?re, hvordan og hvorfor. Dete synes jeg er helt top. Det gir meg mer utfordring og det er l?rerikt,? Forberedelse og for- kunskap T-S ? : Men det vile v?re n?dvendig med en form for forst?else av grafer og produksjon av grafer eter kodene. Hvis du jobet i grupe med flere trenger man ike mye bakgruns- kunskap fordi man kan f? hjelp av andre. T-S ? : Jeg hade ike 164 p? minst en forelesning, s? forkunnskapene var ?kt med deltakelsen p? forelesningene. Det var ingen av dem som beskrev konkrete matematisk kunnskaper ved ? bruke matematiske uttrykksformer. Med det mener jeg at de sa for eksempel ikke at de hadde kunnskaper om line?re funksjoner, annengradsfunksjoner eler liknende, de henviste kun til forskjelige arbeidssituasjoner, slik som at de hadde v?rt tilstede p? en eler to forelesninger om emnet, eler at de var p? en gruppe der en eler flere av de andre som kunne noe mer. Beta snakket om grafer, men ikke om funksjoner. Delta sa at oppgavene hadde forskjelig vanskelighetsgrad, men ikke hva han la i det. Han snakket ogs? om grafer uten ? knytte dem til funksjonsuttrykk eler annen representasjon, og han sa at det for ham var en forutsetning at han hadde deltat p? forelesningen dagen f?r (ikke den som er beskrevet i kapitel 5.4.2), for at han skulle klare ? l?se, eler f?lge med p? l?sningen, av oppgavene som ble git. Epsilon ga ogs? uttrykk for at han syntes matematikken var vanskelig, og at han var for d?rlig forberedt til ? kunne klare ? l?se oppgavene som var git p? egen h?nd. Han understreket dete ved at han p?sto at han nok ikke hadde klart oppgavene selv om han hadde lest og f?t med seg begge forelesningene. Han klarte heler ikke ? se samenhengen melom det som var gjennomg?t p? forelesningene og oppgavene de ble bedt om ? l?se. Gama hadde forberedt seg ved ? v?re tilstede p? de to forelesningene og ans? dete som godt nok i og med han f?lte han hadde gode kunnskaper om emnet fra f?r. For Sigma var det erfaringen om at timene vanligvis ga lite utfordringer som gjorde at han ikke hadde forberedt seg. forberedt meg til dagens seminargrupe anet en jeg var tilstede i g?r og leste lit i pensumboka. Opgavene var greie, med lit forskjelig vanskelighetsgrad. T-S ? : En viktig forutsetning for dagens opgaver var nok at man hade v?rt p? forelesningen i g?r. Jeg vile nok ike forst?t s? veldig mye av hva slags type grafer man skule tegne og hvorfor T-S ? : Som et minimum burde jeg f?t med meg bege forelesningene, samt og f?t lest kapitlet i boken forut. Selv om jeg hade f?t gjort alt dete vile jeg sikert ha f?t problemer likevel. T-S ? : Eter lit starthjelp gik det lit bedre, men jeg kan ike si at jeg kjente mye igjen fra den forelesningen jeg var med p? fredag. T-S ? : F?r dene seminargrupe?kten hade jeg forberet meg ved ? v?re til stede p? forelesning fredag og mandag. Dete f?ler jeg for min del var god nok forberedelse etersom mine forkunskaper inenfor emnene er forholdsvis gode. T-S ? : Som jeg sa i forige besvarelse, s? er jeg ike s? flink til ? forberede meg til matematik timene fordi timene er for lite utfordrende for meg. Oplevelsen av seminargrupe?kta T-S ? : Jeg har l?rt at jeg l?rer mye mer n?r noen m? forklare meg hva de tenker eler n?r jeg selv m? gj?re det. Det krever mer av de som l?ser opgaven, de m? kune forsvare det de har gjort. Noe som ike altid er s? let. T-S ? : Dene ?kta opfatet jeg som godt planlagt etersom arbeidsmengden hade utvidelsepotensial gjenom ekstraopgaver. 165 P? sp?rsm?let om hva de hadde l?rt, erfart og opplevd i denne arbeids?kta, var det ingen av respondentene som ga noen beskrivelse av matematikken ved ? bruke uttrykk som naturlig vile h?rt til den matematiske kunnskapen de hadde brukt for ? gjennomf?re oppgavene. Alfa beskrev metal?ring ved ? framheve at han selv hadde stor nytte av ? beskrive og forklare oppgavel?singen for andre og n?r han lyttet til andres beskrivelser og forklaringer. Gama valgte ? svare p? sp?rsm?let ved ? beskrive seminargruppetimens innhold og muligheter. Han opplevde oppgavene relevante til tema og s? ogs? mulighetene for diferensiering. Sigma ga uttrykk for ? ha f?t utfordringer som han kunne h?ndtere, og som ga ham mulighet til ? v?re aktiv b?de som individ og i gruppa. Betas svar tolket jeg ogs? til at han fikk gode utfordringer og at han fant oppgavene utfordrende. Han bruker begrepet ?skjema? og jeg antar at han der viser til Piagets teorier. Delta sa tidligere at han opplevde gruppearbeidet som positivt fordi han da kunne f? hjelp av medstudenter n?r det var noe han ikke forsto, likevel ?nsket han mer aktivitet fra l?rers side og ogs? at l?rere hadde git en faglig repetisjon p? helt element?re ting som navnet p? de ulike grafene og funksjonene. Epsilon ga uttrykk for at han var forn?yd med egen insats, men sa ogs? at han ble frustrert og ukonsentrert, uten at han ga noe mer forklaring p? hva som var ?rsaken. I intervjuet som ble gjort et par m?neder senere sa Sigma at han syntes seminargruppene virket lit slappe av og til, noe de andre respondentene bekreftet i forskjelige tekster. Til slutt ble de spurt om hvordan de hadde opplevd T-S ? : Dene type jobing liker jeg fordi vi f?r mulighet til ? tenke gjenom og pr?ve opgavene f?r vi gjenomg?r dise. I tileg er det vi studentene som komer med forslagene til l?sningene p? opgavene og ike foreleseren. T-S ? : Opgavene var veldig varierte inenfor same tema. Dete gjorde at jeg stadig m?te tenke nyt inefor de skjema som jeg hade ovenfor temaet fra f?r av. Dete gjorde at interesen for opgavene holdt seg hele veien. Spesielt opgave 7 var veldig spenende og tvang meg til ? tenke nyt. T-S ? : Jeg savnet i seminargrupa at l?rerne gik rundt og fulgte med. Kanskje f?t os til ? tenke mer p? noen av opgavene, om vi hade skj?nt det ogs? videre. Det kune ogs? v?rt en liten repetisjon p? hva de forskjelige grafene/ funksjonene heter osv. T-S ? : Jeg var aktiv i forhold til ? arbeide med opgavene, men jeg kjente likevel at jeg ble frustrert og ukonsentrert av ? holde p? med det. T-I ? : ? men seminar- grupene er kanskje lit?eh? de virker lit slap av og til Oplevelse av undervisningsopleg presentert av medstudenter T-S ? : Det jeg har lit problemer med dete er, hva er egentlig opgaven i dete. Skal vi l?re noe mate, skal vi f? se matematikopleg som fungerer. Noe som jeg synes at andre studenter heler ike er helt siker p?. T-S ? : ?jeg synes ike de undervisningsoplegene som har v?rt i seminargrupene har v?rt s? ?.de har v?rt s? d?rlig, nesten ale samen fordi at ?eh?de har ike git meg 166 undervisningsoppleggene som var presentert av de andre studentene. P? grunn av sin deltakelse i forsknings- prosjektet, var de seks respondentene fritat fra denne oppgaven s? de hadde ikke selv gjort noen erfaring med ? gjennomf?re et slikt opplegg, men de hadde v?rt tilstede p? dem. Studentkullet var delt i fire seminargrupper, og respondentene var fordelt p? gruppene slik at ale seks ikke hadde set de same presentasjonene. Alfa, Gama og Sigma var i same gruppe, mens de andre tilh?rte hver sin gruppe. Alfa og Beta var ganske enige om at presentasjonene hadde tilf?rt dem lite ny kunnskap. Dete begrunnet de med at det var d?rlig struktur p? opplegget. Delta og Epsilon var ikke p? same gruppe som de to foreg?ende og hadde opplevd presentasjonene som nyttige selv om mye av det de s? var tradisjonel undervisning. De hadde ?nsket seg et mer variert repertoar av undervisningsideer. Epsilon mente at det matematiske niv?et til studentene var lavere enn fagl?rers, og at det var en fordel for da var det enklere ? forst?. Gama mente at det som var presentert var interesant og relevant for dem som l?rerstudenter. Spesielt trakk han fram en gruppe som hadde presentert matematikkverksted som undervisningsmetode, noe som var nytt for ham. Sigma hadde ogs? f?t presentert en metodisk vinkling som han ikke kjente til fra f?r, nemlig spil som verkt?y for ? l?re matematikk. Elers opplevde han presentasjonene som lit for mye foredragspreget, og at matematikken som ble gjennomg?t, stort set var repetisjon og d?rlig framf?rt siden studentene hele tiden trengte ?jukselapper? for ? noen ting. T-S ? : Det har v?rt standard undervisning som du har set tusen ganger f?r. T-S ? : ?veldig gjenomtenkte i sine undervisningsopleg og fulgt en ganske tradisjonel undervisning med gjenom- gang av noe nyt p? tavla og s? gj?re opgaver. Det burde kanskje v?rt et krav om at man skule fine andre undervisningsformer en det. Da hade vi som studenter l?rt mer av hverandre og fat tips og ider til man en gang selv skal ha undervisninger. T-S ? : Generelt set synes jeg at jeg f?r mye ut av ? f? med meg dise. Medstudentene leger som oftest lista lit lavere en det matel?rerne gj?r n?r de gjenomg?r, derfor blir det enklere ? f?lge med. Niv?et deres liger p? ca. 7.-8. klase og det er vist mer en s? h?yt nok for meg. T-S ? : Spesielt syntes jeg en grupe som brukte mate- matik verksted im?tekom det andre interese omr?det, og gjenom deres opleg fik jeg se en undervisnings- form jeg ike tidligere har hat erfaring med. T-I ? : Vi ble delt i gruper og spilte matespil. Dete likte jeg fordi matematik er s? enormt mye mer en ? regne i ei bok der ferdige matestyker er tryket slik at det bare er ? fyle in svaret. Det var lit for mange rene foredrag fra mange av grupene. Det var greit ? f? repetert en del regler, men det ble lit kjedelig i lengden med en reke studenter som sto ? aktivt brukte jukse- lapene sine. T-S ? : De oplegene som har v?rt d?rligst er de som skal ha os til ? spile en role. Eks. 5 klase. T-S ? : *?fik opgaver selv 167 huske det de skulle si. Noen av gruppene som presenterte undervisningsopplegg ba sine medstudenter om ? spile elever p? ulike klasetrinn. For Alfa ble dete den d?rligste kategori av presentasjoner, mens Delta mente at han ved ? spile sjeteklaselev, kunne han letere sete seg inn i denne aldersgruppas tenkem?ter. Da l?rte han mye av hva som foregikk p? dete trinnet. Det ble ogs? eterlyst mer veiledning og retningslinjer i forhold til undervisningsoppleggene. Det kan ha v?rt en ?rsak til at de var s? variert i kvalitet. som vi m?te gj?re og late som vi var den 6. klasen som opleget var tilretelagt for. Man fik et lite inblik i hva slags forventninger l?rerne har til elevene og hvilke forkunskaper de burde ha. Det viste seg fort at mange ike klar?* 5.4.4 Matematikkutviklingsdagboka, om bevisstgj?ring av egne matematikkunnskaper I fortelingene om hver respondent i caseniv? 1 har jeg referert den enkeltes opplevelser av matematikkutviklingsdagboka (MUD). Studentene hadde ulike oppfatninger b?de om gjennomf?ringen og intensjonen med arbeidskravet. I oppgaveteksten for arbeidskravet er MUD beskrevet slik: Matematikutviklingsdagboka er en lit anerledes type log som vi mener kan v?re med p? ? utvikle deg til en god matematikl?rer. Ja, kanskje en bedre l?rer i det store og det hele fordi dene m?ten ? arbeide p? vil bevistgj?re deg i forhold til dine (matematik)-kunskaper og hvordan du tenker (n?r du l?ser opgaver). Dete er viktige refleksjoner i forhold til din framtidige undervisning. Arbeider du slik du skal, vil boka ogs? gi deg gode indikasjoner p? hvilke emner du m? jobe ekstra med og hvilke du bare kan finpuse. Hensikten med dete arbeidskravet er ikke ? teste studentens matematikkunnskaper, men ? bevistgj?re studenten p? egne evner til ? forklare og forst? hva som skjer n?r man l?ser en matematikkoppgave. Det gis b?de ?pne og lukkede oppgaver, og de sistnevnte presenteres som probleml?sningsoppgaver. Eksempel p? oppgaver: 168 ? ?pen oppgave: Du skal dele opp et kvadrat i fire eksakte like biter p? s? mange m?ter som mulig. Kommenter dine l?sninger grundig. ? Lukket oppgave: Hvor mange ganger i l?pet av et d?gn st?r lileviseren og storeviseren p? ei klokke vinkelret p? hverandre? Begge dise oppgavene var det noen av respondentene som besvarte, og begge oppgavene ble besvart med tegninger og mer eler mindre velykkede matematiske forklaringer. En av respondentene innledet den ?pne oppgaven med ? skrive: Er ike helt siker p? framgangsm?ten her og om vi f.eks. kan bruke rutenetet. Du kan jo dele det opp b?de diagonalt og horisontalt. Det er sikert et regnestyke som g?r an ? bruke. Kommentaren om det var lov ? bruke rutenetet og at han antok det finnes et regnestykke, alts? en algoritme eler formel, som kunne brukes, viser noe av usikkerheten som studentene opplever med denne typen oppgaver. De er ikke vant til at ?alt? er tilat bare det gis et svar som de begrunner. En annen respondent som pr?vde seg p? klokkeoppgaven, kommenterte at det var den oppgaven som jeg l?ste raskest. Tenkte +/ - 15 min. med en gang. I sine refleksjoner viste same student til at han mente at l?rerutdanningensns m?l var ? se om studentene forsto at en oppgave kunne l?ses p? ulike m?ter. Han l?ste ingen av oppgavene p? flere m?ter selv, tvert i mot valgte han minste motstands vei, noe mange gj?r, og fant derfor ikke ale l?sninger eler l?ste oppgavene feil fordi refleksjonene var for overfladiske. Jeg har beskrevet MUD i fortelingene om den enkelte respondent og generelt kan man si at ale s? en vis nytte av ? gjennomf?re oppgaven. Oppgavel?sningene deres viste veldig variert arbeidsinnsats. Noen hadde vist et minimum av matematikk og skrevet lite om hvordan de var kommet fram til et svar, mens andre hadde b?de mye matematikk og detaljerte tanker om egen proses n?r de l?ste oppgavene. Det hadde v?rt rimelig ? anta at det var de som hadde et positivt syn p? egne matematikkunnskaper som leverte de beste besvarelsene og dem som tvilte p? egne matematikkunnskaper leverte de d?rligst besvarelser, men det viste seg at det var levert b?de gode og d?rlige l?sninger uanset holdning til matematikk. 169 5.5 Fortelende analyse: Caseniv? 3 Caseniv? 3 er en oversikt over respondentenes opplevelser av matematikk 1-kurset. Kapitlet bygger derfor p? resultater fra ale de foreg?ende trinn i analysen, nemlig sp?rreskjema 1, fortelingsanalysen og den fortelende analysen, caseniv? 1 og 2. I tilegg vil jeg presentere respondentenes egne tilbakeblikk og kommentarer til kurset. 5.5.1 Studentenes erfaringer og deres forslag til endring av kurset Matematikk 1-kurset g?r over to semestre og gir 30 studiepoeng. I h?stsemesteret var didaktikken hovedtema og det ble arangert en hjemeksamen i didaktikk, i v?rsemesteret var det lagt mer vekt p? matematiske temaer med en skoleksamen p? slutten av ?ret. Denne inndelingen var ikke endelig fordi det ble tat opp matematiske temaer p? h?sten og didaktikken var ogs? med p? v?ren. Respondentene fulgte et fulltidskurs, og hadde undervisning hver uke n?r de ikke var i praksis. Undervisningen besto i felesforelesninger med frivilig fram?te og seminargrupper med obligatorisk fram?te. Det var ogs? git et tilbud om forkurs for dem som ?nsket det. Alfa hadde en positiv holdning til matematikken og hadde h?ye forventninger til seg selv i forhold til karakter, men fikk til slutt en D. Han var en av de studentene som stilte opp som veileder for sine medstudenter n?r det var gruppearbeid. Han var sjelden p? felesforelesningene og begrunnet dete med at han fant dem kjedelige og lite givende fordi han kunne matematikken fra f?r. Hans kommentarer til kurset var: ? Ja det er jo det om ? f? et ordentlig forkurs for de som trenger det. ? Jeg har egentlig et negativt (forhold til kurset), men det er mer p? grunn av at det er stort skile i klasen. ? ? Og vi kunne gjerne hat mer metodikk og vi har jobba, n? i det siste har vi hat mer oppgaver, og det har v?rt veldig fint. ? Der har vi knyttet teorien til stofet. Men det har vi f?t n? i det siste. Men metodikk og det at det skal stiles krav til forkunnskaper. 170 Tidligere hadde Alfa sagt at han ikke forberedte seg hvis han deltok p? forelesningene fordi han regnet sine forkunnskaper i matematikk som gode nok i forhold til det som ble gjennomg?t der. Siden det er en klar samenheng melom stoffet som gjennomg?s p? forelesningene og oppgavene som gj?res i seminargruppetimen, mente han at han fikk en god nok oversikt over stoffet ved ? m?te i seminargruppetimene. Dise timene var desuten obligatoriske, s? der var han n?dt til ? m?te. Det kan se ut som at han tenkte seg at alt pensum vile bli gjennomg?t av l?rer, men siden det ikke er tilfelet s? var det forst?elig at det ikke gikk s? bra for ham p? de ulike eksamenene. For Beta var kurset GLSM, semesteret f?r matematikk 1-kurset, en positiv opplevelse i forhold til matematikk og ut fra de erfaringene forventet han rimelig gode resultater i matematikk 1-kurset selv om han ikke ans? sine tidligere matematikkprestasjoner som s? veldig gode. Han hadde ogs? en positiv erfaring fra praksis der han hadde pr?vd ut en ide han fikk underveis i et storylineopplegg. Han vile gjerne hat mer om metoder enn han opplevde han hadde f?t. Som Alfa fant han det vanskelig ? akseptere at mange studenter ikke hadde nok matematikkunnskap slik at mye tid p? forelesningene gikk med til ? repetere kunnskap man burde hat fra f?r. Han beskrev ogs? forelesningene som kjedelige av den grunn. ? ? men hvis de synes matematikken er vanskelig, s? er det jo lit deres ansvar og ? kome til det niv?et. Jeg synes det blir lit s?nn ?daling? hvis det skulle g? den veien at det skule bli letere. S? jeg er lit usikker p? hvordan ? ? ? ? eh ? n?r du f?rst blir l?rt didaktikken f?r du f?r kunnskapen, ? eh i utgangspunktet, i hvert fal s?, s? h?res det i mit hode lurere ut f?rst ? l?re kunnskapen og s? didaktikken. Alts? en klarere skile der kunne i hvert fal jeg foretrekke. ? Elers s? har jeg ikke s? mye negativt. Jeg synes det var veldig bra n?r ? s?nn som n?, n?r vi g?r veldig s?nn ? n?r de underviser om selve maten her ? s? synes jeg det er veldig bra n?, ? n? har vi ? n? gjennomg?r vi alt som vi har hat f?r, n? gjennomg?r vi oppgaver, vi l?ser oppgaver p? tavla. Det synes jeg er en veldig bra m?te. 171 ? Det har ikke v?rt noe mer alts?. Det har v?rt standard undervisning som du har set tusen ganger f?r. Eh ? s? ? eh ? hvis oppgavene hadde v?rt mer s?nn at du skal presentere matematikk p? en ny m?te, s? kunne det v?rt mer verdi i det. Men det er jo ikke det. Jeg tror, jeg kan ikke huske et eneste opplegg som det har v?rt noe nyskapende, eler ? ? ? man har jo snakka om mateverksted og s?nn, men jeg har ikke opplevd noe mateverksted egentlig ? Men hvis man vil ha lit mer kreativ, ? lit mer variasjon i maten s? b?r man kanskje l?re studentene, ? eler gi noen flere ideer om hvordan man kan gj?re det. Ja, mer verkt?y. Totalt set sa Beta at han hadde oppn?dd det han hadde ?nsket seg i forventningsloggen. Han var ogs? blit mer positiv til seg selv som bruker av matematikk. Det vil si han hadde erfart at han faktisk var blant dem i klasen som forsto matematikken best. Gamma ga ingen direkte tilbakemeldinger p? kurset som helhet. I referatet fra forelesningen sa han at han opplevde den som kjedelig fordi l?reren m?te gjennomg? matematikken s? mange ganger da det var flere som ikke hadde nok forkunnskaper slik han oppfatet det. Gama var den av respondentene som oppfatet det didaktiske innholdet som var lagt til forelesningen om funksjoner selv om det ikke eksplisit ble sagt at dete var didaktikk. Han var ogs? opptat av at matematikken skulle ha en praktisk nytte. Hvis man fikk presentert den i en praktisk samenheng, vile det v?re enklere ? forst?. I tilegg viste han stor interese for ? se forskjelige l?sningsmetoder og ?nsket ? gruble p? matematikken selv om han ikke direkte viste dete i praksis i sin MUD. At han fikk god karakter p? den avslutende eksamen viste at han hadde kunnskaper nok til b?de ? gjennomf?re matematikken, og ? sete den i perspektiv slik oppgavene krevde. Delta hadde i utgangspunktet en negativ erfaring med matematikk, men opplevde matematikk 1-kurset som en positiv egenutvikling selv om han fortsat reserverte seg ved tanken p? ? undervise matematikk. Ogs? han opplevde forelesningene som kjedelige, men han begrunnet det med at l?reren gikk for fort fram og burde brukt mer 172 tid til ? forklare, alts? motsat begrunnelse av Alfa, Beta og Gama. Som de andre sate han sp?rsm?l ved rekkef?lgen av tema i kurset og s? p? h?st og v?r som atskilte didaktikk og matematikk semestre, og ikke slik det var ment at man p? h?sten la mest vekt p? didaktikk, men i samenheng med matematikk, og p? v?ren var det matematikk med didaktikk. ? For vi f?r jo ikke noe intrykk av en foreleser som bare st?r og forteler om hvordan du kan undervise. For det ? det g?r inn og det g?r ut, s? det synes jeg har v?rt veldig lite av. Alts? vi blir fortalt hele tiden om hvor? ja at dere m? huske ? se eleven, finne p? andre ting, bruke hjelpemidler, og ? s?nne ting. Men s? har vi kanskje bare hat en eler to s?nn seminargrupper der vi har f?t bruke hjelpemidler selv. Liksom. S? jeg har aldri brukt terninger og knapper i s?nn forstand. ? Ja, jeg synes mange ut av de har v?rt liksom eh ? har presentert regnehistorier, eh ? hvordan de kan ? alts? hvordan begynne ? fortele en historie ? fra b?de sm?barnskolen og videre oppover, ikke sant. Og hvordan de kan bruke figurer, bruke klaserommet til ? m?le ting, ikke sant. Det er ting som jeg ikke har tenkt p?, s? det har v?rt veldig artig ? se hvordan det g?r an ? gj?re det, s? ? at jeg tror at de har v?rt de beste ? eh ? for ? se hvilke undervisningsmetoder du kan bruke. For at da, jeg husker ikke s? mye av det som st?r i boka, eler det som foreleserne gj?r, for det blir ikke noe praktisk, vi f?r ikke v?re med p? det sj?l liksom. S? bortset fra det GLSM-kurset i fjor s? har vi hat lite ut av det. Det er bare forelesninger og ja ? ? Ja veldig tradisjonel undervisning. S? det blir lit motsigende, liksom. Det synes jeg. ? ? Men det jeg synes har v?rt bra er at de begynte veldig ? de begynte p? et veldig lavt niv? og s? har det v?rt veldig enkelt ? sp?r de hvis det er noe du ikke forst?r, s? de har ? de har hele tiden ? alts? ? de har sagt okei, vi tar det hele fra begynnelsen av ? Og liksom sakte men sikkert fra barneskoleniv? ? ikke sant ? og fulgt oss ganske godt i gjennom det ? det synes jeg de har v?rt flinke med. Men ogs? tror jeg, s? synes jeg egentlig at den didaktikken ? eh ? det skurer et eler annet med at det var et halvt ?r f?rst ? l?re om hvordan man 173 skulle l?re bort n?r ikke man kunne noe. S?nn at det var lit s?nn at kanskje de burde hat lit mate f?rst s?nn bare slik at man hadde komet inn i det igjen og s? at man kanskje burde hat didaktikken lit og s? g?t tilbake p? ? at det hadde kommet midt i kurset i stedet for i begynnelsen ? at det var et halvt ?r f?rst og s? et halvt ?r med regning synes jeg de heler kunne splita det opp lit. Tat det lit mer bolkvis, Delta viste flere ganger til at han hadde behov for mye st?tte i matematikken, og at det var vanskelig ? lese seg til hvordan man skulle undervise. Han var heldig og hadde praksis med en matematikkl?rer. Det hadde v?rt en positiv opplevelse selv om han hadde jobbet hardt for ? gjennomf?re matematikkundervisningen i praksisperioden. Delta gjorde en stor egeninnsats ved ? l?se oppgaver som han fant p? Internet. Han mente at egeninnsats m?te til hvis man skulle bli flink i matematikk. Epsilon mente han hadde arvet sin negative holdning til matematikk, men han var innstilt p? ? l?re matematikk da han startet p? matematikk 1-kurset. Han slet fortsat med matematikken eter et ?r p? l?rerutdanninga og sa blant annet at n?r l?reren hoppet over noe n?r han gjennomgikk en oppgave, var det helt h?pl?st for ham ? forst? hva som foregikk. Han hadde l?rt mye om undervisning i matematikk, noe han viste p? eksamen i didaktikk og gjennom praksisoppgaven. Dete kan ha v?rt ?rsaken til at han opplevde ? ha f?t en mer positiv holdning til matematikk p? slutten av studie?ret. Som de andre pekte han p? rekkef?lgen p? didaktikk og matematikkfaglige tema i kurset, men han hadde en klar formening om at studenten selv m? ta ansvar for egen l?ring. ? Ja ? at av og til komer ting i gal rekkef?lge? ? Du er n?dt til ? tenke sj?l for ? f? noe forst?else av det. Du kan ikke f? det mata inn. Sigma hadde en positiv holdning til matematikk, han behersket faget godt eter egne uttalelser og han ?nsket ? bli matematikkl?rer. Han opplevde som flere av de andre at 174 det didaktiske ikke hadde v?rt tilstede i undervisningen, og at det hadde v?rt mye oppgaveregning, men sa ogs? at han hadde l?rt mye i l?pet av ?ret. ? Ja, det tror jeg. Men en ting som vi har snakket om er at, blant annet med ho ? (dramal?reren), det er ? bruke drama. For det s? jeg i fjor i forhold til fagene og hvordan man fikk lov til ? utfolde seg og slippe seg l?s og st? p? scenen og legge fram noe, uanset om det handla om norsken eler om var spesiele ting i pedagogikken eler hva det enn var. Og det synes jeg vi skulle hat i de videre fagene og ?.og i matematikken hvor det legges fram p? en dramatisk m?te, hadde jeg n?r sagt. ? Ja. N?r man skal oppsumere seminargruppene har det kanskje g?t lit fort. N?r han skal gjennomg? svarene. ? Men. ? jeg synes det har g?t ? Jeg har l?rt mye s?nn dere ? Ord og uttrykk og s?nne ting. Det har v?rt veldig mye regning, men jeg skulle ?nske det hadde v?rt mer didaktisk at det hadde v?rt spredd en del over hele ?ret. S?nn at man hadde mot slutten ogs? oppdaget samenhengen. Men det har v?rt gjort hele ?ret. Den siste kommentaren var lit selvmotsigende, f?rst sa han at didaktikken skulle v?rt spredd over hele ?ret og i neste setning sa han at det har det v?rt, s? jeg var lit usikker p? meningen her. Sigma var opptat av at matematikken skal knyttes til praktiske ?velser og at det hadde det v?rt for lite av i utdanningen. For ? oppsummere s? det ut til at respondentene var enige om f?lgende n?r det gjaldt kurset som helhet: ? Det har v?rt kjedelige forelesninger. Dete gjaldt uanset forkunnskaper og holdninger i matematikk. ? Didaktikken hadde v?rt lite synlig og var feil plasert tidsmesig i kurset. ? De hadde l?rt for lite om undervisningsmetoder. ? De hadde v?rt forn?yd med foreleserne. ? Felesforelesningene var tradisjonele med tavleundervisning 175 ? Seminargruppetimene var bra og inneholdt mye oppgavel?sing, men lit kjedelige Det var uenighet om: ? Matematikken var vanskelig ? Matematikken var for let ? I hvilken grad medstudenters presentasjon av undervisningsopplegg hadde noen hensikt Andre opplysninger om respondentenes opplevelser og deltakelse funnet i datamaterialet: ? Det var veldig lite bruk av et matematisk spr?k ? Respondentene forberedte seg ikke til forelesningen ? Respondentene forberedte seg til seminargruppetimen ved ? delta p? forelesninger med same tema ? Respondentene ?nsket en undervisning p? sit niv?, uanset forkunnskaper ? Respondenter med feles matematikkerfaring, enten positiv eler negativ, hadde ikke samsvarende opplevelse av matematikk 1-kurset Jeg har i denne unders?kelsen lagt vekt p? fortelingen og hva den forteler om studenten, og jeg har tidligere sagt at jeg ikke kan benytte svarene fra hele studentgruppen som en triangulering fordi det var for d?rlig besvarelsesprosent i andre sp?rreunders?kelse. Det er likevel et resultat jeg ?nsker ? ta fram, og det er forventninger til karakter og den endelige karakteren til hele gruppa. Jeg har set p? den samlede karakteren for hele kurset, Ma 120L 000, som best?r av tre eksamener vurdert med bokstavkarakter og tre best?t/ikke best?t. Blant respondentene var det tre (0,5) som fikk d?rligere karakter enn forventet, to (0,33) som fikk som forventet, og en (0,17) som bedre karakter enn forventet. Av de 75 besvarelsene som ble git i starten av studie?ret var det 45 (0,6) studenter som fikk d?rligere karakter enn forventet, 18 (0,24) som fikk som de forventet og 12 (0,12) som fikk bedre karakter enn forventet. Blant de som fikk d?rligere karakter enn forventet var det 21 som str?k p? en eler flere eksamener, og det var ingen som hadde sagt de forventet stryk i utgangspunktet. Materialet her er lite, s? man kan ikke trekke noen 176 konklusjoner, men jeg vil likevel peke p? en mulig samenheng. Det kan se ut som den lile gruppa var et rimelig utvalg i forhold til studentenes forventninger til egne ferdigheter og de endelige resultatene, jf. talene i parentes. Det kan ogs? se ut som at de f?reste har et ?riktig? bilde av seg selv som matematikkstudent i et grunnkurs i l?rerutdanningen. 5.6 Diskusjon i lys av fenomenologisk kunskapsosiologi Ut fra Sch?tz? og Berger og Luckmanns teori om subjektivisering, objektivisering og internalisering kan vi si at dise forekommer i ale sosiale situasjoner, og vekselvirkningene melom dem hele tiden vil kunne forklare endringene i v?re oppfatninger om hendelser i v?r livsverden. I prosesen skjer det en horisontsamensmeltning melom undervisningen og studentenes kunnskapslager slik at man i feleskap bygger ny forst?else. V?r forforst?else er subjektiv og v?re kunnskapslagre er individuele selv n?r vi har deltat i same l?ringssituasjon, og det er ikke n?dvendigvis samsvar melom den subjektive og den intersubjektive oppfatningen. Dete mener jeg ble vist i kapitel 5.4.2 der de seks fortelingene fra respondentene og mit referat viste at vi hadde ulike opplevelser fra forelesningen. At jeg som l?rer hadde presenterte min opplevelse av forelesningen p? en annen m?te enn studentene, var rimelig siden jeg kjente situasjonen b?de som foreleser og student. I forhold til studentene, s? kunne man antat at det var en samenheng melom forkunnskaper, holdninger og opplevelser. Det vil si at de som var positive til matematikk og hadde god matematikkunnskap, vile hat en tiln?rmet lik opplevelse. Et eksempel p? at dete ikke var tilfele, var at Alfa og Gama hadde forskjelig oppfatning av timen i forhold til didaktisk/metodisk innhold. Gama mente han hadde f?t noen ideer om hvordan han kunne bruke Janviertabelen for ? presentere ulike innfalsvinkler til funksjonsbegrepet, mens Alfa mente han ikke hadde l?rt noe nytt. Den sosiale prosesen kan v?re mer eler mindre velykket set fra l?rerutdannerens side. Respondentene bygger p? sine individuele kunnskapslagre og m?ter l?rerutdanningen ut fra det, selv om de har en delvis feles skolebakgrunn. Utfordringen for l?rerutdanningen blir at man i feleskap klarer ? bygge broer som er sterke nok. 177 Man kan anvende esayene om den hjemvendte og den fremede (Sch?tz, 2005) som beskrivelse av respondentenes forventninger ut fra deres forforst?else og kunnskapsslager slik de har presentert det i sine tekster. Selv om de har erfaringer med matematikk og matematikkundervisning fra f?r, vet de ikke hva som m?ter dem. B?de i esayet om den fremede og om den hjemvendte beskriver Sch?tz (2005) forst?elsen melom den som kommer utenfra og de som er i inngruppen. For at man skal forst? hverandre m? begge parter vise vilje til ? g? hverandre i m?te. For den fremede er det en fornuftig eler rasjonel handling at hans kunnskaper om den nye inngruppa ikke er tilstrekkelig, og at han trenger andre metoder for ? forst? dem enn dem han brukte i sin forrige inngruppe. For den hjemvendte kan det v?re vanskeligere ? forst? at ikke alt er som f?r og en horisontsamensmeltning i Gadamers (1989) betydning uteblir fordi det som tidligere var en rimelig handling i inngruppa har endret seg mens den hjemvendte var borte. Det er da let for begge parter ? gleme at b?de inngruppa og den hjemvendte har endret seg. Hvis man da pr?ver ? m?tes uten ? ta hensyn til dete, vil det kreve mer av begge parter enn de forventer. Det er her snakk om forforst?else for den situasjonen man tiln?rmer seg. Ut fra esayene om den fremede og den hjemvendte ?nsker jeg ? vurdere respondentenes perspektiv i m?tet med l?rerutdanningens matematikk 1-kurs. Utgangspunktet vil v?re i det jeg har beskrevet som deres forforst?else, og s? vil jeg vurdere dete mot deres fortelinger om opplevelser av kurset. Alfa tolket jeg som at han s? seg selv som den hjemvendte. I forventningsloggen sa han at han hadde ment at matte var bare matte, alts? at dete kjente han til fra f?r. Han fortsate forventningsloggen med ? snakke om at han forventet ulike utfordringer i forhold til ? l?se oppgaver. For ham kan det synes som om det ? l?se oppgaver var en rimelig handling n?r man skulle l?re matematikk. Hans forst?else av matematikk var instrumentel (caseniv? 1). Det var sannsynligvis hans lave egeninnsats (kapitel 5.3.1) som var ?rsak til at han ikke fikk s? h?y karakter som forventet. Den lave egeninnsatsen tolker jeg ut fra at han sa han ikke forberedte seg til forelesning og deltok kun p? obligatoriske seminargruppertimer. Som den hjemvendte kan man anta at han var vant til ? f? god karakter p? matematikken bare ved ? v?re tilstede p? skolen og gj?re 178 oppgavene som ble git. Men siden det ikke fungerte slik i l?rerutdanningen, ble han egentlig en fremed uten selv ? v?re klar over det. Beta inntok rollen som den fremede. Jeg har tidligere tolket hans tekster til at han var usikker p? egne kunnskaper fordi han hadde hat d?rlige resultater. Han var derfor mer avventende. N?r han valgte ? site alene for ? l?se oppgaver i seminargruppetimen, kunne det tyde p? at han var lit usikker og vile se hva som skjedde f?r han meldte seg som medlem i inngruppa. Han var derfor ?pen for ? tilpase seg til en vis grad. Begrunnelsen min for denne reservasjonen er at han fortsat foretrakk ? site alene med oppgavel?sing (seminargruppa) og ?nsket ? l?se oppgaver i forelesningene hvis han hadde forst?t det som ble gjort p? tavla, slik han hadde gjort da han gikk p? skolen. Gama hadde gode matematikkunnskaper fra f?r og en positiv holdning til matematikk, men var usikker p? den didaktiske delen. P? bakgrunn av det mener jeg at han tok posisjonen til en fremed som v?get seg inn p? en ny arena. Han ?nsket ? vurdere det som skjedde rundt ham, f?r han meldte seg inn i feleskapet. Han var en observat?r (jf. forelesningen, seminargruppa, MUD) som tolket b?de det som ble sagt eksplisit, og det som l? implisit i den informasjonen han mottok. P? forelesningen var han den eneste som s? at forelesers presentasjon ogs? hadde didaktiske sider. De andre respondentene refererte bare til matematikken og metodene i sine tekster. Delta hadde en negativ holdning til matematikken og tok den hjemvendtes posisjon. I forventningene sine la han stor vekt p? l?rerens tilstedev?relse og styring av situasjonene, slik han var vant til fra tidligere. Han sa at han ikke hadde noen spesiele forventninger og stilte seg ?pen til faget, men framhevet at han var negativ p? bakgrunn av tidligere erfaringer. Det tolket jeg slik at han forventet en situasjon som han kjente fra f?r. Han hadde likevel en forforst?else for at noe kunne v?re annerledes. For eksempel var han innstilt p? ? ta en annen rolle enn den sjenerte eleven han hadde v?rt p? ungdomskolen. Underveis i kurset tok han initiativ til ? regne ekstra oppgaver fordi han hadde erfaring med at det var et fornuftig valg for ? n? m?let han hadde sat seg. Han klarte derfor ? tilpase seg det som var forventet av inngruppa. I forhold til den 179 hjemvendtes posisjon vil det si at han tilpaset seg deres kultur, selv om han fortsat hadde et d?rlig forhold til matematikken. Epsilon hadde ogs? en negativ holdning til matematikken, men brukte ordet h?per om sine forventninger til kurset. Han h?pet at han skule klare ? se samenhenger han ikke har set f?r. Han h?pet p? ? l?re mye. Og han h?pet ? bli mer bevist sin egen forst?else av faget. Han stilte ogs? forventninger til seg selv blant annet ved ? v?re aktiv og ta initiativ. Ved at han brukte ordene h?pe og forventning plaserte jeg ham i den fremedes posisjon fordi han stilte seg ?pen til de mulighetene som ble budt ham. Han beskrev ingen forforst?else for kursets egenart, og det var derfor ikke rimelig ? se p? ham som hjemvendt. Selv om han i utgangspunktet var negativ til matematikken, klarte han eksamen for-di han hadde gjort en egeninnsats. Han hadde en innstiling til at l?ring skjedde ved egeninnsats, noe som paset med inngruppas forventninger og kultur. Sigma sa i sine forventninger at han hadde en del bilder i hodet om hvordan kurset skulle v?re. Han hadde en mening om hva som l? foran ham, og siden han ikke hadde deltat ved dete kurset tidligere, m? dise forventningene bygge p? hans forforst?else. Min vurdering er derfor at han tok den hjemvendtes posisjon. Han sa at faget var logisk for ham, men at han slet med didaktikken. Som Delta viste han ved egeninnsats at han ?nsket ? tilpase seg inngruppa, blant annet med MUD-oppgavene. Det var overaskende da han til tross for positiv holdning, og i egne ?yne gode forkunnskaper, fikk en mye d?rligere karakter enn han forventet. Hva kan s? fortelingene om den fremede og den hjemvendte gi i et didaktisk perspektiv i l?rerutdanningen? Jeg plaserte Beta, Gama og Epsilon i den fremedes posisjon fordi de ikke hadde git noen konkrete beskrivelser av hva de forventet av matematikk 1-kurset. De stilte seg ?pne for nye situasjoner. I tilegg gjorde de rasjonele valg i forhold til egeninnsats for ? n? sine m?l. Beta opplevde at han behersket matematikken bedre enn han hadde trodd, og valgte ? jobbe positivt med dete. Gamas matematikkunnskaper ble ikke sat p? store pr?ver i kurset. Han valgte derfor ? fokusere 180 p? didaktiske sider ved matematikkundervisning og -l?ring. Epsilon viste han kom til ? slite med matematikken og valgte ? gj?re en ekstra innsats. Alfa, Delta og Sigma ble plasert i den hjemvendtes posisjon fordi de ga uttrykk for ? vite noe om matematikkurset ut fra sin forforst?else. For Alfa ble dete feil fordi hans erfaringer gjorde at han ikke endret en strategi han tidligere hadde brukt, s? resultatene ble langt fra som forventet. Delta hadde en annen forforst?else. N?r han m?tte som en hjemvendt som angivelig skulle finne kjente oppgaver, hadde han en innstiling om at ? gj?re noe annet enn han hadde erfart var en d?rlig l?sning. Han skulle ikke legge seg til ? sove n?r han ikke forsto, men han skulle gj?re en innsats, og det klarte han. Sigma likte matematikken og hadde forberedt seg ved ? kikke i pensumb?kene. Totalt set s? det ikke ut som holdninger hadde noe ? si i forhold til om studenten tok den hjemvendtes eler den fremedes posisjon. For de to som hadde en negativ holdning til matematikk, var fordelt en p? hver gruppe. De studentene som tok den fremedes posisjon, s? ut til ? stile seg mer ?pne til nye utfordringer. Ale de tre var n?rmere sine m?l n?r det gjaldt karakter enn de tre andre. De representerte ogs? en mer homogen gruppe n?r det gjaldt ? gj?re valg som man kunne anta var rasjonele i forhold til m?l og mening med kurset, og at de som tok rollen som den hjemvendte fant det vanskeligere ? tilpase seg l?rerutdanningens opplegg. Det kunne se ut som de hjemvendtes forforst?else p?virket veien videre ved at valgene ikke hadde et rasjonelt handlingsniv?, men var rimelige eler fornuftige. Jeg vil anta at for Alfa var det et rimelig valg og for Delta og Sigma var det et fornuftig valg. L?rerne ved l?rerutdanningens matematikk 1-kurs vet fra erfaring at studentene b?de har blandede erfaringer med matematikk. Matematikkdidaktikk kan man derimot anta er ukjent for de fleste studentene. Respondentene i min unders?kelse hadde hat GLSM- kurset, men dete er ikke anbefalt rekkef?lge p? kursene jf. rameplanen. De fleste l?rerutdanninger f?lger rameplanens r?d, ogs? h?gskolen der unders?kelsen var gjort har endret sine fagplaner. Desuten er matematikkdidaktikken en forholdsvis liten del av GLSM-kurset, s? det vil ikke ha stor innvirkning p? forforst?elsen. Man kan derfor anta at l?rerne ved l?rerutdanningen anser studenten som en fremed som skal tilpases en 181 ny kultur, en inngruppe som studenten kun har h?rt om, men ikke erfart. De studentene som m?ter utdanningen som fremede, kan dermed antas ? ha same rasjonele handlingsm?nster som inngruppa. Det vil si at begge grupper vet at de nye er ukjente med inngruppas kultur, og at det i den kunnskapen finnes et handlingsm?nstre som er en rasjonel handling innenfor common sense for begge parter slik at man gjennom en horisontsamensmelting kan kommunisere i forhold til et rimelig, fornuftig eler rasjonelt relevansystem. I praksis betyr det at begge parter er ?pne for at det finnes omr?der som man m? forklare n?rmere for at begge parter skal forst? meningen. For den gruppa som opptrer som hjemvendte kan dete v?re vanskeligere fordi den hjemvendte stoler mer p? at matematikken er et kjent omr?de, s? han trenger ikke noe ekstra forklaring. Selv om l?rerutdanningen ogs? kjenner den typen studenter fra tidligere, er det vanskeligere ? finne dem netopp fordi det vil v?re unaturlig for dem ? ta kontakt. Analysen viste minst to typer fra denne gruppen. Den ene er de som kommer i kategorien som hjemvendt fordi de anser seg som flinke i matematikk, og vet hvordan oppgavene skal l?ses (Alfa), og den andre er de som har valgt ? gj?re en innsats p? egen h?nd for ? bekjempe d?rlige erfaringer fra tidligere (Delta). Selv om l?rerutdanneren vet at hvis det ikke er en feles forst?else, s? kan det v?re vanskelig ? m?te en student som b?de er hjemvendt og kun f?lger rimelige handlingsm?nstre (f?lger et tradisjonelt m?nster) hvis man ikke kjenner deres kunnskapslager og forforst?else. For ? ta Alfa som eksempel, s? innebar ikke hans kunnskapslager eler forforst?else i et common sense perspektiv en fornuftig eler rasjonel handling for ? endre sin tiln?rming til det ? l?re matematikk. Derfor klarte han ikke ? endre seg og bli en av inngruppa. Jeg fortseter med Alfa som eksempel og viser til at han i sin tilbakemelding i starten av studie?ret ga inntrykk av at han hadde en positiv holdning til matematikk. Hans tidligere matematikkerfaringer var at han hadde sv?rt gode matematikkunnskaper, og han vurderte en god matematikkl?rer som faglig dyktig og en som kunne presentere matematikken p? en forst?elig m?te. Dete ser jeg p? som paradigmatiske opplysninger om en student som jeg kan forvente gj?r det bra p? matematikk 1-kurset. N?r jeg s? har 182 gjort en fortelingsanalyse og fortelende analyse av tekster han har levert om sine matematikkopplevelser, endrer jeg oppfatning og kommer til at den forholdsvis d?rlige karakteren han fikk sannsynligvis var en fornuftig vurdering av studenten. For meg er dete en bekreftelse p? at vi trenger noe mer enn paradigmatiske opplysninger om v?re studenter. Det kan vi kun f? hvis vi f?r dem til ? fortele om seg selv. Jeg har ogs? vist at beskrivende og forklarende fortelinger gir forskjelig informasjon, men jeg finner ikke den ene viktigere enn den andre. Den forklarende viser fortelerens analyse av en hendelse, og kan gi lytteren et innblikk i fortelerens forst?else av hendelsen. De beskrivende viser fortelerens opplevelse av hva som er skjedd, men gir ikke noe mer forklaring p? hans forst?else. Det blir da opp til lytteren ? tenke seg en forklaring dersom det er n?dvendig. En forsker kan lage begge dise typer fortelinger ut fra opplysninger han f?r fra studenten. P? den m?ten kan han finne en forklaring for studentens handlinger eler videreformidle en kombinasjon av hendelser som beskriver studentens handlinger og opplevelser over tid. 183 6 Opsumering og implikasjoner for videre forskning We simply do not know, nor wil we ever, whether we learn about narative from life or life from narative: probably both (Bruner, 196, s. 94). Ved ? bruke respondentenes tekster og fortelinger har jeg gjennom min analyse funnet sider ved studenters forforst?else for matematikkl?ring og matematikkundervisning som jeg mener jeg ikke vile funnet ved ? bruke data fra et sp?rreskjema eler i den daglige kontakten med studenten. P? den m?ten har jeg f?t informasjon om studentene som jeg har sat samen til fortelinger om deres opplevelser. Det er ikke mulig ? gi et enhetlig bilde av hvordan l?rerstudentene opplever det obligatoriske kurset i matematikk ved l?rerutdanningen (jf. f?rste del av forskningssp?rsm?l), men i kapitel 5.6 viste jeg en mulig m?te jeg kunne bruke resultatene p? ved ? analysere dem i et kunnskapssosiologisk perspektiv. Andre del av forskningssp?rsm?let handlet om hvordan analysen av slike opplevelser kunne v?re mulige ? bruke didaktisk i l?rerutdanningensns matematikkundervisning generelt. Analysen av forskningsmaterialet ga fortelinger om studentene som kan gi en l?rer bedre kunnskaper om studentene og dermed ha mulighet til ? planlegge en undervisning som er tilpaset dem. En videref?ring av mit forskningsarbeide kunne v?re at man ba om studentenes fortelinger om matematikkerfaringer og forventninger i starten av et matematikk 1-kurs, for ? vurdere hva slags st?tte de vil trenge gjennom kurset. Det at halvparten av studentene viste seg ? vurdere egne matematikkunnskaper til ? v?re bedre enn karakterene senere viste, er et tankevekkende resultat selv om materialet er for lite til at man kan generalisere det. Et tiltak kan ut fra dete v?re ? ta hensyn til denne type forforst?else slik at flere kan klare overgangen melom tidligere erfaringer og matematikk 1-kurset og dermed bli en av inngruppa. Det burde ogs? v?re mulig ? overf?re den m?ten jeg har benyttet fenomenologisk orientert kunnskapssosiologi og narativ teori for ? beskrive studentenes opplevelser til tilsvarende forskning p? didaktiske m?l i andre fag enn matematikk. 184 6.1 L?rerutdaningens utfordringer If I had to induce al of educational psychology to just one principle, I would say this: The most important single factor influencing learning is what the learner already knows. Ascertain this and teach him acordingly (Ausubel, 1968). Respondentenes ?nsker om ? bli undervist p? sit niv? er Ausubels prinsipp set fra elevens/studentens utgangspunkt. Deres forforst?else for faget og for egen rolle som student kan se ut til ? ha preget deres l?ringskariere i matematikk 1-kurset mer enn faglige kunnskaper. Slik som at n?r en student forventet h?y karakter, kan man anta at han hadde gode faglige kunnskaper. N?r han likevel avsluttet matematikkurset med middels til d?rlige resultater, kan det v?re rimelig ? anta at det ikke var forkunnskapene som var for d?rlige, men at hans evne eler vilje til ? tilegne seg ny kunnskap spilte en stor rolle. Rameplanen (Kunnskapsdepartementet, 2003, s.25-26) sier at utdanningen skal gj?re studentene i stand til ? vurdere eget fagsyn og konsekvensene av det i forhold til det ? undervise i matematikk. Slik jeg tolker det ut fra min unders?kelsen, kan det se ut som studentene, med et unntak (Delta), ikke hadde integrert eget fagsyn og konsekvensene av det i forhold til undervisning. Mye kan tyde p? at de tenkte mer som elever/studenter enn som l?rere. Med det mener jeg at de fokuserte p? egne kunnskaper og eksamensresultater som m?l for sukses eler ikke i forhold til kurset. De vurderte egne evner som l?rer ut fra karakteren de oppn?dde, og de knyttet ikke egne matematikkunnskaper samen med egen forst?else av undervisningsteorier som grunnlag for det ? bli en god l?rer. En annen side av studentenes vurdering av egne kunnskaper ble synliggjort i at over halvparten av studentene fikk en d?rligere karakter enn de forventet. Som diskutert tidligere kan en av ?rsakene til dete v?re at de har et instrumentelt syn p? l?ring og at l?rerutdanningen tester dem for forst?else, alts? et mer relasjonelt l?ringssyn. Utfordringene ligger derfor i hvordan l?rerutdanningen skal m?te nye studenter og gi dem en god veiledning og undervisning mot ? bli gode matematikkl?rere, n?r studentene har s? ulike oppfatninger av hva som forventes av dem. I analysens caseniv? 3 ble respondentenes oppfatning av kurset som helhet beskrevet. Noen av dem hadde forslag til endringer eler kom med uttalelser som kunne tolkes slik at det var ting de ?nsket annerledes. Respondentene uttalte seg ikke p? vegne av 185 klasen, s? deres opplevelser m? vurderes ut fra det. Deres ?nsker om endring var mest retet mot det organisatoriske, og det var lite konkrete faglige innspil. Det var likevel en ting det s? ut til ? v?re enighet om, og det var mer (tydeligere) undervisning i didaktikk og metodikk. Respondentenes opplevelser i l?rerutdanningen slik de presenterer dem i sine fortelinger, likner mye p? det tradisjonele klaserommet slik Ernest (1991) beskrev det. Det vil si at til tross for at dagens l?replaner i matematikk i grunnskolen og l?rerutdanningens rameplan legger stor vekt p? et konstruktivistisk l?ringssyn (Glasersfeld, 2000; Jaworski & Burton, 1999; Vygotskij &Kozulin, 1986) og p? en helhetlig matematisk kompetanse (Jensen & Nis, 2002), s? eterlyser studentene mer om dete i utdanningen. N?r det gjelder matematikken som et praktisk verkt?y, s? beskriver de fleste respondentene dete i forhold til det man kan anta er deres n?rmeste behov, som ?konomi og praktiske oppgaver som matlaging og liknende. Det er kun en respondent som ut fra egen yrkeserfaring viser til at man trenger matematikk ut over hverdagsperspektivet (jf. Blomh?j, 2001). Ut fra Bishops (1988) fem niv?er som viser at undervisning og l?ring av matematikk kan ses i et overordnet sosialt perspektiv, vil jeg si at respondentene forholder seg hovedsaklig til det individuele og det pedagogiske niv?. I noen tilfeler henviser de til det institusjonele niv? ved ? kommentere l?replaner og pensum, og det sosiale niv? i forhold til matematikkens praktiske nytte som verkt?y i yrkesfaglige samenhenger. N?r det gjelder det kulturele niv? og det kulturele omfanget matematikken har, finner jeg hos respondentene ingen argumenter for matematikkens rolle i et slikt perspektiv. Dete kan skyldes at mit perspektiv i denne unders?kelsen har v?rt p? studentens opplevelser, og at jeg har p?virket dem s? mye i den retningen at de ikke har tenkt p? ? argumentere for matematikk i et st?rre perspektiv. Det kan ogs? v?re at deres tanker om matematikk har v?rt s? konsentrert om rollen som student og framtidig l?rer at de ikke har klart ? vurdere andre sider. De har muligens ikke et common sense begrep om matematikk slik Keitel og Kilpatrick (2005) bruker det. Det vil si at man har et fornuftig forhold til matematikken der man aksepterer ale dens sider, og ikke som en motsetning til den spesialiserte matematikken (ibid.). 186 7 Litteratur Ausubel, D. P. (1968). Educational psychology . A cognitive view. New York: Holt, Rinehart and Winston. Bal, D. L., Hil, H. C. & Bas, H. (2005). Knowing mathematics for teaching. American Educator (Fal 2005), 14-46. Barlow, A. T. & Reddish, J. M. (2006). Mathematics myths: Teacher candidates? beliefs and the implications for teacher education. The Teacher Educator, 31(3), 145-157. Basey, M. (1999). Case study research in educational setings. Buckingham: Open University Pres. Bekken, O. B. (2003). Read the masters! - Read Abel! - A biographical sketch. Paper presented at the Study the masters procedings of a Nordic pre-conference to ICME 10 and the HPM satelite in 2004, G?teborg. Bengtson, J. (1998). Fenomenologiska utflykter. G?teborg: Daidalos. Berger, P. L. & Luckmann, T. (1967). The social construction of reality . A treatise in the sociology of knowledge (Anchor Books utg.). Garden City, N. Y.: Doubleday. Berger, P. L. & Luckmann, T. (2000). Den samfunnsskapte virkelighet. Bergen: Fagbokforlaget. Bergsten, C. & Grevholm, B. (2004). The didactic divide and the education of teachers of mathematics in Sweden. NOMAD, 9(2), 123-144. Bishop, A. J. (1988). Mathematical enculturation . A cultural perspective on mathematics education. Dordrecht: Kluwer. Bjerneby H?l, M. (2002). Varf?r undervisning i matematik? Argument f?r matematik i grundskolan - i l?roplaner, l?roplansdebatt och hos blivande l?rare. Link?ping: Link?pings universitet. Bjerneby H?l, M. (2006). Alt har f?r?ndrats och allt ?r sig likt . En longitudinel studie av argument f?r grundskolans matematikundervisning. Link?ping: Link?pings Universitet, Department of Behavioural Sciences. Bjuland, R. (1998). L?rerstudenters matematiske tenkning og utvikling i en sosial kontekst. Probleml?sning i sm?grupper. NOMAD (Nordisk Matematikdidaktik), 6(2), 41-67. Bjuland, R. (2004). Student teachers? reflections on their learning proces through collaborative problem solving in geometry. Educational Studies in Mathematics, 55, 199-225. 187 Blanton, M. L., Berenson, S. B. & Norwood, K. S. (2001). Exploring pedagogy for the supervision of prospective mathematics teachers. Journal of Mathematics Teacher Education, 4(177-204). Blomh?j, M. (2001). Hvorfor matematikundervisning? Matematik og almendannelse i et h?jteknologisk samfund. I M. Nis (red.), Matematik og Verden: Fremad, K?benhavn. Botten, G. (1999). Meningsfylt matematik. Bergen: Caspar forlag. Breiteig, T. & Venheim, R. (1998). Matematik for l?rere 1 og 2 (3. utg.). Oslo: Tano Aschehoug. Breiteig, T. & Venheim, R. (2005). Matematik for l?rere 2 (4. utg.): Universitetsforlaget. Brekke, G. & Gjone, G. (2001). Matematikk. I S. Sj?berg (red.), Fagdebatik. Fagdidaktisk innf?ring i sentrale skolefag (s. 215 -265). Oslo: Gyldendal akademiske. Brekke, G., Lie, S. & Kj?rnsli, M. (1997). Hva i al verden skjer i realfagene? Internasjonalt lys p? treten?ringers kunnskaper, holdninger og undervisning i norsk skole. Oslo: Institutt for l?rerutdanning og skoleutvikling, Universitetet i Oslo. Brown, C. A. & Borko, H. (1992). Becoming a mathematics teacher. I D. A. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning . A project of the National Council of Teachers of Mathematics (s. 209-239). New York: Macmilan. Bruner, J. S. (1985). Vygotsky: A historical and conceptual perspective. I J. Wertsch (red.), Culture, communication, and cognition: Vygotskian perspectives (s. 21-34): Cambridge university pres. Bruner, J. S. (1986). Actual minds, possible worlds. Cambridge, Masachusets: Harvard University Pres. Bruner, J. S. (1996). The culture of education. Cambridge, Mas: Harvard University Pres. Bulien, T. (1999). Matematik, igjen! L?rerstudenters holdning til matematik, b?de som studenter og med tanke p? egen framtid som l?rere. Upublisert paper. Kristiansand: Universitetet i Agder. Bulien, T. (2000). Using history in teaching algebra at the teachers college. Hovedfagsoppgave. Kristiansand: H?gskolen i Agder. Institutt for matematiske fag. Clandinin, D. J. & Connely, F. M. (2000). Narrative inquiry . Experience and story in qualitative research. San Francisco, California: Jossey-Bas. Drake, C. (2006). Turning points: Using teachers? mathematics life stories to understand the implementation of mathematics education reform. Journal of Mathematics Teacher Education, 9, 579-608. Ernest, P. (1991). The philosophy of mathematics education. London: Falmer Pres. Evans, J., Hannula, M., Philippou, G. & Roseta, Z. (2006). Afect in mathematics education. An introduction. Educational Studies in Mathematics, 63, 113-121. 188 Fennema, E. & Franke, M. L. (1992). Teachers' knowledge and its impact. I D. G. Grouws (red.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 147-164). New York: Macmilian. Fottland, H., Gravanes, A., Matre, S. & Svorkmo, A.-G. (2004). Blir det letere ? v?re l?rer eter dete? Norsk pedagogisk tidsskrift, 88, 51-69. Fr?seth, M. W. & Smeby, J.-C. (2007). F?rste?rstudentene. Utdanningsvalg, studieatferd og vurdering av studiet og undervisningsopplegg (HiO-notat). Oslo: Senter for profesjonsstudier. Fuglestad, A. B. (2003). Konstruktivistisk perspektiv p? datamaskiner i matematikk- undervisningen. I A. B. Fuglestad & B. Grevholm (red.), Matematik for skolen (s. 209-234). Bergen, Norway: Fagbokforlaget. Fuglseth, K. (2003). Forteljing eler analyse. Ei sentral fagleg og fagdidaktisk problemstiling? I G. L?kken, G. Karlsen & V. L. Nilsen (red.), FoU i praksis 2002 (s.115-121). Trondheim: Program for l?rerutdanning. Gadamer, H.-G. (1989). Truth and method (2nd, rev. utg.). London: Sheed & Ward. Gadamer, H.-G. (2004). Sandhed og metode. Grundtr?k af en filosofisk hermeneutik. ?rhus: Systime. Gal, M. D., Gal, J. P. & Borg, W. R. (1996). Educational research an introduction. N.Y: Longman. Garc?a, M., S?nches, V. & Escudero, I. (2006). Learning through reflection in mathematics teacher education. Educational Studies in Mathematics, 64, 1-17. Glasersfeld, E. v. (2000). Problems of constructivism. I L. P. Stefe (red.), Radical constructivism in action. Building on the pioneering work of Ernst Von Glasersfeld (s. 3-9). London: Routledge Falmer. Goldin, G. A. (2002). Afect, meta-afect, andmathematical belief structures. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. T?rner (red.), Beliefs. A hidden variable in mathematics education? (s. 59-72). Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic Publisher. Goodel, J. E. (2006). Using critical incident reflections. A self-study as a mathematics teacher educator. Journal of Mathematics Teacher Education, 9, 221-248. Grevholm, B. (2004). Mathematics worth knowing for a prospective teacher? I B. Clarke, D. M. Clarke, G. Emanuelson, B. Johansson, D. V. Lambdin, F. K. Lester, A. Walby & K. Walby (red.), International perspectives on learning and teaching mathematics (s. 519-536). G?teborg: G?teborg university, National center for Mathematics Education. Grouws, D. A. (red.). (1992). Handbook of research on mathematics teaching and learning. A project of the National Council of Teachers of Mathematics. New York: Macmilan. Hannula, M. (2003). Fictionalising experiences - Experiencing through fiction. For the Learning of Mathematics, 23(3), 31-37. 189 Holt, J. (1972). Hvordan barn blir tapere. Oslo: Pax forlag. Husserl, E. (1954). Die Krisis der Europ?ischen Wisenschaften und die transzendentale Ph?nomenologie; eine Einleitung in die ph?nomenologische Philosophie. Hag: Martinus Nijhoff. H?ines, M. J. (2001). Begynneroppl?ringen. Fagdidaktik for barnetrinnets matematikundervisning (3. utg.). Land?s: Caspar forlag. Jacobsen, D. I. (2005). Hvordan gjennomf?re unders?kelser? Innf?ring i samfunnsvitenskapelig metode (2. utg.). Kristiansand: H?yskoleforlaget. Jaworski, B. & Burton, L. (1999). Tensions in teachers' conceptualizations of mathematics and of teaching. I P. Ernest (red.), Learning mathematics. From hierarchies to networks. (s. 153-172). London: Routledge Farmer. Jensen, T. H. & Nis, M. (2002). Kompetencer og matematikl?ring (Vol. 18): Undervisningsministeriet, Danmark. Kasila, R. (2007). Using narative inquiry for investigating the becoming of a mathematics teacher. Mathematics Education (39). Keitel, C. & Kilpatrick, J. (2005). Mathematics education and common sense. I J. Kilpatrick, C. Hoyles & O. Skovsmose (red.), Meaning in Mathematics Education (Vol. 37, s. 105-128). New York: Springer. Kieland, A. L. (1982). Skipper Worse. To noveleter fra Danmark. Gift. Fortuna. Sne (2. utg.). Oslo: Gyldendal. Kloosterman, P. (2002). Beliefs about mathematics and mathematics learning in the secondary school. Measurement and implications for motivation. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. T?rner (red.), Beliefs. A hidden variable in mathematics education? (s. 247-270). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publisher. Knutsen, P. (2002). Analytisk narrasjon. En innf?ring i historiefagets vitenskapsfilosofi. Bergen: Fagbokforlaget. Kunnskapsdepartementet. (2003). Rameplan for almennl?rerutdanningen. Lastet ned 2. desember, 2007, fra htp:/ww.regjeringen.no/nb/dep/kd/tema/ Hoyere_utdanning/ Rameplaner.html?id=435163 Kvale, S. (1997). Det kvalitative forskningsintervju. Oslo: Ad Notam Gyldendal. Leder, G. C., Pehkonen, E. & T?rner, G. (2002). Beliefs. A hidden variable in mathematics education? Boston: Kluwer Academic Publishers. Lemon, M. C. (2001). The structure of narative. I G. Roberts (red.), The history and narrative reader (s. 107-129). New York: Routledge. Lester, F. K., McCormick, K. & Kapusuz, A. (2004). Preservice teachers' belifs about the nature of mathematics. I B. Clarke (red.), International perspectives on learning and 190 teaching mathematics (s. 555-568). G?teborg: G?teborg university, National Center for Mathematics Education. Lindseth, A. & Norberg, A. (2004). A phenomenological hermeneutical method for researching lived experience. Scandinavian Journal of Caring Sciences, 18(2), 145-153. Lloyd, G. (2006). Presevice teachers? stories of mathematics clasrooms. Explorations of practice through fictional acounts. Educational Studies in Mathematics(63), 57-87. L?fsn?s, E. (2002). Gyldighet og "takt" i samfunnskunnskapsundervisningen. Doktoravhandling, NTNU, Trondheim. Malmivuori, M. L. b. (2001). The dynamics of affect, cognition, and social environment in the regulation of personal learning proceses. The case of mathematics. University of Helsinki. Mandt, H. M. (2006). Matematik 1. En kvalitativ tiln?rming til Matematik 1-kurset i allmennl?rerutdanningen h?sten 2005. Masteroppgave http:/hdl.handle.net/1956/1867 Universitetet i Bergen, Bergen. Mason, J. (1999). Learning and doing mathematics. York, United Kingdom: QED. McLeod, D. B. (1992). Research on afect in mathematics education: A reconceptualization. I D. G. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 575-596). New York: Macmilian. Melin-Olsen, S. (1984). Eleven, matematiken og samfunnet. En undervisningl?re. Bekkestua: NKI-forlaget. Melin-Olsen, S. (1987). The politics of mathematics education. Dordrecht: Reidel. Melin-Olsen, S. (1991). Hvordan tenker l?rere om matematikundervisning? Lands: Bergen L?rerh?gskole. Mink, L. O. (1978). Narative form as a cognitive instrument. I H. Kozicki & R. H. Canary (red.), The writing of history literary form and historical understanding (s. 129-149). Madison, Wisconsin: University of Wisconsin Pres. Mishler, E. G. (1995). Models of narative analysis. A topology. Journal of narrative and life history, 5(2), 87-123. Nis, M. (2001). Innledning. I M. Nis (red.), Matematik og verden. K?benhavn: Fremad. Norsk Matematikkr?d. (2007). Norsk matematikkr?ds forkunnskapstest. Lastet ned 6. januar 2008, fra http:/matematikkradet.no/nmrtest.html Nygaard, O. & Petersen, P. (2000). Fatte matte for deg som vil tete huller i element?re matematikunnskaper. Kristiansand: H?yskoleforlaget. 191 Pehkonen, E. (2003). L?rere og elevers oppfatninger som en skjult faktor i matematikkundervisningen. I B. Grevholm (red.), Matematik for skolen (s. 154-184). Bergen: Fagbokforlaget. Pehkonen, E. & T?rner, G. (1999). Teachers' profesional development. What are the key change factors for mathematics teachers? European Journal of Teacher Education, 22(2/3), 259-276. Person, E. (2006). Det smyger sig in hela tiden. Stockholm: Licentiatuppsats. PISA. (2003, 2006). Programe for International Student Asesment. Lastet fra http:/ww.pisa.no/ Polkinghorne, D. E. (1988). Narrative knowing and the human sciences. Albany: State University of New York Pres. Polkinghorne, D. E. (1995). Narative configuration in qualitative analysis. I J. A. Hatch & R. Wisniewski (red.), Life history and narrative. London: The Falmer Pres. Ricoeur, P. (1985). Time and narrative (Vol. 2). Chicago: University of Chicago Pres. Rommetveit, R. (1996). L?ring gjennom dialog. Ei sosiokulturel og sosiokognitiv tiln?rming til kunnskap og l?ring. I O. Dysthe (red.), Ulike perspektiv p? l?ring og l?ringsforskning (s. 88-104). Oslo: Cappelen Akademiske Forlag. Sch?tz, A. (1962). Collected papers 1. The problem of social reality. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Sch?tz, A. (1964). Collected papers 2. Studies in social theory. Hag: Nijhoff. Sch?tz, A. (2005). Hverdagslivets sociologi. En tekstsamling. K?benhavn: Hans Reitzel. Sch?tz, A. & Luckmann, T. (1973). The structures of the life-world. Evanston, Il.: Northwestern University Pres. Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20-26. Skemp, R. R. (1986). The psychology of learning mathematics (2. utg.). Harmondsworth: Penguin. Skovsmose, O. (2005). Meaning in the mathematics education. I J. Kilpatrick, C. Hoyles & O. Skovsmose (red.), eaning in Mathematics Education (Vol. 37, s. 83-100). New York: Springer. Solvang, R. (1992). Matematik-didaktik. Bekkestua: NKI. Spence, D. P. (1986). Narative smoothing and clinical wisdom. I T. R. Sarbin (red.), Narrative psychology . The storied nature of human conduct (s. 211-232). New York: Praeger. 192 Stake, R. E. (2005). Qualitative case studies. I N. K. Denzin & Y. S. Lincoln (red.), The Sage handbook of qualitative research (3. utg., s. 443-466). Thousand Oaks, California: Sage. Thompson, A. (1992). Teachers' beliefs and conceptions: A synthesis of the reasearch. I D. G. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 127-146). New York: Macmilian. TIMS. (2003, 2007). Trends in International Mathematics and Science Study. Lastet fra http:/ww.tims.no/ T?rner, G. (2002). Mathematical beliefs - A search for a common ground. Some theoretical considerations on structuring beliefs, some research questions, and some phenomenological observations. I I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. T?rner (red.), Beliefs. A hidden variable in mathematics education? (s. 73-94). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publisher. van Manen, J. (1997). New maths may profit from old methods. For the Learning of Mathematics, 17(2), 39-46. Vygotskij, L. S. & Kozulin, A. (1986). Thought and language. Cambridge, Masachusets: MIT Pres. Weber, M. (1973). The definitions of sociology, social action and social relationship. I J. Tunstal & K. Thompson (red.), Sociological perspectives. Selected readings (s. 128-143). Harmondsworth: Penguin. Zahavi, D. (2001). Husserls f?nomenologi (rev. utg.). Copenhagen: Gyldendal. 193 8 Vedleg A. F?rste informasjon til respondentene Hei gode Pytagorere. F?rst, takk for at dere har sagt dere vilige til ? v?re med i denne gruppa. Det er laget en mappe p? CF kalt Pytagorerne. Denne mappa er tilpaset dere i gruppa. I denne mappa har jeg forel?pig laget to innleveringsmapper, en for forventningsloggen og en for dine matematikktanker. Dete er mapper der bare den som legger inn teksten og jeg kan se hva som er skrevet. Med andre ord, de andre p? gruppa kan ikke se din tekst. Alt dere leverer vil bli behandlet kun av meg. For ? kunne f?lge hver og en av dere gjennom ?ret, m? jeg vite hvem som har sagt hva, men i den endelige teksten vil jeg bruke navn som er kj?nnsn?ytrale (f. eks. det greske alfabet) og det vil heler ikke bli referert til alder slik at dere kan gjenkjennes av andre. Min veileder vil muligens ?nske ? se tekstene, men da blir det anonymt. Arbeidskravet som skal oppfylles: MA120L 004 Matematikk Studiepoeng/ECTS-credits: 0 Semester: V?r Eksamensform: Arbeidskrav, teler 0% av karakter Karakter: Godkjent/ikke godkjent Hjelpemidler til eksamen: Ale Generel info: Deltakelse i seminargrupper i matematikk. Arbeidskravet omfater: Oppm?te p? minst 80 % av seminargruppearbeidet i Del 1 og Del 2 av kurset. Undervisningsopplegg i matematikk som presenteres i seminargruppen. SISTE PUNKT BLIR BYTET UT (hvis du ?nsker) MED DE TRE TEKSTENE SOM SKAL LEVERES I FORHOLD TIL UNDERS?KELSEN. 194 For at dere skal f? godkjent arbeidskravet, m? dere ha levert tekster og fulgt opp unders?kelsens krav. Siden tekstene skal v?re personlige er det vanskelig ? stile eksakte krav til b?de lengde og utforming, men jeg regner med at dere har sagt dere vilige til ? v?re med for ? f?lge opp eter beste evne. Ved tvil om godkjenning, skal jeg ta det opp med den det gjelder for ? avklare eventuele misforst?elser. Andre og tredje tekst skrives og leveres umiddelbart eter hendelsene. Datoer for dete avtales n?rmere, men det kan v?re aktuelt ? gjennomf?re seminartekstene i nov/des xx, og felesforelesning i jan/febr xx. Skulle dere ha behov for ? kontakte meg, har jeg e-post: tone.bulien@hibo.no Tlf: Jobb 75517890 Mobil 91521909 Gleder meg til ? samarbeide med dere ale. Tone 195 B. E-post til respondentene ang?ende tekst 1 og 2 Inlevering nr 1 Dato: Den f?rste innleveringen skal legges inn p? CF som to filer, en i hver sin innleveringsmappe. Tekst 1 i mappa: Mine tanker om matematik Pr?v ? sete deg tilbake til hva du tenkte om f?lgende f?r du begynte p? l?rerutdaningen. Hva er dine matematikkopplevelser f?r du begynte p? l?rerutdanningen? Hva er dine matematikkoppfatninger f?r du begynte p? l?rerutdanningen? Hva husker du fra din egen skolegang at matematikken var? Hva mener du er matematikk? Hva tenker du n?r du h?rer ordet? Hva tenker du positivt om matematikk? Hva tenker du negativt om matematikk? Hva var dine tanker om ? skulle ha matematikk i l?rerutdanningen din? Sp?rsm?lene over er ment som en veiledning hvis det er vanskelig ? komme i gang med skrivingen. Teksten skal v?re din egen ?steme?, s? her st?r du frit til ? velge innhold og hvordan du vil disponere det. Pr?v ? skrive ned noen tanker om hvordan du husker det og pr?v ? unng? og analysere hvorfor det ble slik. Jeg seter ingen krav til lengden, men det m? v?re minimum en side med skrift Times New Roman, punkt 12 og linjeavstand 1 ? (ale innleveringer skal v?re i dete formatet). Tekst 2 i mappa: Forventningslogg Forventninger til det obligatoriske kurset i matematikk p? l?rerutdanningen. Hva forventer du at kurset skal gi deg? Hva forventer du av deg selv? Denne teksten skal ikke v?re for lang. Min ? side, maks 2 sider. Bruk gjerne stikkordsform eler punkter hvis det faler mer naturlig enn samenhengende tekst. 196 Notatbok Som en liten hjelp til ? huske hva som skjer og/eler ting dere ?nsker ? ta opp i siste intervju, f?r dere ale utlevert en notatbok der dere kan skrive ned spesiele hendelser dere finner betydningsfulle der og da. Det kan v?re b?de positivt og negativt, noe dere plutselig forsto, eler kanskje bare noe dere synes er en god ide for egen undervisning. Skriv dato og hva som skjedde, om det var felesforelesning, seminargruppearbeid, kollokviearbeid osv. (bruk minst mulig navn) og hvorfor du syntes akkurat denne hendelsen ble spesiel eler viktig for deg. Lykke til. 197 C. E-post til respondentene ang?ende tekst 3 og 4 Fra: Tone Bulien Til: pytagorerne Dato: Tor, Mar x, 20x 2:40 Emne: Doktorgradsinformantene Hei igjen. N? er det tid for de neste punktene p? arbeidet dere skal gj?re for meg. Det har tat lit tid, men jeg fik vite dere hade ped.eks. n?, s? jeg ?nsket ike ? forstyre det. I neste uke skal dere ha en felesforelesning fredag 1.mars kl 08.15. Dene forelesningen h?per jeg dere ale komer p? (egentlig m? dere) og s? skal vi eterp? g? til en datalab for ? skrive ned hvordan dere oplevde timen. Dere vil inen torsdag f? et ark med punkt som dere skal tenke over mens timen foreg?r. Dete er andre obligatoriske inlevering. Den tredje blir tirsdag i seminargrupe der vi ogs? skal g? direkte til en datalab eter grupearbeidet. Det blir den tidlige ?kta fra 8.15-1.0, og jeg ber dere ale om ? delta p? en av grupene i dete tidsromet. Jeg anser det som est hensiktsmesig at vi tar den tidlige ?kta siden vi skal p? datalab for ? skrive eterp?. Skrive?ktene eter felesforelesning og seminararbeid vil ta ca 1 time. Svarene skal leges in p? fronter i leveringsmaper, men det vil jeg orientere om underveis for jeg vil v?re med dere b?de i timene og p? datalaben. N?r dise to dagene er unagjort, er det bare individuele intervjuer igjen og dem tar vi eter p?ske, inen 15.april. Jeg h?per dere ogs? har skrevet lit i notatb?kene deres, og ber dere levere dem til meg eler en av de andre matematikl?rerne f?r p?ske. Den kan ogs? leveres i resepsjonen p? PHS, 3.etg. v/ing. C. Da regner jeg med at vi ses. Husk dere m? delta p? alt for ? f? godkjent arbeidskravet. Mvh Tone Stipendiat/H?gskolelektor i matematik Tone Bulien Profesjonsh?gskolen H?gskolen i Bod? 8049 Bod? Tlf +47 75 51 78 90 198 D. E-post sendt i forkant av del 2 av sp?rreunders?kelsen Hei ale studenter i A2 og Dalu2. Jeg h?per dere tar noen minutter og g?r inn p? Clas Fronter/AU 20xx-xx eler DALU Bo 20xx-20xx/ Doktorgradsunders?kelse og svarer p? sp?rsm?lene innen torsdag 26.mai 20xx kl 23.59. Som dere sikkert husker hjalp dere meg med ? svare p? et sp?rreskjema ved studiestart i august i fjor. Svarene dere ga skal v?re en del av min forskningsarbeide i min doktorgrad. For at dise svarene skal ha noen hensikt, m? jeg ogs? ha svar fra dere p? en del av de same sp?rsm?lene samt noen nye, ved slutten av studie?ret. Siden det n? er sjelden dere m?tes i feleforelesninger og dise forelesningene er viktig for eksamensforberedelser, har jeg lagt ut sp?rreskjemaet p? Clas Fronter slik at dere kan svare p? dem n?r dere har lit tid til overs, men innenfor en tidsfrist. For meg er det viktig at jeg f?r s? mange svar som mulig, ogs? fra dere som ikke svarte forrige gang, slik at unders?kelsen kan f? den tyngden den fortjener. Husk at selv om jeg ber om studentnummer, s? er det bare for ? kunne samenlikne de siste svarene i forhold til de forrige, og den opplysningen skal ikke brukes til ? identifisere dere ang?ende det dere svarer. Jeg har ingen tilgang til lister med studentnummer. Svarene blir heler ikke vist de forelesere dere har hat i l?pet av ?ret, men skal kun brukes av meg som kildemateriale i forskningen og i anonymisert form i forskningsrapporten. M?let mit med forskningen er ? s?ke opplysninger som kan hjelpe til ? utvikle undervisningsmetoder som skaper gode l?rere og vil v?re nyttig kilde for dem som underviser matematikk ved l?rerh?gskolene i hele landet. P? forh?nd TUSEN TAK FOR HJELPEN. Med vennlig hilsen Tone Bulien. 199 E. Informasjon vedr?rende tekst 3 og 4 Sp?rsm?lene under er ment som en veiledning og beh?ver ikke komme i den rekkef?lgen de er stilet, men bruk dem gjerne som overskrifter hvis det er vanskelig ? komme i gang med skrivingen. Uanset hvordan du disponerer besvarelsen, skal teksten p? en eler annen m?te inneholde svar p? ale sp?rsm?lene under. Lengden p? besvarelsen m? v?re minimum to sider med skrift Times New Roman, punkt 12 og linjeavstand 1 ? (ale innleveringer skal v?re i dete formatet). Det er to situasjoner du skal beskrive: felesforelesning og seminargrupper. Hovedfokus skal v?re dine opplevelser og oppfatninger av dise to situasjonene. For meg som forsker er det viktig at du pr?ver ? finne ord til ? forklare hva du tenker og opplever i situasjonen. Siden matematikk er tema, s? er det naturlig ? fokusere p? det, men ogs? andre ting kan v?re viktige i forhold til hvordan situasjonen oppfates av den enkelte, s? skriv ned det du tenker uten ? vurdere om det er matematikk eler ikke. Eter forelesning og seminargruppe m?tes vi for kort ? snakke om hva som har skjedd, og s? g?r vi til datalaben for ? skrive. Det kan hende dere kommer p? lure ting i etertid, noter da dete i notatboka slik at vi for eksempel kan ta det opp igjen i intervjuet. Felesforelesning: Hva var det matematiske temaet for forelesningen? Hvordan ble temaet presentert? Hvilket niv?/hva slags forkunnskaper mener du at du trengte for ? f?lge forelesningen? Hadde du dise forkunnskapene? Hadde du forberedt deg faglig ved for eksempel ? lese pensum f?r forelesningen? Hvordan opplevde du forelesningen helhetlig set? Hvorfor tror du dine opplevelser ble slik? Hva mener du at du har l?rt p? denne forelesningen? Her skal du ikke bare nevne nye matematikkunnskaper, men ogs? presentasjonsmetoder, didaktikk, metodikk, etc. Svarte forelesningen til dine forventninger? Hvorfor/hvorfor ikke? 200 Seminargruppe: Hva var temaet for oppgavene i seminargruppen? Hvordan ble arbeids?kta gjennomf?rt? Hvilket niv?/hva slags forkunnskaper mener du at du trengte for ? f?lge seminargruppearbeidet? Hadde du forberedt deg faglig f?r seminargruppearbeidet? Hva slags rolle har du som student i denne arbeids?kta? Hva har du l?rt/erfart/opplevd i denne arbeids?kta? Det har i seminargruppene v?rt presentert ulike opplegg fra medstudenter. Hva synes du om dise presentasjonene? Begrunn svaret. Bruk gjerne eksempler p? noe som du synes var veldig bra og noe som var mindre bra. Levert medio mars 201 F. Intervjuavtaler Hei P? grunn av sykdom har jeg hat problemer med ? f? gjennomf?rt intervjuet med dere. I tilegg kommer andre del av sp?rreunders?kelsen som legges ut p? Clas Fronter i dag (eler i morgen). Intervjuene gjennomf?res s? fort som mulig og det er fint om vi f?r gjort avtaler om dete slik at det ikke ?delegger for mye for dere n? i eksamensperioden. Dere f?r arbeidskravet godkjent n?r intervjuet er gjennomf?rt. Jeg har tid til intervju: Torsdag 19. mai eter 12.30, fredag 20.mai, torsdag 26. mai og fredag 27.mai. Uke 22 - ale dager unntat onsdag 1.juni. Eventuelt senere i juni. Intervjuet er beregnet til maks 1 time, men her kommer det lit an p? hva dere har ? formidle. Jeg har under utarbeidelse noen sp?rsm?l som kan v?re en rame rundt det vi skal snakke om og jeg kommer til ? sende ut dete n?r vi har gjort avtalene. Elers m? jeg s? fort som mulig f? notatb?kene deres hvis dere har skrevet noe der. Send svar p? denne eposten om n?r du kan komme til intervju. Tone 202 G. Intervjuguide L ? r e r s t u d e n t e n e e n d r e r s i n o p f a t n i n g o m h v o r d a n i n l ? r i n g a v m a t e m a t i k f o r e g ? r e t e r k u r s e t . 1 5 , 1 6 , 1 8 - 2 0 L ? r e r m a n m a t e m a t i k p ? s a m e m ? t e s o m m a n l ? r e r a n d r e n y e t i n g ? H v a e r i s ? f a l f o r s k j e l i g e l e r l i k t ? B y g e r h o l d n i n g e n e m e s t p ? o p l e v e l s e r a v d e t f a g l i g e , m a t e m a t i s k e p l a n e l e r p ? d e t e m o s j o n e l e e l e r p ? d e t k u l t u r e l e ? H v o r d a n t e n k e r d u d e g l ? r e r e n s r o l e i s k o l e n s m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g ? 1 5 . S v a r p ? f ? l g e n d e p ? s t a n : O p g a v e r i m a t e m a t i k k a b r e l ? s e s v e ? b r u k e m e t o d e r g i t i l ? r e b o k a 1 6 . H v i s m a n e r f l i n k i m a t e m a t i k , k a n m a n l ? s e a l e o p g a v e r p ? f ? m i n u t e r 1 8 . M a t e m a t i k e r p u g i n g a v r e g l e r o g i n s e t i n g i f o r m l e r 1 9 . D e t v i k t i g s t e n ? r m a n s k a l l ? r e m a t e m a t i k e r ? l ? r e o g b r u k e a l g o r i t m e r o g f o r m l e r s l i k a t m a n f ? r r e t s v a r 2 0 . D e t e r b a r e s p e s i e l t b e g a v e d e m e n e s k e r s o m k a n b l i f l i n k e i m a t e m a t i k L ? r e r s t u d e n t e n e e n d r e r s i n o p f a t n i n g a v m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e t e r k u r s e t . 1 3 , 1 7 H v o r d a n v a r u n d e r v i s n i n g e n d u o p l e v d e s o m e l e v ? F i k d u n o e n u t f o r d r i n g e r s o m d e r e v o k s t e p ? ? E n d r e r b e t y d n i n g e n s e g i f o r h o l d t i l h v a d u o p l e v e r s o m l ? r e r s t u d e n t ? S e r d u s e l v s a m e n h e n g m e l o m h v e r d a g s m a t e m a t i k o g s k o l e m a t e m a t i k ? H v a k j e n e t e g n e r e t e r d i n m e n i n g e n g o d m a t e m a t i k l ? r e r ? 1 7 . S v a r p ? f ? l g e n d e p ? s t a n d : E n g o d l ? r e r f o r k l a r e r a l t i d m a t e m a t i k e n f o r e l e v e n e L ? r e r s t u d e n t e n e e n d r e r s i n o p f a t n i n g o m m a t e m a t i k e t e r ? h a g j e n o m f ? r t k u r s e t 1 2 , 1 8 H v a m e n e r d u m e d m a t e m a t i k ? H v a t e n k e r d u n ? r d u h ? r e r o r d e t ? h v a t e n k e r d u p o s i t i v t o m m a t e m a t i k e n h v a t e n k e r d u n e g a t i v t o m m a t e m a t i k e n H v a e r v a n s k e l i g m e d m a t e m a t i k ? O m s y m b o l b r u k e n ? O m n y t e v e r d i e n ? 1 2 . H v e r m a t e m a t i k f o r d e g ? 1 8 . S v a r p ? f ? l g e n d e p ? s t a n d : M a t e m a t i k e r p u g i n g a v r e g l e r o g i n s e t i n g i f o r m l e r . L ? r e r s t u d e n t e n e e n d r e r o p f a t n i n g e n d e h a r a v s e g s e l v s o m b r u k e r a v m a t e m a t i k e t e r k u r s e t . 6 - 1 , 1 4 H v o r d a n t o l k e r d u d i n k u l t u r e l e b a k g r u n i f o r h o l d t i l m a t e m a t i k ? B l e d u o p f o r d r e t t i l ? b r u k e m a t e m a t i k d a d u v a r l i t e n ? H v a t r o r d u o m a t e m a t i k ? F i n e s d e t b a r e e n m ? t e ? l ? s e e n o p g a v e p ? ? H v a t e n k e r d u o m d e n m a t e m a t i s k e v e r d e n ? 6 . H v o r d a n e r d i t f o r h o l d t i l m a t e m a t i k ? 7 . H v i s d u m ? b r u k e m a t e m a t i k u n s k a p e r i h v e r d a g e n , h v a g j ? r d u d a ? 8 . H a r d u b r u k t m a t e m a t i k e n m y e i y r k e s l i v e t d i t ? 9 . M e n e r d u a t d u b r u k e r m a t e m a t i k u n s k a p e r i h v e r d a g e n ? 1 0 . H v o r d a n v u r d e r e r d u d i n e t i d l i g e r e m a t e m a t i k p r e s t a s j o n e r ? 1 . H v i l k e n k a r a k t e r f o r v e n t e r d u ? o p n ? p ? d e t e k u r s e t ? 1 4 . B a r e d e s o m e r f l i n k e i m a t e m a t i k b r u k e r m a . o f t e . P r e d i k s j o n e r M i n e s p ? r s m ? l S p ? r e s k j e m a 203 H. Sp?rreskjema 1 204 205 206 207 I. Sp?rreskjema 2 208 209 210 211 212