Papirbretting som geometrisk verktøy Utforsket ved hjelp av Gröbner-basiser og anvendt i skoleundervisning

Abstract

I over 2000 år har matematikere utforsket konstruksjoner med passer og linjal. Først i 1837 ble det bevist at disse konstruksjonene ikke kan løse problemer som er ekvivalent med å løse tredjegradsligninger, deriblant vinkeltredeling og kubens fordobling. 100 år senere fant Margharita Piazolla Beloch ut en konstruksjon som løser tredjegradsligninger. Hun brukte verken passer eller linjal, men papirbretting isteden. Papirbretting er noe de fleste er kjent med, og det er spesielt interessant å undersøke den matematiske strukturen i papirbretting.

Når man jobber med konstruksjoner er man nødt til å sette noen regler, og i denne oppgaven kommer vi til å bruke Huzita og Hatori’s 7 aksiomer. Disse aksiomene setter regler for papirbrettingen og definerer hva som er mulig. Under disse aksiomene bruker vi Eduard Lill’s metode for å finne røttene til polynomer. Lill’s metode fungerer for polynomer av vilkårlig grad, men aksiomene begrenser metoden til polynomer av fjerde grad eller lavere. Hovedmålet i denne oppgaven er å se hvordan Beloch’s metode for å løse polynomligninger med papirbretting tar utgangspunkt i Huzita og Hatori’s aksiomer og bruker dem til å implementere Lill’s metode. Men vi ser ikke bare på løsningen av tredjegradsligninger. Vi skal også beskrive hvilke lengder som er mulige å konstruere med papirbretting, og vi bruker Gröbner-basiser til å undersøke det aksiomet som gjør papirbretting i stand til å løse ligninger av høyere grad enn det som er mulig med passer og linjal. For å bygge opp til dette ser vi først på sammenhengen mellom papirbretting og parabler. Vi avslutter med å vurdere bruk av papirbretting i matematikkundervisning i skolen. Med Fagfornyelsen har den norske skole lagt ekstra vekt på utforsking og problemløsing, og vi ser på hvordan papirbretting kan brukes til dette.